SECTION II

éqoâtioms d'équilibre des forces âppuqdébs â un point.

86. D*après ce que nous avons dit dans les notions préliminaires (ii), les équations (T équilibre de plusieurs

forces sont les relations nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre leurs intensités ^ leurs directions et leurs points d^ application pour que F équilibre ait lieu. Nous suivrons, dans leur recherche, le même ordre que pour !a composition des forces; ainsi nous établirons successivement ces équations. pour tXes forces concourantes, pour des forces parallèles et pour des forces dirigées d'une manière quelconque, soit dans un plan, soit dans Tes- [)ace.

87. Théorème. Pour qu'il y ait équilibre entre des forces appliquées à un même point et situées dans un

même plan , il faut et il suffit que les sommes des composantes de ces forces y parallèles à deux axes situés dans le même plan y soient nulles séparément.

Car soient P', P", P'",. . . les forces données, appliquées au point A. Si, par ce point, on mène deux droites AX, AY, et que Ton décompose chacune des forces données en deux autres, les unes X', X'^, X'" • . . dirigées suivant AX, les autres Y', Y", Y'" . . • dirigées suivant AY, il est

DES MOMENTS ET DES EQUATIONS d'ÉQUILIBRE. 67

clair que les premières composantes auront une résul* tante X^X' + X" + X'"-^» . ., et les autres une résultante Y=Y'+Y"-pY'"+. .. Comme ces deux re'sultantes ont deux directions différentes , il faut , pour que l'équilibre ait lieu , qu'on ait séparément X = o , T=o.

Donc les équations d'équilibre du système proposé sont

De plus ces équations sont suffisantes ; car lorsqu elles ont lieu, le système est en équilibre.

Il est entendu que, dans chacune des deux équations ci-dessus, on doit donner le signe + aux composantes qui tirent leurs points d'application dans un certain sens , et le signe — à celles qui les tirent dans le sens directement opposé (7 et 45).

88. Remarque I. Dans le cas particulier où les axes AX, AY font un angle droit, les composantes X', X". . . Fig, 35 Y', Y". . . sont les projections des forcçs F, P". . sur AX et sur AY. Si donc on représente par a, a",. . . les angles formés parles directions AF, AP",. . . avec AX, et comptés à partir de cet axe, on aura X'=:Fçosa ,.. . Y' = P' sin «', . . . et les équations d'équilibre deviendront

Fcos(<+F'cosa"+.. .=o, Fsiua.f-P"sina"-h...=z=p.

Deux produits tels que F cos a, F' cos a" auront évidemment le même signe ou des signes contraires , suivant que les composantes X, X" agiront dans le même sens ou dans des sens opposés. 11 suffira donc de regarder toutes les forces P', F',. . . comme positives, et de donner à cos a , cos a ', les signes qui résultent des règles trigonométriques. On voit, d'ailleurs, que si une force F

CHAPITBB II.

fiiit avec AX un angle «, toute force F", directement opposée à F, doit faire avec AX un angle a'"=aoo**+fl^. 8g, Remabque II. Lorsque les forces données ne se font pas équilibre, elles ont toujours une résultante & appliquée au point A, et faisant avec Taxe AX un certain angle que nous désignerons par a. Donc si , comme aa n* 87, on appelle X et Y les résultantes partielles des composantes dirigées suivant AX et AY, on aura (a3)

et les équations du numéro cité, savoir

P=:R.cosBAD, Q = R.cosCAD,

deviendront

X=R.cosa, Y = R.sîn a,

d où l'on tire

cos a = — , sin a

Ces équations déterminent la direction de la résultante R, et le sens dans lequel elle agit.

90. Théorème. Pour quHl y ait équilibre entre des forces appliquées a un même point ^ et dirigées d*une manière quelconque dans V espace , il faut et il suffit que les sommes des composantes de ces forces , suisfant trois axes non situés dans un même plan , soient nulles séparément.

rig. 36. Soient P', P",. . . les forces données, appliquées au point A. Si, par ce point, on mène trois axes AX , AY, AZ , et que Ton décompose chacune des forces données, P' par exemple, en trois autres AX', AY', AZ', dirigées suivant les trois axes , et que nous représenterons par X', Y', Z', on voit que les composantes suivant AX auront

DBS MOMENTS ET DES EQUATIONS D EQUILIBRE. 69

me résultante X=:X' + X" -f- . . ., et que les compolantes suivant ÂY et suivant AZ auront de même les ^ultantes Y=Y+Y' + ..., Z=Z' + Z''+. . .. Or, es trois forces X , Y^ Z , qui remplacent les forces donaées P', P". . . . , n étant pas situées dans un même plan, ne peuvent être en équilibre, à moins qu'on n'ait séparément X^o, Y=o, Z = o.

Donc les équations d équilibre du système proposé sont

X'-f.X"+...zz=o,

On donnera, dans chacune de ces trois équations, le si- ^ne + aux composantes qui agissent dans un certain sens, et le signe — à celles qui agissent dans le sens opposé.

91. Remarque I. Dans le cas particulier où les axes AX, AY, AZ sont rectangulaires, les composantes X', Y', Z', sont les projections de P sur ces trois axes, et de même pour les autres. Si donc on représente respectivement par a', ê', y', a", ê", y",. . . les angles formés par les directions des forces P', P",. . . avec les axes AX, AY, AZ, et comptés dans un sens déterminé , à partir de ces axes, on aura, comme au n° 27,

r = P' cos a', T = P'cos 6', Z'=P cosy', etc.

Alors ces trois équations d'équilibre deviendront

P'cosa' + P^'cos a'' -h . . .=0, P'cosg'4. P" cosg''-4- . . .=0, P' cosy + P" cos y" H =0.

n suffira, comme au n" 86, de regarder toutes les forces F, P'',.«. comme positives, et de donner à

70 CHAPITRE tt,

cds a\ cos a',. . . • les signes '(j[ui résultent ctes règ[I^ trïgo&ôhi'étriques.

9a. RfiMÂR'QUE II. Lorsque les lolrces 'données ne se font pas équltibï*e , elles ont toujours une résùrtànVe É appliquée au point A, et faisant avec les àxès AX, AY, AZ, des angles que nous désignerons para, 6, v. Si donc on décompose R en trois forces X, Y, Z, dirigées suiTant leà trois ax^s, oii aura (27)

R=I/X'+Y'+Z% X=:Rcosa, Y = Rcos6, Z=Rcosy,

d où Ton tire, en substituant à R sa valeur,

cos a = — , cos o z=z

l/X'+Y*+Z*' KX'+Y^+Z'