SECTION V

COHPOSmON DES FORGES DIRIGÉES D*UNE M4NIÈRE QOELOONQOE DANS L*8SrA(X.

49. Lemme I. Deux forces non situées dans un même plan ne peui^ent avoir une résultante unique.

Car si les deux forces données P, Q pouvaient avoir une résultante R , une force — R égale et directement opposée à R ferait équilibre aux deux forces P, Q; donc (48, a°) les directions de P, Q, — R seraient parallèles ou concourraient en un même point, et par conséquent les forces P , Q seraient dans un même plan.

50. Lemme II. Deux forces y non situées dans un même plan y peuvent toujours être remplacées 1^ par deux forces dont Vune soit appliquée à un point donné dans Pespace; 2° par un couple et par une force appliquée à un point donné y ce point étant d'ailleurs lié d'une manière invariable au système proposé.

Fig. aa. Soient P, Q les forces données, et O le point donné dans Tespace.

1® Par le point O et par les directions des forces P, Q faisons passer deux plans OAE, OCE, et par un point quelconque E de leur intersection , menons un plan M N

qui rencontre les directions des forces aux points A et C, que nous prendrons pour leurs points d application. Décomposons (comme au n"" 48) chacune des forces P, Q en deux autres, les premières composantes /?, q^ situées dans le plan MN, les secondes p\ q'y dirigées suivant AO, GO. Comme celles-ci concourent au point O, elles auront une résultante P', appliquée à ce point. Les autres composantes/), q, étant évidemment dirigées suivant les intersections AE, CE des plans AOE, GOE avec le plan MN, auront une résultante Q' appliquée au point de concours E. Donc le système des forces P , Q peut être remplacé par celui des deux autres P', Q', dont l'une P' passe par le point donné.

a? Les forces P, Q étant remplacées par les forces P', Q', appliquons au point O deux forces Q,, — Q„ toutes deux égales et parallèles à Q', mais directement opposées entre elles , le système ne sera pas troublé. Or les forces P', Q,, ont une résultante R passant par leur point d'application O. Les forces Q', — Q, étant égales, parallèles et non directement opposées, forment un couple. Donc le système proposé P , Q , peut se remplacer par un couple Q', — Q,, et par une force R appliquée au point donné.

5 1 .Remarque L La résultante des forces P', Q', trans^ portées parallèlement à elles-mêmes en nn point quelconque de V espace^ est la même que celle des forces P, Q transportées au même point.

Car si Ton applique à ce point deux forces P", Q^' égales et parallèles à P, Q , puis deux forces P'", Q*^ égales et parallèles à F, Q', on pourra décomposer P*' en deux forces/;,, y^, égales et parallèles aux forces/?', q' du n"* 5o, et Q'" en deux forces /?, , q^ égales et parallèles à/7, q. Or, les forces/?,, /?, ont évidemment pour résultante la force P", c'est-à-dire la force P transportée.

4^ GBAPITIIB I.

et de même les forces q^^ q^ ont pour résultante la fofoe Q" ou la force Q transportée. Donc le système F', Q'', ou P, Q transporté , a la même résultante que le système P'", Q*', ou F', Q' transporté.

Jl suit de là que , dans le second cas du n^ 5o, la forte li est également la résultante des forces P, Q tl'SlnspQ^ tées parallèlement à elles-mêmes au point donné.

59* RpMABQuis 11. Cette démonstration s'appUqu^ également au cas particulier où les d^ux forces dopnéf^ /Ipnt dans un même plan,

^3. Théorème. Un nombre quelconque de forces ^ dirigées arbitrairement dans V espace y peuvent toujours se réduire a deux forces au plus ^ situées ^ en général, dons des plan^ différents.

f'ig. 23. Soient P, Q, S, etc., les forces données. Menotis lin plan SIN qui rencontre leurs directions en des points A, fi, G, etc.^ que nous joindrons à un point quelconque 0, situé hors du plan MN, par les droites AO, BO, CO, etc. Décomposant, comme aux n^> 48 ^^ So, chacune des forces P, Q, S, etc., en deux, les unes/i, q^s... situées dans le plan MN, les autres p\ 9', ^, • • • dirigées Suiv4nt les droites AO , BO , GO , . . . Gomme celles-ci concourent au point O , elles auront une résultante R' appliquée à ce point. Les autres composantes /i, 9, ^ ,... étatit situées dans un même plan, se réduiront (46) à Une résultante R ou à un couple (R^ , — R,). Mais dans ce dernier cas , on pourra décomposer R' en deux forces r, r\ dont Tune r soit parallèle à Rj. Or, les trois forces parallèles R,, r, — R^, dont la somme n*est pas nulle, aut*dnt nécessairement une résultante r" ; et alors il ne restera plus que les deux forces r, r''. Par conséquent, les forces proposées se réduiront toujours soit aux deux forces R, R', soit aux deux forces r\ r", qui, en général, ne seront pas dans un même plan.

COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES VOHGES. 43

Parmi les cas particuliers qui peuvent se présepler, nous distinguerons les trois suivants :

i^ Si les deux résultantes partielles sont situées daf^ un même plan y sans être à la J'ois égales y parallèles ef de sens contraires ^ les forces proposées auront une résuU tante unique,

a* Si les deux résultantes partielles sont a, la fois éga* Ipê ^ parallèles et de sens contraires^ les forces proposée^ se réduiront a un couple.

Il en sera de même lorsque les premières composantes sç réduiront à un couple, et qu'en même tenips le^ autres composantes se feront équilibre.

3** Si chaque système de composantes est séparément en équilibre , le système proposé sera de même er^ équilibre.

Réciproquement; si les forces proposées se font équir libre , il en sera de même de chaque système de cçmpO' santés.

Car si Tun des systèmes de composantes avait upe résultante, comme celle-ci serait située hors du plan qui contient l'autre système, elle ne pourrait lui faire équilibre (47)5 et, par conséquent, les forces proposées ne seraient pas en équilibre , comme on Ta supposé.

54. Remarque I. Deux forces, dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, pouvant toujours se remplacef par deux autres , dont l'une soit appliquée à un point donné (5i), il résulte du théorème précédent qu'i^/i nombre, quelconque de forces dirigées arbitrairement dans V espace peuvent toujours se réduire à deux forces^ dont l'une soit appliquée à un point donné,

55. Remarque II. La proposition précédente , ayant lieu pour des forces dirigées arbitrairement dans l'espace, doit également s'appliquer à celles dont les directions sont parallèles.

Donc, un nombre quelconque de forces^ ayant dans Vespace des directions parallèles^ peuvent toujours se ri' duire à deux forces j dont l'une soit appliquée à un point donné.

Au reste, cette proposition peut s établir directement ainsi qu'il suit :

Fig. a4* Menons un plan MN qui rencontre les forces données P, Q, S,. • • en des points A, B, C. . .; par le point 0, donné hors du plan MN, menons à la direction commane de ces forces la parallèle OD qui rencontre le plan MN au point D, et joignons les points O et D aux points A, 6, C,. . . par les droites OA, OB, OC. . ., DA, DB, DC,. .. Cela posé , décomposons chacune des forces P, Q, S,,., en deux autres, les premières composantes/?,^, 5... situées dans le plan MN suivant les droites DA, DB, DC . . ., les secondes composantes/;', q\ /,. . . dirigées suivant les droites AO, BO, CO,. . . . Les premières se réduiront à une force unique R appliquée au point D, et les secondes à une force unique- R' appliquée au point O.

De plus, cette force R' ne sera jamais nulle lorsque le système proposé ne sera pas en équilibre: car autrement ce système aurait pour résultante la force R située dans le plan MN ; or, la résultante de plusieurs forces parallèles doit être parallèle à la direction commune.

56. Théorème. Lorsqu'un système de forces est en équilibre , si l'on décompose chacune d'elles en deux aU" très , les unes situées dans un même plan , les antres parallèles à une même droite ^ chaque système de composantes doit être séparément en équilibre, Fig. îi5. Soient P, Q, S,. . . les forces données, p^q^ Sy. , , les composantes situées dans le plan MN , et p\ q'y /, . . . les composantes parallèles à la droite donnée ZZ'. D'abord ces dernières composantes doivent se faire équi-

COMPOSITION BT DECOMPOSITION DES FORCES. 4^

libre ^ car autrement on pourrait (55) les remplacer par deux forces, Tune R située dans le plan AIN , Tautre R' dirigée hors du plan MN , et qui ne peut jamais être nulle. Or, une force ne peut faire équilibre à d'autres situées dans un plan , à moins d être comprise dans le même plan (47) : donc les composantes /? , q^ j,. • • sont en équilibre; et, par conséquent, il en est de même des composantes p\ q\ s\. . . auxquelles se réduit le système proposé.

57. Remarque I. Lorsque la droite ZZ' est perpendiculaire au plan MN, les composantes p\ q\s\. . . sont aussi perpendiculaires au même plan , et , par suite , aux composantes p^ q ^ s^. , . Dans ce cas, les composantes Pj q/ /. . . sont les projections des forces P, Q, S,. . . suivant leur propre direction (23). Or, la somme de ces composantes doit être nulle , puisqu'elles se font équilibre (43)* Donc la somme des projections des forces P^ Q^ S,. . . sur la droite ZZ', qui égalent évidemment les composantes p\ q\ s',, . , est nulle aussi. Donc

Si l'on projette sur une droite quelconque des forces en équilibre dans P espace, leurs projections représenteront des forces également en équilibre,

58. Remarque II. Dans le même cas, les composantes p^q^s,., . sont les projections des forces P, Q, S,. .. sur le plan MN. Donc

Si Von projette sur un plan quelconque des forces en équilibre dans V espace , leurs projections représenteront des forces également en équilibre.

