SECTION V

éQUÀTiONS d'Équilibre des forges dirigées d'une manière quelconque

DANS l'espace.

io3. Théorème. Pour qu'il/ ait équilibre entre des forces dirigées d'une manière quelconque dans Vespaccy i

DES MOMENTS ET DES ÉQUATIONS d'ÉQUILIBRE. 7Q

faut et il suffit ; i** que les sommes des composantes de ces forces , parallèles a trois axes menés par un m.ème point j soient nulles séparément; 2° que les sommes des ^noments des forces données^ par rapport a chacun de ces trois ajçes , soient également nulles séparément.

Soient F, E"..., les forces données. Pour qu'elles soient en équilibre , il faut et il suffit évidemment que les deux forces R', R", auxquelles on peut toujours les réduire, soient égales et directement opposées.

Cela posé, si Ton décompose chacune des forces R',R", en trois autres X , , Y, , Z , , X , , Y, , Z , , respectivement parallèles à trois axes OX, OY, OZ, menés par un point quelconque O de l'espace, les composantes de R' seronrt égales et parallèles aux composantes analogues de R", et agiront en sens contraire. On aura donc d'abord

Gomme, en outre, les forces R', R" agissent suivant une même droite et en sens opposés, il est clair que les moments L,, M,, N^, de R' par rapport aux axes OX, ()Y~, OZ, seront égaux et de signes contraires aux moments L^ , M^ , N, , de R" par rapport aux mêmes axes ; et Ton aura

Les six équations d'équilibre sont donc

X. + X,=o, Y,-l-Y,=o, Z, + Z,=o, ^'^ L. + L,=o, M,+M,zz=o, N.-f-N,=o;

et dès qu'elles sont toutes satisfaites, il est facile d'en conclure que les deux résultantes partielles R', R", sont égales, contraires et dirigées suivant une même droite. Mais si l'on décompose chacune des forces P', F',... en trois autres parallèles aux axes OX, OY, OZ, en dési-

8o CHAPITRE II, I ^'

gnant par X, Y, Z, la somme des composantes parallèles à chacun d'eux, et par L, M, N, la somme de leurs moments pris par rapport aux mêmes axes, on aura (6a, 85) |v:fî

X. + X,=X, Y, + Y,=Y, Z, + Z.=Z, L, + L,=L, M.-hM,=M, N,+N.=N,

et par conséquent les équations (i) pourront se remplacer par les suivantes

qui sont donc les équations d'équilibre du système P', P" . . . , conformément à l'énoncé du théorème.

io4» Remarque I. Tout système, qui satisfait seulement aux trois premières des équations (2), se réduit à un couple, comme au n** i o i • Car puisqu'on a X = o, Y=o, Z = o, on a pareillement X,H- X,= o, Y,-|- Y,= 0, Z,+ Z,= o. Donc les deux résultantes partielles R', R'' sont égales , parallèles et de sens contraires.

Réciproquement, si le système proposé donne lieu à un couple, les résultantes R^, R'^ sont égales, parallèles et de sens contraires. On a donc X, + Xj = o, Y,+Y, = 0, Zi+Z2=o, et, par suite, X = o, Y=o, Z=o.

Donc pour qu'un système de forces données dans tespace se réduise a un couple^ il faut et il suffit que les sommes des composantes de ces forces j parallèles à trois axes menés par un même point ^ soient nulles séparément* io5. Corollaire. Il suit aussi de là qu'un nombre quelconque de couples situés dans V espace se réduisent toujours a un couple unique. Car les forces P, — P, P', — P',. • •> qui constituent les couples donnés (P, — P), (P', — PQ. . •) étant deux à deux égales, parallèles et contraires, on sait que la somme de toutes les composantes de ces forces, parallèles à un axe quelconque, sera nuUe.On aura donc X = o, Y = o, Z=:o.

DBS MOMENTS ET DES ' EQUATIONS D*ÉQUILIBRE. 8l

Transformation des équations JC équilibre.

