DES MOMENTS
63. On appelle moment (ïune force par rapport a un point le produit de Tintensité de la force par la perpendiculaire abaissée du point donné sur sa direction.
Ainsi, en représentant par P l'intensité d'une force, et par p la perpendiculaire abaissée d'un point donné sur sa direction , le moment de la force, pris par rapport au point, sera le produit Pp, c'est-à-dire le produit de deux facteurs numériques exprimant, Tun le rapport de l'intensité de la force P à celle de la force prise pour unité de mesure, l'autre le rapport de la perpendiculaire à l'unité de longueur.
Le point , par rapport auquel on prend les moments des forces d'un système quelconque , se nomme centre des moments.
6^. On considère encore, en statique, deux autres espèces de moments, savoir :
1^ Le moment d^ une force par rapport a un plan pa^ ralléle a sa direction. Ce moment égale le produit Vp M. Statique. 4
5o GHAPITRB U.
de l'intensité de la force P par la perpendiculaire />
• abaissée d'un quelconque de ses points sur le plan.
' %"* Le moment d'une force par rapport à un axe.
Fig. a6. Ce moment égale le produit l?p de la projection F de la force P, sur un plan MN perpendiculaire à l'axe donné AX, par la plus courte distance/? de la direction de la force P à cet axe. Il est évident que cette plus courte distance p égale la perpendiculaire AB menée à la directioD de P' par le point A , intersection de l'axe AX et du plan MN qui lui est perpendiculaire,
65. Théorème fondamental. Lorsque deux forces sont appliquées à un même point, le moment de la résultante^ par rapport à un point quelconque pris dans le plan des forces y est égal i° à la somme des moments des composantes , 2^ à leur différence , suii^ant que le centre des moments est situé i° en dehors de V angle des composantes ou de son opposé au sommet^ 2*" dans fun ou dans l'autre de ces deux angles.
Fig. ik'j Soient données les forces P, Q , représentées par les
et 1^8. lignes AB^ AG, et soit R leur résultante, déterminée par
la diagonale du parallélogramme ABCD. D'un point 0,
pris dans le plan des trois forces , abaissons sur leurs
directions les perpendiculaires 01 , OL, OK. Il s'agit de
Fig. 27. faire voir qu'on aura, dans le premier cas,
OL.ADz=OI.AB+OK.AC,
Fig. 98. et, dans le deuxième cas,
OL.ADz=OI.AB— OK.AC,
la force P ou AB étant celle des deux forces qui a le plus grand moment.
La démonstration consiste à transformer les moments en surfaces qu'on sache évaluer; on y parvient aisément en remarquant que si l'on joint par des droites le point %ytc les quatre sommets du paraUélogramme AJBCD, on
DES MOMENTS ET DBS B<2UÀTIONS D EQUILIBRE. 5l
déterminera trois triangles OAB, OAC, OAD, qui auront respectivement pour bases les trois forces AB, AC, AD , et pour hauteurs les perpendiculaires 01 , OK , OL , abaissées du point O sur leurs directions. Or, la
surface du triangle OAB= - OI.AIB, d'où
0I.AB = 2A0Bi
de même 0K.AC=20AC, et OL. AD=20AD. Ainsi le moment d'une force a pour expression le double du triangle qui a cette force pour base. Tout se réduit donc à faire voir que le triangle OAD égale la somme des triangles OAB , OAC , dans le premier cas , et leur différence, dans le deuxième cas. £n effet, si par les sommets opposés B , C du parallélogramme , on mène à OA les deux parallèles BA', CO', qui rencontrent la direction de AD aux points A\ O', en les joignant au point O par les droites OA', 00', on formera deux triangles OAA', OAO', qui seront respectivement équivalents aux triangles OAB, OAC , comme ayant même base OA , et leurs sommets sur une même parallèle à la base. Donc au lieu des triangles OAB, OAC, OAD, nous pourrons comparer les trois suivants, OAA', OAO', OAD.
Ceux-ci, ayant même hauteur OL, sont entre eux comme leurs bases, et donnent la proportion
OAA' : OAO' : OAD : : A A' : AO' : AD.
Mais dans le premier cas , les triangles ABA', CDO' Fig. 1^7. sont égaux ; car ils ont les côtés AB, CD égaux , les angles BAA', CDO' égaux comme alternes-internes , et le» angles BA'A, CO'D égaux comme ayant les côtés parallèles. On a donc AA'=DO'.
Remplaçant AA' par DO' dans la proportion ci-dessus, elle devient
OAA ; OAO' ; OAD : : DO' : AO' : AD*
5 a cttÀPitAB li.
Or, AD=AO'+DO'; donc
tn. OAD zzztri. OAA' + tri. 0A0'=: tH. OAB+ ^n . OAC,
et , par conséquent,
