PRESSIONS EXSACSS8 SUR IBS POINTS D*APPUI. QQ

chacun d eux aura toujours, soit par lui-méine, soit par le concours des autres , la quantité de résistance nécessaire pour annuler la pression qu*on lui suppose.

Ainsi disparaît une difficulté qui a beaucoup embarrassé d'Alembert , et qui consiste en ce que les pressions des points d'appui sont indéterminées d'après la théorie, comme on vient de le voir, tandis que si Ion conçoit un corps appuyé contre un plan par plusieurs points, et maintenu en équilibre par une force perpendiculaire au plan , il est bien clair que chaque point d appui doit nécessairement se trouver pressé, et par conséquent éprouver une pression complètement déterminée.

L'indétermination aurait heu en effet si le point d appui , une table par exemple, était rigoureusement inflexible; mais tel n'est jamais le cas de la nature, et quelque peu flexible qu'on suppose le plan , il se déformera toujours un peu et se comprimera inégalement dans ses différentes parties. Or la quantité de déformation et de pression en chaque point du plan dépendra non-seulement des forces du système, mais encore du nombre et de la disposition des points d'appui; et quoique les pressions individuelles de ces points soient bien complètement déterminées dans chaque cas particulier, il faudrait, pour obtenir autant d équations qu'il y a de points de contact , et déterminer ainsi leurs pressions , savoir tenir compte des propriétés physiques en vertu desquelles la pression totale se distribue dans les diverses pressions particulières. Or t'qn n a pas encore donné la solution générale de cette question très-difflcile de physique.

laS,. Remarque U. La pression se calcule simplement daps les trois cas suivants :

1° Lorsque le corps s'appuie contre le plan par un seul point A, la pression exercée en ce point est égale à la résultante du système proposé.

lOO CHAPITAB un

2^ Lorsque le corps s*appuie par deux points A, B, la résultante R rencontre la droite AB en un point O, situé entre A et B. Alors les pressions r, r' sont données par les proportions :

r:R::OB:AB, r':R::OA:AB.

Fig. 4i. 3° Lorsque le corps s'appuie par trois points A, B, C, non en ligne droite, la résultante R rencontre le plan fixe en un point O, situé dans Tintérieur du triangle ABC. Or si Ton mène , par Tun des sommets A et par le point O, une droite AO prolongée jusqu à sa rencontre en D avec le côté opposé BC y en décomposant la résultante R en deux forces parallèles à sa direction, de même sens^ et appliquées aux points A, D, on déterminera leurs intensités r, F par les deux proportions

r:R::OD:AD, F:R::AO:AD-

Décomposant pareillement la force F en deux autres parallèles à sa direction, de même sens, et appliquées aux points B , G , on déterminera leurs intensités r', r" par les deux proportions

r':F::DC:BC, r":F::BD:BC.

On aura donc la valeur des pressions r, r', r" exercées aux trois points d appui A, B, C.

S 4- O^ r équilibre dan corps s^ appuyant contre plusieurs

plans à la fois,

1 26. Il est facile d'appliquer les considérations précédentes à l'équilibre d'un corps qui s'appuie à la fois contre plusieurs plans. Car les résistances des plans peuTCot se remplacer par des forces normales à ces plans, susceptibles d'une intensité infinie, et appliquées à des points situés dans l'intérieur des polygones déterminés par les points d'appui. Si donc on exprime qu'il y a équilibre

PRESSIONS BXERCÉBS SUR LES POINTS D*APPUk. lOI

entre les foix^es proposées et des forces normales aux

plans fixes, agissant en sens contraire de la pression

exercée aux divers points d'appui, on aura les équations

auxquelles le système proposé devra satisfaire pour que

l'équilibre ait lieu.

§ 5. De réquilibre d'un point assujetti à rester sur une ligne ou sur une surface donnée.

127. Théorème. Pour qu'un point sollicité par des forées quelconques et assujetti à rester sur une ligne courbe donnée , soit en équilibre , il faut et il suffit que la résultante des forces soit normale à la courbe ^^ c'est-àdire perpendiculaire à la tangente menée en ce point.

Car soit le point M assujetti à rester sur la courbe AB, Fig. 4^4 et soit R la résultante des forces qui lui sont appliquées. Comme la tangente TT', menée à la courbe au point M, a la même direction que l'élément rectiligne situé en ce point, les conditions d'équilibre du point M doivent être les mêmes que s'il était assujetti à décrire la tangente Tf. Or^ si la direction de la résultante R fait deux angles droits avec la tangente, il n'y pas déraison pour que le point M se meuve du côté MT, plutôt que du côté Mï', et, par conséquent, il restera en équilibre.

Cette condition est d'ailleurs suffisante. Car si la résultante R avait une direction oblique, par rapport à la tan- Fig. 43. gente MT, elle se décomposerait en deux forces, l'une normale MR', qui serait détruite comme on vient de le dire , et l'autre Mï, qui ferait mouvoir le point M , suivant cette tangente.

128. Théorème. Pour qu'un point sollicité par des forces quelconques y et assujetti à rester sur une surface courbe , soit en équilibre , il faut et il suffit que la résultante des forces soit normale à la surface y c'est-à-dire au plan tangent mené à la surface en ce point.

lOa GHAPITBB m.

En effet, comme le point M peut se mouvoir sut toutes les lignes tracées par ce point sur la surface, il faut, pour qu'il soit en équilibre, que la tésultante des forces données soit à la fois perpendiculaire aux tan* gentes menées à toutes ces courbes par le point M, et, par conséquent ^ au plan tangent mené à la surface par ce point.

Cette condition est d'ailleurs suffisante ; car si la résultante avait une direction oblique par rapport au plan tangent, elle se décomposerait en deux forces, Tune no^ maie au plan ^ et qui serait détruite y lautre dirigée suivant la tangente à Tune des courbes , et qui aurait tout son effet.

1 29. Remarque. Lorsqu'un corps , sollicité par des forces quelconques, s'appuie en différents points contre une ou plusieurs surfaces courbes , on déterminera les équations d'équilibre, en cherchant, au moyen des équations des surfaces , celles des plans tangents ou des . normales aux divers points de contact, et en introduisant, dans les six équations générales de l'équilibre d'un corps entièrement libre , autant de forces indéterminées dirigées suivant ces normales.

DES CBITTIUBS DE ORAVITÉ. fto3

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