1 06. Les six équations d équilibre (io3) d'un système quelconque F, P",«..se remplacent ordinairement par six autres qui ont lavantage de renfermer d'une manière très-simple les intensités des forces données, les angles que les directions de ces forces font avec les axes , et les coordonnées dun point de chacune de ces directions.

Pour obtenir ces nouvelles équations, supposons les trois axes OX, OY, OZ rectangulaires entre eux, et désignons par a , 6', y', les angles que la direction de P' fait avec ces axes, on aura (9a) pour les valeurs des composantes X', Y' et Z' de F,

X' = P' cos a', Y' = P' cos g', Z'=z=F cos y'.

De même, en nommant a", 6", y", les angles formés par la direction de F' avec les axes, on aura

r =F' cos a", Y"=F' cos g", Z" = F' cos y", etc.,

et les trois premières des équations d'équilibre (io3) deviendront, comme dans le cas du n"" 91,

(i) F cos a' + F' cos a"+ . . .=0,

(2) F cos g'+ F- cos ë'+* . .=0,

(3) F cos y'+F' cos f '+• . •=o.

Si maintenant on représente par a/,7', jz', les coordonnées d'un point quelconque A de la direction de P', et par n' le moment de cette force par rapport à l'axe OZ, il est évident que la projection A' du point A sur le plan XOY aura pour coordonnées af^ y, que la projection de P sur le même plan aura X' et Y' pour composantes parallèles aux axes OX, OY, et que le moment de cette projection par rapport au point O sera n'; on aura donc (67)

n'=Xy—Y' x=V if cos a'— «' cos g')-

M. Statique. 6

6fk tnàjfttkE tu

En adoptant des notations analogues pour la force P'', on aura de mâme

ii"=ff X" /—Y" y' SI r (/ coi «"•-«/' eet 6")?

ainli de suite.

Or on a représenté par N (io3) U somme des moments des forces P, ?"•••«, par rapport à Taxe OZ. Donc k dernière des six équations d'équilibre N==o deviendra

(4)P'(ycos«'~a/cosgO+FV'oo»«"--^'cose'')+-.«>-

Les deux autres équations L = o, M = o, transformées de la même manière^ deviendront évidemment

(5) F(z' cos ê'-y cos y')+P V cos 6"— r" coâ y')+-.=<S (o)P(j? cosy-^jz coia)-|-P {^x cosy — -^ cosa )-f-.,.=o.

107. GoROLLAïaB I. Lorsque les forces données P', V^\.^ ne se font pas équilibre^ on peut ^ au moj^en des mîx équo" tions précédentes j trouver la condition nécessaire «I suffi* santé pour qu^ elles aient une résultante unique ^ et la dé' terminer.

En efFet, soit, s'il est possible, R la résultante des forces données. Alors une force — R, égale et directement opposée à R, leur fera équilibre, et par conséquent les six équations précédentes devront avoir lieu en y faisant entrer la forea -^ R.

Gela posé, soient a?, 7, js, les coordonnées d un point quelconque de la direction de R , et ae, €, y, les angtcs qu'elle fait avec les axes OX, OY, OZ. La force — R devra former, avec les mêmes axes, des angles (200'' -!-«), (aoo**-hé), (aoo"-f«Y)> dont les cosinus sont — cos a, •<«*cos€,<-n cos y. Donc si, pour abréger, Ton Dût

DS8 MOMBNTS &T DES EQUATIONS D EQOIUBRS, 83

P'cosa'+F'cosa"4-..

Fcose'+P"cosr+...

Fcosy+F'cosy'+...

V{z cos S — y' cos y')+ .

