Théorème. Pour quHl y ait équilibre entre des
forces parallèles situées clans un même plan , // faut et il
suffit i"" que la somme des forces soit nulle ^ a* que la
'somme de leurs itioments ', 'par rapport a un poirit quel-
coHtfUè'àè leur ''plan', 'ioit 'également nulle.
DBS MOMENTS ET DBS EQUATIONS d'eQUILIBRB. ^1
En enet , soient P', P'', . . , l'es fôrcéà 'dônrieeé. IJh a vu ^42) que ces forces se rëaûiseht, en géhéràl, à âeùï résultantes n', R'^, parallèles à leur directît>h, 'è\ àgi^kint êh sens contraire Tune 'de Tautre. Donc, pour qlie le système proposé soit en équilibre, il faut i** qùie les résultantes R', R" àoïérit égales entre 'èirés; 2° VjùVlleS agissent: suivant lirie niêiiié aroile. tjh doit donc aVôir d'abord k'HhR"=o, bu iP'4-F'4-. . .=b. Mais kl lés forces R', R", sont égales et directement opposées, il est clair que leurs mo'itoents, pat* i^ppôt't à ùh point quelconque D de leur plan , seront égâiix et de lignes contraires , et que , par conséquent , leur somme sferà nulle. Or, lé moment de chacune des résultantes pàniièiles R' ôii R" égale là sô'ib'me des itioments des composantes qui agissent dans le mêm'è sens qti'e cette résultante. Donc b somme des moments de toutes les composante^ P', P".. ., par rapport au j^ôînt Ô, se^a nùlîè , et en désignaiit par a:', x'\ . . . lès pèr*pendicfàlairès àï>ai'sséè5 de ce point sur leurs dii^éctîons , on aura , pour lès dèilx équations d'équilibre ,
De plus-, dés deùl équations sont suilisàlities pour que réquilibre ait lieu. Car i** les résultantes partielles R', R" , agissant en sens contraires , sont nécessairement égales, -puisquofl à ft.'-HR" = o^ 2° il récite 'de la deuxième équation que les moments de R', R", par rap- •port à un point 'O du plàYi, sôifit égaux et de signés contraii'es; et côrti'me on viertt de voir que les forces R', R", sont égales et de signes contraires, il faut donc que leurs distances au point O soient égaleà et de nriêiûe signé, c^est-à-dire que les foi*desR.' et R" agisseYit sûîVant une fnême droite. Ainsi Itt TésftttàVités «parrieHes ^oif^t
égales et directement opposées, et , par conséquent, le système proposé est en équilibre.
94* Remarque I. Tout système, qui satis£dt seulement à la première des deux équations d'équilibre, se réduit à un couple.
Car puisqu'on a P'+P" + . . . =o, ou R' -4-R"=o, il est clair que les deux résultantes partielles sont ^ales. Mais comme l'équation Vx 4- F' ar" 4- . * . = o n'est pas satisfaite, la somme des moments des forces R', R", par rapport à un point de leur plan, n'est pas nulle. Donc ces forces ne sont pas à la même distance du point dont il s'agit, et, par conséquent, donnent lieu à un couple, puisqu'elles sont égales , parallèles et de sens contraires.
95. Remarque II. Tout système, qui ne satisfait pas à la première des deux équations d'équilibre , a une résultante.
Car la somme des composantes n'étant pas nulle, celle des deux résultantes partielles R', R'', ne l'est pas non plus. Ces deux forces, qui sont parallèles et de sens contraires , ont donc une résultante R , puisqu'elles sont inégales. Or, une force — R , égale et directement opposée à R, faisant équilibre au système proposé, on aura (93)
— R+P'+P"+. . . =0, — Ror+Fjj'+FV'H =0
d'où l'on tire
PV+P'V'+...
La première équation détermine la valeur de la résultante et le sens de son action ; la seconde détermine sa distance au centre des moments , et sa position par rapport à ce point.
96. Théorème. Pour qu^il jr ait équilibre entre des forces parallèles situées dans V espace , il faut et il suffit
DES MOMENTS ET DES EQUATIONS DEQUILIBEE. ^3
i^ que la somme des forces soit nulle; 2^ que les sommes de leurs moments y par rapport a deux plans menés par une parallèle à la direction des forces y soient nulles se' parement.