59. Théorème. Lorsque des forces situées dans F espace ont une résultante , sa projection sur une droite , ou sur un plan, est la résultante des projections des forces pro'posées sur la même droite^ ou sur le même plan.

Car si Ton applique, suivant la direction de la résultante R des forces P, Q, S. . ., une force — R égale ft

46 CHAPXTRS I.

directement opposée à R, le système- — R, P, Q, S,

sera en équilibre. Donc (57) les projections de toutes les forces du système sur une droite XX' représenteront des forces en équilibre; et, par conséquent, la projection de • — R sera égale et directement opposée à la résultante des projections de P, Q, S. . ., qui sera donc la projection de la résultante +R des forces proposées.

La démonstration est absolument la même, lorsque les forces dont il s'agit sont projetées sur un plan.

60. Théorème. Lorsque des forces situées dans Pespace n^ont pas de résultante unique , si Von projette sur une droite quelconque les forces proposées y et les deux forces auxquelles on peut toujours les réduire , la somme des projections de ces deux dernières forces est égale à la somme des projections des forces proposées.

Car soient R, R', les deux forces auxquelles les forces données P, Q, S,. . . peuvent toujours se réduire (53), et r, r\ p, y, Sy . . leurs projections sur une droite quelconque XX'. Si Ton applique suivant les directions de R et de R', deux forces — R, — R', qui leur soient respectivement égales et opposées, le système — ^R, — R', P, Q, S, . . . sera en équilibre. Donc la somme des projections des forces de ce système sur la droite XX' sera nulle (57). Comme les projections de — R et de — ^R' doivent évidemment être égales et de signe contraire aux projections r, r de R et de R', elles seront donc — r, — r', et, par conséquent, Ton aura

d'où r+r =zp 4- y -f- ^ 4- • • «^

ce qui démontre le théorème.

61. Corollaire I. Si Von transporte les forces R, R', P, Q, S, . . . parallèlement à elles-mêmes en un point quel"

COMPOSITION ST DlSCOMPOSlTlON DBS FORGES. 47

conque de F espace^ les forces R, R', y auront la même réultante que les forces P, Q , S, . . .

Car la relation r + r=ip +q + s + .. . montre que a projection r + r' de la résultante des forces R et R' »ur tous les axes possibles ^ égale la projection/? +^-f- ^ -§-... des forces P, Q, S,. .. Par conséquent, les deux résultantes , qui d'ailleurs passent par un même point , doivent se confondre en une seule.

62. Corollaire II. Si Von décompose chacune des forces R , R', P, Q , S , . . . ^« trois autres respectivement paraU lèles à trois axes menés par un point quelconque de l'eS' pace, la somme des composantes cfe P, Q , S, . . . parailèles à chaque axe , sera égale a la somme des compO' sarites de R et de R', parallèles au même axe.

Car pour opérer la décomposition des forces , on peut les transporter toutes parallèlement à elles-mêmes au point donné O , ce qui ne doit altérer en rien chaque composante. Mais alors les forces R, R', ayant, d'après le corollaire précédent, la même résultante que les forces P, Q , S . . . , il est clair que la somme des composantes des forces P, Q, S, . . . suivant chaque axe égalera la somme des composantes de R et de R', suivant le même axe. Ainsi en appelant X, Y, Z, les sommes des composantes de P, Q , S , . . . suivant les trois axes donnés OX, OY, OZ, et nommant a;, x\ J, j', ^, z\ les composantes de R et de R'- suivant les mêmes axes, on aura

Dans le cas particulier où les axes OX, OY, OZ , sont rectangulaires, x-^-x^ J+J) z+z et X, Y, Z sont les sommes des projections de R , R' et des forces P, Q, S , . . . sur les trois axes, ce qui rentre dans lenoncé du théorème.

Cç corollaire s'applique évidemment à des forces di-

rigécs dans un même plan XOY, lesquelles peuvent toujours (46) se réduire à deux forces R, R', situées dans leur plan. Alors Z, z, z sont nuls , et Ton a seulement

DBS MOMBHTS BT DBS lÉQUATIONS DEQOIUBRB. 49

DBS MOMENTS BT DES ÉQUATIONS D'tQCILIBHB.