F(y cos y — 2' cos a') + • F(y cos et'— af cos 6^)+ .

oaaura pour les équations d'équilibre du nouveau système

[X-— Rcosa=:o, Y — Rcos6=o, Z — Rcosy=o, (i) I II — 'R («cos 6— /cos y)^=o. M— R(xcos v— ^ cosa)==o, I N — R (/cosa — a?cos6)=:o,

el en vertu des trois premières de ces équations, les trois dernières deviendront

(a) L— (Y;3-^Z^)=o,M— (Zor — X;3)=o,

N— (X7-.Yj7) = o.

Comme les coordonnées ^,^, 2, peuvent appartenir à un point quelconque de la direction de la résultante, les trois équations (12) sont donc celles de ses projections sur les trois plans coordonnés. Mais si Ton conduit par deux quelconques de ces projections, les deux premières par exemple, deux plans perpendiculaires, l'un à YOZ, l'autre à XOZ, il est dair que l'intersection de ces deux plans donnera la direction de la résultante dans l'espace. Ainsi^ deux quelconques des projections de cette droite suffisent pour la déterminer, et la troisième doit nécessairement résulter defl deux autres. Par conséquent, pour que la droite existe, il faudra que les trois équations de projection se réduisent à deux. Or si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement par X, Y, Z, les coordonnées variables ^9 J> «9 disparaissent, et Ton obtient l'équation

(3) LX + MY + NZ = o

qui exprime la relation nécessaire et suffisante entre les

résultantes partielles X^ Y, Z, et les trois moments partiels Ly M, Ny pour que les trois équations (2) puissent subsister à la fois, et par conséquent pour que les forces P', P", . . .aient une résultante unique.

Dès que cette équation de condition est satisfaite^ on peut déterminer la résultante R, en intensité et en direction, par les trois premières des équations (i), comme on l'a déjà fait dans le n^ 92, et l'on trouvera les mêmes résultats.

Alais il est à remarquer que les valeurs des trois coordonnées X, /, Zj se présenteront ici sous la forme -9

parce que la résultanteR pouvant être appliquée à un point quelconque de sa direction^ le calcul ne peut déterminer Fun de ses points plutôt que tout autre. En effet, les trois équations (a) se réduisent réellement à deux différentes; on n a donc que deux équations entre les trois variables Xy j, z, qui doivent donc rester indéterminées.

Les trois résultantes partielles X, Y, Z, ne peuvent d'ailleurs être nulles à la fois, car le système proposé se réduirait alors à un couple (104).

108. G0ROLI1A.IRE IL Tout système, qui ne satisfait pas à l'équation de condition LX-f-MY + NZ=o, se réduit toujours à deux forces R', R" non situées dans un même plan; et réciproquement y si les deux forces R', R", auxquelles on peut réduire le système proposé, sont situées dans des plans différents, l'équation de condition ne sera pas satisfaite.

Dans ce cas, il y ^ ^^^ infinité de systèmes de deux forces qui peuvent remplacer les forces proposées.

En effet, si l'on représente par X,, Y,, Z,, X^, Y,, Z les composantes des deux forces R', R", parallèles aux axes OX, OY, OZ, et par /, j /w, , n, , 4» ^^j ^t j leurs moments' par rapport aux mêmes ax^s^on n'aura, pour déterminer

DBS MOMENTS BT DBS EQUATIONS D* EQUILIBRE. 85

ces douzequanlitésquehuitéquations,savoir:lessix équations

X, + Y.=X, Y,+Y.=Y, Z. + Z.=Z, /,+ /, =L, /w,+iw,==M, /i, + iï,=:N,

et les deux équations de condition

/,X, + w.Y, + /i,Z, = o, /,X, 4- TO,Y, + n,Z, == o.

Le problème sera donc susceptible d'une infinité de solutions.

109. Remarque. Les six équations d'équilibre, pour des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, peuvent servir à retrouver les équations d équilibre obtenues dans les différents cas déjà traités, par exemple, pour des forces parallèles, ou appliquées à un même point, ou situées dans un même plan, etc. A cet effet, il suffit de mettre à la place des coordonnées x\y\ z\ et des angles a', &, y 9 • • • les valeurs qui conviennent au particulier que l'on a en vue. Nous nous bornerons à indiquer cet exercice, qui n'offre aucune difficulté quand on a bien saisi ce qui précède.

