AB=BL±AL

(3) P.ALzizQ.BL,

au moyen desquelles on peut résoudre toutes les questions relatives à la composition et à la décomposition de deux forces parallèles agissant dans le même sens ou en sens contraires, pourvu que, dans ce dernier cas, les deux composantes soient inégales.

39. Remarque IL Lorsque les deux composantes P, Q sont égales , la résultante devient nulle ^ et la distance de son point d application y qui est donnée (36) par la formule

AL = p *^ , devient infinie. Ce résultat signifie que le

système de deux forces parallèles^ égales et de sens con- * trairesy ne peut être remplacé par une force unique* La figure 17 montre, en effet, que les deux parallélogrammes AaC^, BéD</, dont les forces P,Q sont les diagonales, deviennent égaux, le premier se confondant alors avec Aaya, dont la diagonale Ay=BD, et dont le côté Aa est parallèle à B^; par conséquent le système des deux forces parallèles proposées Ay, BD se transforme, non . plus en deux forces Kc^ Bd concourantes au point O, mais en deux forces Aa, Bd, parallèles, égales et contraires, comme les forces proposées.

Au reste, ce cas particulier constituant l'un des principes les plus importants de la Statique, nous allons le démontrer directement.

40. Principe. Deux forces parallèles , égales et contraires ^n^ ont pas de résultante unique j c'est-à-dire qu'une seule force ne peut leur faire équilibre.

Car soient P, — P, les forces données; supposons Fig. x8« qu'elles puissent avoir une résultante R située d'une manière quelconque, et appliquée en un point C. Joignons le point C et le milieu L de AB par la droite CL que nous M. Statique. 3

34 CHAPITRE li

prolongerons d'une quantité LD = CL, et appliquons au point D une force — R égale à R, parallèle et contraire. 11 est évident que tout sera semblable de part et d autre de la ligne AB, et que les forces P,— P ne pourront avoir une résultante R, sans que les mêmes forces admettent aussi pour résultante la force — R, située à l'égard des forces •— P, P, comme R Test par rapport à P, — P. Or une force R', égale et directement opposée à R, faisant équilibre aux forces proposées P, — P, devrait aussi feire équilibre à leur résultante — R; ce qui est impossible, puisque les deux forces R', — R, parallèles et agissant dans le mênie sens, ont toujours une résultante égale à leur somme (33).

L'ensemble de deux forces P, — P, égales, parallèles et contraires, mais non appliquées au même point, se nomme couple, Donc^ un couple h^a pas de résultante^ c'est-à-dire qu^unejorce unique ne peut lui faire équilibre, 4i. Corollaire. 11 résulte de ce principe que deux jorces quelconques^ non directement opposées l'une à Vautre , ne peui^ent Jamais se faire équilibre, Fig. ig. Car si les deux forces P, Q pouvaient se faire équilibre, en appliquant au point B deux forces contraires S, S', éga^ les et parallèles à P, les quatre forces P, Q, S, S' se feraient encore équilibre. Or les forces Q , S' ont une résultante R (ao); donc une force unique R ferait équilibre au couple P, S, ce qui est impossible, comme on vient de le voir.

42. Problème. Déterminer la résultante â^vn nombre quelconque de forces parallèles , appliquées aux différents points d'un système quelconque de figure inuanab/e? I. Supposons d'abord que toutes les forces données

Fig. 20. P, P', P') P" agissent dans le même sens. Deux

quelconques P, P' d'entre elles étant situées dans un même plan, on pourra (33) prendre leur résultante

COMPOSITION ST DIBGOMPOSITION DBS FORCSS. 3S

• :=s P + P, et déterminer son point d'application L . m divisant AB en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces P, P. De même, les deux forces r, P" auront une résultante r' = r H- P" = P + F -f- P", et Ton déterminera son point d'application V en divisant la droite menée du point L au point G en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces r, V". Les forces r\ P*' auront pareillement une résultante r " = r' + P" = P + F + F'+ P'% dont le point d'application h" divisera la droite L'D en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces r', P^; ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. Par conséquent , ces forces auront une résultante R=P + F + P"+P''+ etc., dont le point d'application K divisera la droite joignant ceux de l'avant- dernière résultante partielle et de la dernière composante en deux parties réciproquement proportionnelles à ces deux forces.

II. Supposons maintenant que , parmi les forces parallèles données, les unes agissent dans un sens, et les autres dans le sens opposé. On prendra, comme on vient de le voir, la résultante r de celles qui agissent dans un même sens, et la résultante r' de toutes celles q|ii agissent dans le sens opposé. Le système proposé sera donc réduit à deux forces r, r\ parallèles et de gens contraires. Cela posé,

I* Si les deux forces r, r' sont inégales , elles auront une résultante R parallèle à leur direction , égale à leur différence , et agissant dans le sens de la plus grande. Alors R sera la résultante du système proposé.

a° SI les deux forces r, r' sont égales et directement opposées, la résultante est nulle, et les forces données se font équilibre.

3* Si les deux forces >, r' sont égales, sans être direc-

tement opposées, le système n a pas de résultante uni-* que, mais se réduit au couple déterminé par les deux résultantes partielles.

43. Corollaire I. Il suit de là que la résultante dHun nombre quelconque de forces parallèles est égale a P excès de la somme des composantes qui tirent dans un sens sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire ^ c'està-dire qu elle est égale à la somme algébrique de toutes les forces données.

Lorsque cette somme n*est pas nulle , les deux résultantes partielles r, r' sont inégales; et, par conséquent, le système proposé a une résultante unique. Mais quand la même somme est nulle, le système est en équilibre ou se réduit à un couple, suivant que les deux résultantes partielles sont ou ne sont pas directement opposées.

44* Corollaire II. Si des forces paralteles et de même sens tournent en même temps autour de leurs points d'application , en consentant leurs intensités et leur pa^ rallélismCy les résultantes générales, qu^on trompera datis chaque position du système^ passeront toutes par un même point.

Car d'après la construction indiquée (4a, fig. 20), la résultante de toutes les forces parallèles P, P', P", etc., doit évidemment, quelle que soit la position du système, s'appliquer au point K, dont la détermination ne dépend en aucune manière de la direction des composantes, et qui reste ainsi la même quand cette direction vient à changer.

Ce point remarquable, par lequel passent toutes les résultantes successives , se nomme le centre des forces parallèles. Sa considération est d'une grande importance dans toutes les questions relatives à l'équilibre des corps pesants (i3a).

Lorsque tous les points d application des forces données sont dans i|n même plan, il résulte de la nature du

centre des forces parallèles, que ce point, s'il existe, doit aussi se trouver dans le même plan.