AN

Substituant à GH et à CI leurs valeurs dans l'équation précédente , il vient

p,AG MN, ^~ AC ' AM '

MN Comme ' est la tangente de Tangle MAN„ si l'on désigne cet angle par ç, et qu'on fasse AG=R> AC=r, on aura enfin

(0 Q=^.tang. <p.

Donc, puisque les trois quantités/) , R, r, sont constantes , le poids Q du corps que Ton veut peser varie dans le même rapport que la tangente de l'angle ç.

D'après ce principe, il est facile de graduer lare MË >

de ihaJriière qu'il dohhè iitiniédiatèinent le pbids d*Ûki corps suspendu au point A. Car si Ton suspend d*abord un poids connu, par exempte, un kilogramme, l'aiguille prendra la direction AN, , et la distance MN, sera là tangente de Tangle actuel <p = MAN^. Donc^ d auprès 1 équation (i), si Ton partage la tangente indéfinie MN , à partir du point M , en parties égales à MN, , les longueurs successives MN,, MN^, MN,,..» seront les tangentes de langle ç, relatives aux poids de ï, 2, 3,. . . kilogrammes ; et les droites menées du centre A aux points de division M, N, , N,, N3,. . . couperont l'arc ME en des points où Ton devra écrire les nombres o^ i^ 2, 3,. . . . Si Ton suspend alors un corps au point A, le point où s'arrêtera l'aiguille indiquera le poids du corps à un kilogramme près. Si l'on veut obtenir une plus grande approximation, par exemple^ les héfctogràmmes contenus dans le corps , on partagera chacun des intervalles MN, , N,N, j . . . eA dix parties égales , et par la construction précédente, on déterminera les points des arcs M. . • i, i . . . 2, . . . . où il faudra écrire les nombres qui correspondront aux hectogrammes.

177. La proportion Q:/7::Rtartg9:r, quôn déduit de l'équation (i), ttiohtre que le poids p de l'aiguille, tel petit qu'on le suppose , peut toujours faire équilibre à un poids Q, aussi grand qu'on le voudra. En effet, là ti^ngente de l'angle ç pouvant surpasser toute quan** tit^ donnée, il en est de même du poids Q. Le peson sert donc à peser des ferdeaux considérables , pour les- (][uels la romaihe n'est plusd'aùcdn secours. Néanmoins, il èist à remarquet* que cette propriété du pesoiï a des limites dans la pratique, par ^uite de plusieurs causes, dont là principale est que les divisions supérieures dé Tatc de cercle , devenant de plus en plus petites, finissetot par cesser d'éti^ suffiâàImmeBt distincteih Aussi lors-

i5a GHAPiTas V,

qu'on veut peser de lourds fardeaux, d*après la formule

on charge d'un poids convenable l'extréniité B de l'aiguille , pour la maintenir dans la partie moyenne du quadrant, où les divisions sont plus espacées entre eUes, et, par conséquent, plus nettes.

De la poulie,

178. LaL poulie se compose d'une roue circulaire, ou Fig. 66. poulie proprement dite, et d'une chape. La roue ABO est creusée en gorge à sa circonférence, pour recevoir une corde, et mobile autour d'un axe rigide C, nommé boulon , qui la traverse à son centre. La chape CH est un corps de forme quelconque, enveloppant la poulie en totalité, ou seulement en partie, et offrant un vide où elle peut tourner librement.

On distingue la poulie fixe ^ dont l'axe résiste dans tous les sens à une pression quelconque, et la poulie mobile^ dont l'axe est entièrement libre dans l'espace. Fig. 66. 179. 1° Poulie fixe. Soit ABO une poulie fixe enveloppée, dans une partie AB de sa circonférence , par une corde PABQ, dont les extrémités sont tirées par deux forces P, Q. Ces forces, étant censées agir dans un plan perpendiculaire à Taxe, sont donc tangentes à la circonférence aux points A et B ; par conséquent , si l'on mène les rayons GA, GB, passant par ces points, les forces P, Q pourront être considérées comme appliquées aux extrémités d'un levier coudé AGB , à bras égaux. Or, pour qu'un levier soit en équilibre, les forces doivent être en raison inverse de leurs, distances au point fixe. On aura donc P: Q::CB;CA, et comme CB=CA,

DBS MACHINES. l53

il est clair que la seule condition d équilibre de la poulie est P=Q.