En effet, soient R', R".. ., les forces données. Il est clair que le système sera en équilibre j si les deux résultantes partielles et contraires R', R^', auxquelles on peut le réduire (43), sont égales et dirigées suivant une même droite. On doit donc avoir d'abord R'+R"=o, ou P'+F'+. . .^o, ce qui donne la première équation d*équilibre. Maintenant , il est clair que les deux forces égales et contraires R', R'', agiront suivant une même droite , si leurs directions sont à la même distance des deux plans ZX , ZY, menés par la droite donnée ZZ', parallèle aux forces. Mais alors les moments des forces R', R", par rapport à chacun de ces plans, seront égaux et de signes contraires, et, par conséquent, il en sera de même des moments de leurs composantes respectives. Donc la somme des moments de toutes les composantes, par rapport à chacun des plans ZX, ZY, sera nulle séparément. Ainsi, en désignant par a:', j?". . .,^, /"• . ., les distances des forces P', P". . ., aux plans ZY, ZX,on aura, pour les trois équations d^équilibre du système proposé,
P'+F'+...=o, Fa:'+FV+... = o,
py+Fy'+...=o.
Il est d'ailleurs évident que ces équations sont suffisantes ; car dès qu elles sont satisfaites , les deux résultantes partielles, auxquelles se réduit le système proposé, sont égales et situées à la même distance des deux plans ZX, ZY, c'est-à-dire qu'elles agissent suivant une même droite. Le système est donc en équilibre.
7^ CHAPITRE il.
tôï*'âqùe les fok'ces sont situées clans iin mêine ]^lah, leà equàittons d*équiUbre , déjà déterminées direcVèmeht (93), peuveht se cohcTùre des précédentes, en supposant que l'un des deux plans ZX, ZY, censés perpeiicliculâiréls entre eux, se confond âveC céliii deà forces.
97'. Remarque Ï. Toiil systèifae , qui ^aUsTait séùtemént â là ^t'emière 'des 'équàu'ôns ci-dessuis, se réduit à ùh coufïe, fcomme dâtis le cas du ïi** 94.
Tout systènié, qui satisfait seulement àiix deux Crémières équatîbîis , oii bien à la deùxièAie et à la troisième, se rédiùit de mêrrt'e à un couple, doht le pian est, sieïôn lé 'cas , parallèle au plan ZY ou à\i jilan ZX.
98. Remarque ÏI. Tout système, qui ne satisfait pas à la p'riemière des trois équations ci-de$àùà , a utté résultante. La démonstration est absolunîent la mênA'e que pour le cas du n" 95.
On trouvera de même que la véstiriâiilê R et ses distancés .r,^^, aux plaiis ZY, ZX, sont données parles équations
or, si Ton mène, aux deût dîstatices trouvées, deux plans parallèles aux plans ZY, ZX, la directîôYi de la résultante, devant se trouver à la fois dans chacun de ces deux plans, sera donc précisément leur intersection; et comme les mêmes équations indiquent dans quel sens agit la résultante , celle-ci sera donc complètement déterminée.
On voit, en outre , que les deux dernières des équations précédentes peuvent s'énoncer comme il sUÎt:
Lorsque tant de forces parallèles qu^on ^voudra ont une résultante y sa distance a un plan quelconque pdràllèk
DBS MOMENTS ET Ùks éQUltlONS D*ÉQUILIBRE. ^3
à la direction commune y est égale à la somme des moments des forces données , divisée par la somme des mêmes forces.
gg. Corollaire. Nous ayons vu (44) <iuc ^^ centre d'un nombre quelconque de forces parallèles est toujours situé sur la direction de la résultante ; par conséquent, on obtiendra la distance de ce centre à un plan parallèle à la direction des forces, comme on obtient délie dé la l^s'ultàilte^ eil divisant là âfomUAé'deiinnonieMts, pris ^^t* rapport àU )ptsLù\ par là sokntne dei fôlrcesr.
Oh tï*ouVera de même la distance du centre à un ptàti ^èlcortque', en iAiâgiifkàht ^ue toutes lefà forcée ^^é'àoiem tôûi^ééls parallëltement à ce plan, tout en cott^erVùY^t leiiVs ifttensités et leur parallélisme ; la somme des Tnôuveaux moments , dil/iâée par ta somme dès ÏFolrces , dûA» nerà la distance du centre au iioûVeàu plan.
En répétant la tnêihe opération une troisième fois , le centre des forces parallèles sera déterminé par Tintersectîon de trois plana menés aux trois distances ti^uveeô', parallèlement aux trois premiers.
Dans le caS où les forces dohïiées sont égales et de niéme sens, eïi appelant n le nonifoïe des foires", Tex^prèisiô'n
p'-hP"
devient
Donc alors la distance du centre à un plan quelconque, égale la somme de toutes les distances des points d'application divisée par leur nombre, c'est-à-dire, la distance moyenne de tous les points d'application.
j6 CHAPITRE II.