86 GXâRTis m.

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coxjiniofis 0*ÉQriLmB rmm dis forces appiiquébs ▲ un coin

IfO^ ENTlfcRUU^T UBUE BASIS L*BSr&CS.

iio. Nous avons yu (io3) que les six équations d*dquilîbre, pour un corps ou système sollicité par des for ces quelconques, sont: X=:0| Y = o, Z = o, L = o, M=o, N=o. Cette détermination suppose tacitement que le corps, auquel les forces sont appliquées, est entièrement libre dans Tespace. Nous allons maintenant examiner comment ces équations se modifient, lorsque certains points du corps sont fixes et opposent une résiatance invincible à l'action des forces qui peuvent y être appliquées.

Nous distinguerons trois cas principaux, auxquels il est facile de ramener tous les autres , savoir :

i^ Le corps n'a qu'un point Jixe^ et par conséquent peut tourner en tout sens autour de ce point.

2° Le corps a deux points fixes , et ne peut ainsi tourner qu'autour de la ligne menée par ces deux points.

3° Le corps a trois points fi^es ^ ou, ce qui revient au même , s'appuie, par un ou plusieurs points, contre un plan inébranlable.

^QUItlBAB BUN CORPS QUI A UK POIKT PIXS. '87 $ 1. ^BB li'éQOaiW 9^m Q8flM, DOMt VU $m» POUf MT !»»•

zii. TaBOR£MB< /'ottT jrii« des forcâs, appliquées à un corps dont un point est fixe ^ se fassent éçuilibre, il faut et il suffit que les sommes de leurs moments^ par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce points soient mdr les séparément.

Soient les forces P,P',P"y. • .appliquées à un corps dont un point A est fixe. Quoique le point A ne puisse par luimême produire le moindre efibrt, néanmoins il est clair que toute force R appliquée à ce point sera détruite par sa résistance; celle*ci fait donc Teffet d*une force — E égale et directement opposée à R. Ainsi, dans la recherche des conditions d'équilibre, nous pourrons substituer au point fixe une force — R appliquée à ce point, cette force ayant d'ailleurs une direction et une intensité quelconqueS| puisque la résistance du point A est censée indéfinie dans tous les sens. Les conditions d'équilibre des forces P, P',, * .seront donc les mêmes que celles des foi*ces — R^ P, F,... appliquées à un corps entièrement libre.

Concevons trois axes rectangulaires AX) AY, AZ| menés par le point A, et décomposons la force — Ren trois autres — X', — Y', — Z', parallèles à ces axes. Gomme la force — R passe par le point A, sa distance à chacun des trois axes est nulle. Ses moments par rap*port aux mêmes axes sont donc nub séparément, et les sommes L, M, N des moments des forces P, F..ypar rapport aux mêmes axes, resteront les mêmes après Tintroduction de la force — R dans le système. Les six équations d'équilibre seront donc

X — X'cro, Y — r=o, Ï — T^o,

88 GHAPITRB III.

Mais la force — R étant tout à fait arbitraire, on peut toujours choisir les valeurs des composantes ^-«*X', — Y', — Z', de manière à satisfaire aux trois premières équations; par conséquent, les équations d'équilibre se réduisent en définitive aux trois suivantes

conformément à Ténoncé du théorème*

112. Corollaire L Les forces proposées se font donc équilibre, lorsque ces trois équations ont lieu; mais alors réquation de condition LX + MY + NZ= o (107) étant aussi satisfaite, les forces proposées ont donc une résultante, et pour que 1 équilibre puisse alors exister, il faut que sa direction passe par le point fixe A. En effet, comme les moments de la résultante par rapport aux trois axes AX, AY, AZ, sont nuls séparément, et comme, d'ailleurs, toute force, dont le moment par rapport à un axe est nul, doit nécessairement rencontrer cet axe ou lui être parallèle, il est clair que la direction de la résultante, ne pouvant être parallèle qu'à l'un des trois axes,'doit rencontrer les deux autres, et par conséquent passer par leur point d'intersection.