Puisque le point d'appui est sur Taxe, et que la puissance et la résistance agissent toujours tangentiellement à la circonférence , quelle que soit la direction des cordons qui les mettent en mouvement, on voit que la rotation de la poulie offre une suite non interrompue de leviers, qui viennent successivement se présenter à angle droit à Faction de la puissance. Par conséquent, l'équilibre de la poulie se rapporte très-natureUement à l'équilibre du levier, et non à celui du tour, quoique la poulie tourne autour d'un axe fixe ; en effet , le plan des deux forces appliquées déterminant une section circulaire dont le centre est un point de l'axe , on peut considérer la poulie comme réduite à un cercle assujetti à tourner dans son propre plan autour d'un point fixe ^ qui est le centre.

i8o. Quant à la pression exercée sur le point fixe, dans le cas d'équilibre, elle égale évidemment la résultante R des deux forces P, Q. Si donc, à partir de leur point de concours D, on prend deux longueurs égales DE, DF, pour représenter leurs intensités, et qu'on achève le losange DEFG, la diagonale DG exprimera la valeur de la pression. Or, si l'on joint AB, on formera un triangle isocèle CÂB semblable au triangle DEF, puisque leurs côtés seront perpendiculaires chacun à chacun. On aura donc DG : DE : : AB : AC. Ainsi, la pression exercée sur le point fixe est à V une des deux forces égales appliquées à la corde y comme la sous^tendante de l'arc embrassé par la corde est au rayon de la poulie (*).

(*) On met ici, selon l'usage, Fancien mot sous^tendante pour ne pas employer deux fois de suite le mot corde dans deux acceptions différentes.

l54 CHÀPITiElB V.

Lorsque les deux to'rces données sont parallèles , la sous-tendante est un diamèlre du cercle , et la ^reissioh, aevénant double de Tune des deux forces, ac^iiîert ^on maximum d'intensité.

Si lés deux forces embrassent un sixième de la circonférence de la poulie , la sous-teiidatite de cet arc est égale au rayon , et la pression a pour valeur Tune des deux forces appliquées.

On voit , par ce qui précède , que la poulie fixe sert à changer la direction d'une force, tout en lui cohservant la même intensité. Elle sert également à transmettre l'action d'une force à un point donné hors de Sa direction.

Fig. 67. 181. 2® Poulie mobile. — Soit ABO une poulie mobile enveloppée, dans la partie AB de sa circonférence, par une cordé PABF attachée à un point fixe F. L'autre extrémité de la corde est soumise à l'actioii de la forcé P où puissance, et la résistance à vaincre est le poids Q, suspendu à la chape. Comme le point F éprouve , dans l'état d'équilibre, une certaine pression qui s'exerce dans le sens FB, on voit que la résistance de ce point peut être assimilée à une force R, égale et contraire à cette pt'ession , c'est-à-dire, agissant dans le sens BF. Ainsi les conditions d'équilibre seront celles d'un corps libre soumis à l'action des trois forces P, Q , R ; il faut donc que la résistance Q soit égale et contraire à la résultante des deux forces P, R. D'abord celles-ci sont égales entre elles; car s'il en était autrement, en fixant le centre de là poulie, on détruirait la force Q, et il resterait seulement leS forces P, R, qui doivent se faire équilibre. Or, l'égalité de ces forces est la condition d'équilibre pour la poulie fixe. Donc, lorsque la poulie est mobile^ on a de même P=R, c'est-à-dire que la pression exercée sur le point F, ou la tension de

DES MÀGHIJIBS. lS5

la corde BF, est égalé à là puissante àpj^liquéé P. Cela posé , si , à partir du point de concours D de ces forces, on prend deux longueurs égales DE, DF, pour représenter leurs intensités , et qu'on achève le losange DEGF, la diagonale DG exprimera l'intensité de la résistance Q. On aura donc P:Q::DE:DG. Or, en joignant ÂB', ÂG> CB, on formera un triangle CAB semblable au triangle DEG (i8o), et Ton aura

DE:DG::CA:AB, ou P:Q::CA:AB.

Donc , la puissance est à la résistance comme le rayon de la poulie est à la sous-tendante de Varc embrassé par la corde.

Enfin , à cause de P=R, on a aussi Q:R: :AB :CA.

Donc, la force appliquée au centre de la poulie^ ou la résistance , est à la tension de la corde comme la soustendante de Varc tpHelle ensfeloppe est au rayon de la poulie.

Lorsque les deux parties de la corde sont parallèles , la sous-tendante est égale au diamètre bu au double du rayon. Alors la puissance , n'étant que la moitié de la résistance, acquiert son minimum d'inteilsité nécessaire pour l'équilibre : c'est le cas le plus favorable pour la puissance.

182. Remarque. Le principe qu'on vient d'emplbyer n'est qu'un cas particulier du théorème général suivant :

Si trois forces se font éqiiilihre^ et que ïon construire un triangle dont fei côtés soient respectivement perpendiculaires a leurs directions ^ chacune des trois forces sera proportionnelle au côté qui lui est perpendiculaire.

En effet , lorsque trois forces P, Q , R àe font équi- Fig. 68. libte, l'utae quelconque d'entre elles, R par et^mple^ est égale et contraire à la résultante DG tlies deut autrèn

X56 CHJLPXT&B V.

représentées par DE, DF ; et l'on a