P : Q : R : ; AC : BC : AB

Comme les auteurs se servent de ce théorème presque pour chaque machine, nous avons préféré rétablir à part une fois pour toutes. 11 permet de simplifier les démonstrations dans un grand nombre de cas, par exemple, pour la poulie mobile (i8i), où il donne immédiatement

P : Q : R : : AC : BC : AB , d'où Ton conclut les deux résultats établis dans le n^ cité.

Des systèmes de poulies et des moufles,

i83. D*après les considérations exposées plus haut (i6i), nous allons traiter, immédiatement après la poulie simple, les machines composée^ formées d'un système quelconque de pouUes mobiles réagissant les unes sur les autres.

Prenons le système représenté dans la figure 69. Une première poulie A' porte suspendu à sa chape un poids R qui est la résistance. Elle est embrassée, dans une partie quelconque de sa circonférence , par une corde attachée d'un côté au point fixe F' , et de l'autre côté à la chape d'une seconde poulie A". Celle-ci est de même embrassée par une corde attachée d'un côté à un second point fixe F", et de l'autre côté à la chape d'une troisième poulie A"';

DES MACHniBS. iSy

linsi de suite jusqu'à la dernière poulie , dont la corde 3St attachée d'un côté à un point fixe F'' , et reçoit de .'autre côté Faction d une puissance P.

Comme le système de toutes ces poulies mobiles est variable , il est clair que l'équilibre général ne peut avoir lieu , à moins que chaque poulie ne soit séparément en équilibre , par suite des forces ou des tensions qui la sollicitent. Si donc on représente par X', X", X'" les tensions des cordons successifs, parc', c'\ c'" les sous-ten-

dantes des arcs qu'ils embrassent, et par r', r", r" les

rayons des poulies, on aura (i8i),

pour l'équilibre de la poulie A' , X' : R :: r^ :c'y pour celui de la poulie A", X" : X' : : r" : c ',

pour celui de la poulie A'", P : X" : : r" : c ".

Multipliant ces proportions par ordre, on trouve, pour la condition de l'équilibre du système,

Ce qui s'énonce :

La puissance est à la résistance comme le produit des rayons des poulies est au produit des sous4endantes des arcs embrassés par les cordes.

184* Dans le cas où tous les cordons sont parallèles, Fig. 70. les sous-tendantes c\ c'\ c" égalent les diamètres ar', ar", ar" des poulies, de sorte qu'en divisant par le produit r' r" r" les deux derniers termes de la proportion ci-dessus , on a

Si donc on désigne par n le nombre des poulies , il vient

Ainsi la puissance est a la résistance comme Vunité est au nombre 2 pris açec un exposant égal au nombre des pou-lies.

i58 Ç9AP^7Ç^ Y*

Cç cas ps^rticuiier est le plus favprablç à la puissance,

qui acquiert alors son minimum (f intensité -^. On voit

qu avec un nombre suffisant de poulies , un poids quelconque, suspendu au centre de Is^ première, pourra être tçuu en équilibre par une force aussi petite qu'on le voudra. Enfin , lorsque chacun des arcs embrassés par Içs cordes est le sixième de la circonférençei les sous-tendantes égalent les rayons de leurs poulies respectives,' et la puissance est égale à la résistance.

i85. Il y a plusieurs moyens de grouper les poulies pour augmenter l'effet qu'on veut produite. La disposition la plus commode et la plus en usage consiste à les assembler dans une même chape , soit sur des axes dif- Fig. 71' férents (yîg*. 71)5 soit sur le même axe (y%^. 72). Dans ^^ 7^- ces deux cas l'assemblage se nomme mou/le, ou encore palan y en terme de marine. Dans la pratique, on emploie en même temps une moufle fixe et une moufle mobile, dont la chape porte le poids R ou la résistance à vaincre. Toutes les poulies sont embrassées par une même corde, dont une extrémité est attachée à la chape de Tune des deux moufles, et dont l'autre extrémité reçoit l'action d'une puissance P. Pour trouver les conditions d'équilibre des deux forces P, R, nous ferons abstraction du poids de la machine, et nous supposerons, ce qui a presque toujours lieu , les poulies choisies de manière que les différentes parties de la corde soient sensiblement parallèles. Comme toutes les poulies doivent être séparément en équilibre, il est évident que les diverses parties delà corde commune éprouvent alors des tensions égales. Donc les tensions des cordons, en nombre n , par exemple, qui soutiennent le poids et vont directement d'une moufle à l'autre , peuvent être regardées comme autant de forces parallèles et de même sens , égales à la puissance P, et