De là résulte cet autre énoncé du théorème précédent:

Pour que des forces appliquées à un corps^ dont un point est fixe ^ se fassent équilibre y il faut et il suffit qu^ elles aient une résultante unique passant par le point fixe.

Au reste, il est facile de démontrer directement le théorème ainsi présenté, en remarquant que les forces proposées peuvent toujours être remplacées par deux forces 11', R", dont l'une R' soit appliquée au point fixe A (54), et par conséquent détruite. Pour que l'équilibre ait lieu , il faut donc ^ue la force R", à laquelle se réduit le système proposé, passe aussi par le point A. D'où il

SQUILIBBB d'UK CORPS QUI .▲ DEUX POINTS FIXES. 89

résulte que le système sera en équilibre^ s'il a une résultante appliquée au point A.

On voit en même temps que , dans tous les cas , un système de forces quelconques , appliquées à un corps qui a un point fixe, peut être mis en équilibre à Taide dune seule force. Car, après la réduction qu'on vient d'indiquer, il suffira d'introduire dans le système une force égale et directement opposée à R".

De la pression exercée sur le point fiœe,

11 3. Corollaire II . Lorsque les forces proposées ont une résultante unique passant par le point fixe, il n'est pas nécessaire, pour l'équilibre du système, que la résistance du point soit indéfinie ,- elle doit seulement égaler la résultante des forces, dont l'intensité détermine donc, dans chaque cas particulier, la résistance dont le point âxe doit être susceptible. Cette résistance, ainsi déterminée et prise en sens contraire, est ce que l'on nomme la pression exercée sur le point d'appui par les forces du système. Or toutes ces forces, transportées parallèlement à elles*mémes pour être appliquées au point fixe, auront encore (6i) la même résultante qu'auparavant; d'où il résulte que

La pression exercée sur le point fixe est égale à la ré" sultante de toutes les forces données transportées parallè^ lement à elles-mêmes au point fixe,

§ 2. ' DE L*ÉQDIUBRE d'CN CORPS QUI A DEUX POINTS FOLES. /.

114. Théorème. Pour qu'il y ait équilibre entre des forces appliquées à un corps ^ uniquement susceptible de tourner autour de Vaxe mené par deux points fi^es y il faut et il suffit que la somme des moments des forces ^ par rapport à cet axe y soit nulle.

^ CltiPlTllB lu.

Fig. 38. Soient les forces P, P, P^^ . • . appliquées à un corps ABC, dont les deux points A, B, sont liés entre eux d'une Énanière invariable par la ligne AB, et ne peuvent d*ailleurs glisser le long de cette ligne. Dès lors le cotps àe pourra prendre qu*un mouvement de rotation autour de Taxe fixe AB, ce qu*on exprime en disant que le corps est assujetti à tourner autour de Vaxe AB.

Désignons par — R', — -R", les forces dont les points fixes A} B peuvent tenir lieu par leurs résistances ; nous pourrons considérer le corps comme entièrement libre dans l'espace et soumis à Faction des forces -"«R', -— R'', Py F,. • «Soient les trois axes rectangulaires AX^ AY, AZ qui se coupent au point A, et dont l'un AX passe, en outre, par l'autre point fixe B. Nommons — -X', —Y', -— Z'j — X", — Y", — Z", les composantes des forces -^R', — R" suivant ces axes, et désignons la distance AB par D. La force ^ — R^ étant immédiatement appliquée au point A, ses moments, par rapport aux axes, seront nub. Les moments de la force -^ R" par rapport aux axes AX, AY, AZ, seront o,— DY", — ^DZ". Donc en désignant, comme à l'ordinaire, par X, Y, Z, L, M, N, les sommes des composantes et des moments des forces proposées par rapport aux mêmes axes, on aura, pour les sixéqua* tions d'équilibre du nouveau système, X~X'-X"=:o, Y Y'Y"=o, Z Z'Z"tt:o, L =o. M— DY''=o, N— DZ"ï=o.

