SECTION IV

OOMPOSinOIf DES FORCES DmiGÉES D'UNE MANIÈRE QUELCONQUE DANS UN PLAN.

45. LÊMME. Lorsque trois forces au moins sont dirigées iTune manière quelconque dans un plan , et appliquées à des points liés entre eux d'une manière invariable y deux d^ entre elles ont toujours une résultante unique.

En effet , deux forces situées dans un même plan n'ont pas de résultante dans le seul cas où elles sont parallèles , égales et de sens contraires. Mais si Tune des trois forces que Ton considère est égale , parallèle et de sens contraire à chacune des deux autres , celles-ci doivent nécessairement agir dans le même sens, et, par conséquent , avoir une résultante j ce qui démontre le principe énoncé.

^6. Théorème. Un nombre quelconque de forces dirigées ^ comme on voudra ^ dans un même plan y et appli"quées à des points liés entre eux d'une manière invariable^ peuvent toujours se réduire a une résultante unique ou à un couphy à moins qu'elles ne se fassent équilibre.

En effet , parmi les forces données , on pourra toujours (45) en prendre deux qui ne soient pas à la fois égales, parallèles et de sens contraires; on saura donc les composer en une seule, et le système proposé sera remplacé par un autre système ayant une force de

38 OHAPITEB I.

moins. Si ce nouveau système a plus de deux forces , on pourra de méole en choisir deux qui ne donnent pas de couple ; et l'on déterminera leur résultante; ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait remplacé le système proposé par deux forces P, Q.

Maintenant il peut se présenter trois cas :

1° Si les forces Py Q ne sont pas à la fois égales y pa^ rallèles et de sens contraires , elles auront une résultante unique^ qui sêra eéllê du système proposé.

2° Si les forces P^ Q sont égales y parallèles et de sens contraires, le système proposé donnera lieu à un couple.

3° Si les forces jP, Q sont égales et directement opposées ^ les forces données se feront équilibre y et réciproquement.

47. Remarque. Lorsque les forces proposées ont une résultante^ on peut toujours leur faire équilibre au moyen d'une seule force égale et directement opposée à cette résultante.

Donc réciproquement , si une seule force fait équilibre aux forces proposées , celles-ci ont nécessairement une résultante égale et directement opposée à la force qui leur fait équilibre. D'où il suit que, lorsqu'une force fait équilibre à plusieurs autres situées dans un plan, eue doit également se trouver dans le même plan,

48. Théorème. Lorsque trois forces se font équilibre , leurs directions sont nécessairement 1° dans un même plany 2® parallèles ou concourantes en un même point.

Fig.2i* Soient les forces P, Q, R, représentées par les droites AB, CD, EF, et se faisant équilibre.

1^ Si ces trois droites n'étaient pas situées dans un même plan , qn pourrait évidemment les couper par UP plan tel que les trois points d'intersection ne fussent pas en ligne droite. Il s'agit donc de démontrer qu'un plan

COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORGES. Sq

quelconque MN rencontre les lignes AB, CD, £F^ en trois points Â, C^ E, toujours en ligne droite.

A cet effet, concevons les forces P, Q, R, appliquées aux points d*intersection A, G, Ë, prenons à volonté un point G situé hors du plan MN , et menons les droites AG, CG, EG. On pourra décomposer chacune des trois forces P, Q, R en deux autres , de manière que les premières composantes p y q^ r soient situées dans le plan MN, et que les secondes composantes /?', y', r' soient dirigées suivant AG , EG , CG ; par exemple , pour trouver les composantes py p de P, on mènera par le point B la parallèle B& à AG, laquelle parallèle rencontre le plan MN au point i, ce qui donnera la composante Ab ou /?, et Ton aura la composante p en prenant sur AG une longueur Ai'=Bi; on déterminera de même les composantes de Q et de R. Maintenant comme, par hypothèse, les forces P, Q, R se font équilibre, il faut que chacun des systèmes de leurs composantes soit séparément en équilibre; car si le système p\ q\ r\ par exemple, ne s'annulait pas , il aurait une résultante située hors du plan MN, et qui ne pourrait donc pas faire équilibre aux trois autres composantes py q^ r^ situées dans ce plan (47)- Ainsi les trois forces/?', y', r' se font équilibre, et, par conséquent, Tune quelconque d'entre elles est directement opposée à la résultante des deux autres. Donc leurs trois directions GA, GË, GC sont dans un même plan , et, par suite , les trois points A, E, C, étant situés sur l'intersection des deux plans MN , AGC , se trouvent en ligne droite.

^à"" Les trois forces P, Q, R, étant ainsi dans un même plan , deux d'entre elles P, Q sont parallèles ou concourantes. Si elles sont parallèles, leur résultante devant être à la fois parallèle à leur direction, et directement opposée à la troisième force R, les trois forces P, Q, R se-

4o GHAPITEE I.

ront donc parallèles. Si les forces P, Q concourent, leur résultante devant à la fois passer par leur point de rencontre, et se trouver directement opposée à la troisiàne force R, les trois forces P, Q, R concourront donc en un même point.