DBS. laÇHINIl^. if^

appliquées aux points dç contact ^es^ cordon$ avec les circonférences des poulies de la moufle mpbi]^ Or ces forces doivent avoir une résultante égale et directement opposée au poids R , auquel elles font équilibre. Ppi^ç pn aiura

R = nP,d'oùP = --

Donc la puissance est égale à la résistance divisée par l^ nombre de cordons qui soutiennent la moufle mobile.

Cet énoncé convient aux deux systèmes représentés dans les figures 71 et 72.

Du tour.

186. Le tour, dans lacception la plus générale çlu inpt y est un corps solide , de forme quelconque , n'ayant que la liberté de tourner autour d'un axe fixe (161). Mais dans les arts , ce qu'on appelle tour y treuil ou cabestan y selon Tobjet particulier de l'appareil , est un cylindre terminé par deux tourillons également cylindriques, de même axe, et d'un diamètre plus petit. Cçs tourillons reposent sur des crapaudines encastrées dans des supports fixes , de manière que le cylindre peut seulement prendre un mouvement de rotation autour de son axe considéré comme une droite fixe.

La résistance à ya^ncre comnaunique à la machine par une corde qui s'enroule autour du cylindre , et la puissance, destinée à le faire tourner, est appliquée tangenliellement à une roue d'un plus grand rayop , fixée d'une manière invariable au cylindre ^ et perpendiculaire^^ç^t à l'axe où est situé le centre de la roue. On peut encore appliquer la puissance au cylindre , soit au moyen d'une manivelle, soit au moyen de barres ou leviers qui le traversent à angle droit , comme dans le treuil cl*une chèvre dont on se sert pour élever les fardeaux.

l6o CHAPITRE V.

Le tour s appelle spécialement tour ou treuil lorsque Taxe est horizontal , et cabestan lorsque Taxe est vertical, j Mais, dans tous les cas, quels que soient la disposition de la machine et le mode d'application de la puissance , les conditions d'équilibre sont exactement les mêmes. Nous nous bornerons donc à déterminer ces conditions pour le tour ordinaire , dont Taxe est horizontal, et qui reçoit l'action de la puissance au moyen d'une corde appliquée tangentiellement à une roue verticale.

Fig. 73. 187. Soient AB l'axe commun du cylindre et des tourillons, C le centre de la roue, P la puissance agissant au point D de sa circonférence suivant la tangente DP menée en ce point, et R le poids à élever ou la résistance agissant suivant une verticale ER tangente à la circonférence de la section circulaire EO faite au point de contact E par un plan perpendiculaire à l'axe AB.

Il est facile d'obtenir les conditions d'équilibre entre les forces P, R , en supposant que la machine est sans pesanteur, ou, ce qui revient au même^ que son poids est une force dirigée vers Taxe fixe , ce qui a ordinairement lieu , et en regardant les cordes comme des fils infiniment déliés. Car les rayons CD , OE mesurant lés distances des forces P, R , à l'axe AB , leurs moments , par rap port à cet axe, seront P.ED,R.OE. On aura donc pour l'équation d'équilibre R . CD + R . OE = o.

On voit, par cette équation, que les forces P, R , ont leurs moments égaux en valeur absolue , mais de signes contraires. Donc ces forces tendent à faire tourner le cylindre en sens opposés , et de plus on a la proportion