Mais en supposant la résistance des deux points fixes indéfinie en tous sens, on pourra toujours choisir les valeurs des composantes de — R' et de — R" de manière à satisfaire aux trois premières équations et aux deux dernières. Par conséquent les équations d'équilibre se réduiront en définitive à la suivante

L = o, conformément à l'énoncé du théorème.

PtJSSSlOJXS VXMjdBS STJfi us POINTS FIXES. pt

tl5. RemarqIjb I. Lorsque des forces quelconques sont appliquées h un corps assujetti h tourner autour dHun axe fixe, on peut toujours leur faire équilibre au moyen d*une Meule force située dans un plan perpendiculaire à Vaxe.

Car si Ton remplace les forces proposées par deux systèmes de composantes, les unes parallèles à l'axe fixe AB, les autres situées dans un plan MN perpendiculaire à cet axe, les premières seront détruites par la résistance de Taxe, et les autres se réduiront à deux forces dont l'une peut être appliquée au point d'intersection de l'axe et du plan MN. Il ne restera donc que la seconde force située dans le même plan.

1 16. Remarque II. Si les deux points A, B du corps, au lieu d'être entièrement fixes, peuvent glisser ensemble dans la direction AB, en conservant toujours la même distance, leurs résistances X', X", dans le sens de Taxe AX, s annu* lent d'elles-mêmes, et la première des six équations cidessus ( ii4) devient X =o. Par conséquent, pour que l'équilibre ait lieu, les forces proposées doivent satisfaire aux deux équations

Ce théorème peut s'énoncer ainsi :

Pour qu^U y ait équilibre entre des forces quelconques ' appliquées a un corps assujetti a tourner autour d'un axe ^fi±ey et pouvant en outre glisser le long de cet axe, il faut et il suffit i** que la somme des composantes des forces données ^ parallèles a V axe fixe y soit nulle; a** que la somme des moments des forces données ^ par rapport au même axe y soit pareillement nulle.

Des pressions exercées par lesforces sur les deuxpomtijixes

du corps en équilibre,

ti'j. GoROLi^ÂiRÉt Les presstofis exercées $ut les deux

pS CHAPITRB IIX.

points fixes A, B sont, (l*après ce quon a vu plus haut ( ii3)^ les résistances de ces points prises en sens contraires j et par conséquent égalent les forces R', R" ( 1 14). Ainsi, pour déterminer leurs six composantes Xf^ Y', Z'^ X", Y", Z", on a les cinq équations

X— X'— X"=o, Y— Y'— Y"=o, Z—Z'— Z"=o, M— DY"=o, N— DZ"=o,

la sixième équation d'équilibre L = o ne contenant aucune de ces composantes.

On a donc cinq équations entre six inconnues, ce qui semble indiquer au premier abord que les pressions R', R", sont indéterminées , ou qu*on peut prendre à volonté l'une de leurs six composantes. Mais comme les deux inconnues X'jX" nVntrent que dans la première équation, on voit que les quatre équations restantes suffiront pour déterminer les quatre autres inconnues.

En effet les deux dernières équations donnent

^ — d' ^ — D' substituant ces valeurs dans les autres, on en déduit

^, DY-M , DZ-N

Ainsi les forces Y', Z', Y", Z", c est-à-dire les composantes des pressions perpendiculaires à Taxe AB, seront déterminées par les quatre équations précédentes, et il ne restera que les deux indéterminées X', X", ou les composantes des pressions suivant AB, dont la première équation X'-i-X"=X fera seulement connaître la somme, qui est une quantité constante égale à X.

Chacune des pressions perpendiculaires à Taxe sera d'ailleurs déterminée en intensité et en direction au moyen de ses deux composantes, comme on la vu plus haut (89}.

ÉQUIUBRE d'un COEPS QVI A TROIS POINTS FIXES, gi

Ces résultats peuvent s'énoncer comme il suit : Lorsque des forces appliquées à un corps ^ qui a deux f oints fixes ^ se font équilibre^ les pressions exercées sur ces points perpendiculairement à Paxe sont déterminées en intensité et en direction ; et les pressions exercées sur les mêmes points j dans le sens de Vaxe^ sont indéterminées se" parement, mais sont une somme constante égale à la somme des composantes des forces données^ parallèles a Va^xe. L'indétermination des pressions exercées sur les deux points fixes, suivant Taxe, provient de ce que ces points, censés unis par une verge inflexible, se prêtent un appui mutuel. Chacun d*eux a donc toujours, soit par lui*méme| soit par le concours de Tautre, la quantité de résistance nécessaire à l'équilibre, lorsque toutefois la somme des deux résistances suffît. Or c'est précisément cette communauté de résistance qui ne permet pas d'assigner, par le calcul, la portion exercée isolément par chacun des deux points fixes.

S 3. — DE l'équilibre d'on corps dont un ou plusieurs points s'appuient contre un plan inébranlable.

II 8. Lemme. Un plan fixe ne peut détruire que lesfor^ ces dont les directions lui sont perpendiculaires.

En effet, soit une force R qui presse un point A con- Fig. 39. tre un plan MN. On peut toujours la concevoir décomposée en deux autres. Tune AP, perpendiculaire ou normale au plan, lautre AQ située dans ce plan. La pre-. mière est nécessairement détruite par la résistance du plan, car la direction de la force AP faisant des angles égaux avec toutes les droites telles que AQ, menées par le point A dans le plan MN, il n'y a pas de raison pour que le point A se meuve dans la direction de l'une plutôt que dans la direction des autres. Mais la seconde composante AQ conserve tout son effet, parce que son ac-

p4 CHAPITAE UI.

tion ne peut être altérée par la résistance du plan le long duquel elle s*exerce. Donc un plan fixe ne peut détruire que les forces dont les directions lui sont perpendiculaires , et par conséquent la résistance qu*il oppose en un de ses points a le même effet qu'une force nonnik appliquée à ce point.

1 19. Corollaire. Il suit de là que pour déterminer lei conditions d'équilibre de forces appliquées à un corpi s'appuyant contre un plan fixe par plusieurs points, on peut remplacer la résistance des points d'appui par des forces normales au plan et appliquées à ces mêmes points avec des intensités indéfinies.

lao. Remarque. Lorsqu'un corps s'appuie contre un plan par un nombre quelconque de points ^ on peut toujours construire un polygone conuexe, ayant pour sommets plusieurs de ces points, et renfermant tous les autres dans son intérieur. En effet, on joindra d'abord deux points A, B, pris de manière que la droite AB laisse tous les autres points d'un même côté; on joindra de même le point B à un troisième point G choisi de manière quek droite 6C laisse d'un même côté tous les points restants. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on retombe sur le point A.

121. Thborbms. Pour qu'il X ^^ équilibre entre dm forces appliquées à un corps s'appuyant contre un plan fixe par un nombre quelconque de points ^ il faut et il suffit que ces forces se réduisent à une seule ^ normale auplan^ pressant le corps contre le plan, et le rencontrant en un point situé dans V intérieur du polygone {com^exe) déter^ miné par les points d'appui.

V^ Démonstration, — Soient les forces P, F, P",. . . appliquées au corps ABC. • . s'appuyant contre un plan fixe par les points A, B, G. . . ,les résistances opposées par ce plan aux points A, B, G.. . • pourront (i 19) être représentées par des forces r, r^, r"^ • • • normales au plan, et ten«

]BQtriLIfiRB B^tJR CORPS APPUTÉ StJR tJN PLAN. 9S

dant à en éloigner le corps ABC • • • Mais ces forces r, r^^' ' .»| étant parallèles et de même sens, auront une résultante E également normale au plan qu elle rencontrera dans nntérifiur du polygone formé par les points d'applicatioii des composantes. Ainsi nous pourrons considérer le corps comme entièrement libre dans l'espace , et soumis à Tac» tien des forces R, P, P', P'V • ^^^^ conséquent, dans le cas d'équilibre y les forces données P, P\ V'\. • .auront une résultante, égale et directement opposée à R; ce qui démontre le théorème.

On voit d'ailleurs que la condition énoncée suffit pour assurer l'équilibre, puisqu'on peut disposer à volonté des résistances indéfinies r, r\ r'\ • •, de manière que leur somme soit égale et directement opposée à la résultante des forces données.

U* Démonstration. — Concevons trois axes rectangu* Fig. 40. laires AX, AY, AZ, dont deux AX, AY soient menés dans le plan fixe, Taxe AX passant, en outre, par deux points d'appui A et B^ tels que cet axe laisse tous les autres points d'appui d'un même côté. Désignons par X, Y, Z, les sonames des composantes des forces données, paitd* lèles aux trois axes, et par L, M, N, les sommes des moments des forces, par rapport aux mêmes axes AX, AY, AZ. Puisque les résistances r, r', r",.».sont normales au plan XAY, leurs composantes parallèles aux axes AXL, AY, seront nulles, et les moments de r, r', r",.. .par rappQit à Taxe AZ, seront pareillement nuls. Par conséquent , si l'on désigne par /, m, les sommes des moments de ces forces par rapport aux axes AX, AY, on aura pour les six équations d'équilibre du système total P,P',P",. • •

X=o, Y=o, Z+r+r'+r" + ...=o, L+/=^o,^ m + mii^^K^ N=o*

96 CHAPITAB m.

Ces équations montrent que les forces proposées donrent avoir une résultante unique R, puisque Téquation de condition LX -+• M Y -h NZ =0 (107) est satisfaite, et que les trois sommes X^ Y, Z, ne sont pas nulles à la fois.

Les deux premières équations X = o, Y=o, nous apprennent qne la résultante R n*a pas de composantes parallèles aux axes AX, AY, ou, en d'autres termes, qu elle est perpendiculaire au plan fixe ; et la troisième équation Z 4-/' -h r'-f- r"-|- . . • = o montre qu'elle peut avoir telle valeur qu'on voudra, [}()urvu qu elle ne soit pas positive. Par conséquent, la résultante tend à presser le corps contre le plan fixe.

Enfin, il résulte de l'équation L + /:r=o, que la direction de R rencontre le plan XAY en un point K situé dansTintérieurdu polygone convexeABCD. . .En \efret,si l'on représente par j, d'\ d"'y». les perpendiculaires abaissées des points K, C, D, . . • sur l'axe AX, les moments des forces R, r ', r"\ • . ,par rapport à cet axe, seront Ry, r'V, r"'d"\.,.On ne met pas les moments des forces r, r', qui sont nuls , l'axe AX passant par les points A et B ou ces forces sont appliquées. Ainsi l'équation L + /=o deviendra

Rj+r V-f-r 'rf"'-i-. . .=0;

d'où l'on tire, à cause de R = Z=— -(r-j-r'+. . .),

Or les résistances parallèles r, r', . • . étant toutes positives, et les distances d'\ d"\. • • devant toutes être de même signe, puisque les points G, D,... sont, par hypothèse, tous placés d'un même côté de l'axe AX,il en résulte que la distance j sera de même signe que d'\ d"\. . ., et que par conséquent le point K sera situé, par rapport à l'axe AX mené parles deux points d'appui