P : R : : OE : CD

Ainsi , pour V équilibre du tour , la puissance doit être à la résistance comme te rayon du cylindre est au rayon de la roue.

DES MACHINES. l6l

i88. La condition d'équilibre est donc la même que pour le levier , excepté que les 'forces doivent être en raison inverse de leurs distances à un axe fixe ^ et non à un point fixe, comme dans le levier. La relation cidessus peut s obtenir directement, sans faire usage de la théorie générale des moments. En effet , si, dans le plan horizontal passant par Taxe AB , on mène par le Fig. 73. point C le rayon CF parallèle au rayon OE , comme les extrémités E , F de ces rayons se trouvent situées Tune en arrière , l'autre en avant de l'axe AB , il est clair que la droite EF rencontrera cet axe en un point G; et les deux triangles EOG , CFG , ainsi formés , seront égaux , comme ayant les angles égaux chacun à chacun , et CF = OE. On aura donc EG = GF. Cela posé , appliquons au point F deux forces verticales R', R", égales à R et opposées entre elles , ce qui n'altère pas l'effet des forces données, la résultante S des deux forces R, R", égales, parallèles et de même sens , passera par le point G niilieu de EF, et par Conséquent sera détruite par la résistance de l'axe. Il ne restera donc que les deux forces P, R', dirigées dans le plan de la roue , et agissant aux extrémités du levier coudé FCD. Ainsi, d'après la loi de l'équilibre du levier, on aura

P : R' ou R : : C F ou O E : C D.

On voit que les deux forces P, R' doivent avoir une résultante S' passant par le point d'appui C qui est sur l'axe.

189. Si l'on veut avoir égard au diamètre des cordes, on peut admettre que les forces P, R exercent leur action suivant Taxe de la corde où elles sont appliquées. Leurs bras de levier respectifs devront alors être augmentés des rayons des cordes , et la condition d'équilibre sera

La puissance V est à la résistance R comme le rayon

M, Statique. h

i6a ghjlfitbb t.

du cylindre^ augmente du rayon de la corde ER , eêt au rayon de la roue , augmenté du rayon de la corde DP.

Cette condition redeTiendrait identique arec la première, dans le cas où les rayons des deux cordes £R, DP seraient proportionnels aux rayons du cylindre et de b roue.

190. Lorsqu un tour est sollicité par des forces quelconques, il suffit, pour réquilibre, que la somme des moments de toutes les forces, par rapport i Taxe ^ soit nulle (ii4)* Or, si Ton suppose, dune part, la puis* sance P appliquée en un point D de la roue suivant une droite DP qui fasse avec Taxe AB un angle a', d autre part, la résistance composée d'un nombre quelconque de forces R , R', R", etc. . . • dirigées comme on voudra dans Tespace, et appliquées à des points liés d une ma* nière invariable avec Taxe du tour , ce qui est le cas le plus général , en appelant d la plus courte distance dfe la droite DP a Taxe AB, et N la somme des moments des résistances par rapport au même axe , on aiua pour réquàtion d*équilibre

Prfsina-|-N=:o.

En effet , la projection de la force P sur le plan de li roue égalant P sin a , le produit P d sin a de cette projection par sa plus courte distance d à Taxe AB , est précisément le moment de la force P par rapport à cet axe; de sorte que la somme des moments de toutes les forces du système eht le premier membre de Téquation cidessus. Cette équation donne , pour la valeur de la puissance,

d sin a

Or les quantités d et sin a ne peuvent être nulles ni luné ni lautrè, lorsque la droite DP n'est pas située

dans un même plan avec Taxe AB ^ donc, ce dernier cas excepté , on peut toujours , ayec une seule force P appliquée à la roue d'un toiu*; faire équilibre à des résistances quelconques R , R', R", • . . prises en tel nom-

bre qu'on voudra. Comme de plus, la valeur -7—; de P

* ^ dÈina

devient un minimum pour sin a =: i et ^ =: CD ou le rayon de la roiie , on voit que la disposition la pluis favorable pour k puissance est d abord d'être dirigée dans un plan perpeiidiculaire à l'axe, c'est-à-dire, dans le plan de la roue , et en second lieu , d'être tangente à la roue , Comme on l'a supposé pour le cas des deux forces.

Des pressions exercées sur les appuis.

191. Nous savons {188) que, dans l'état d'équilibre, les deux forces P, R , se réduisent aux deux autres S, S appliquées aux points G, C, de Taxe fixe. Il n'y a donc que ces deux forces S , S' qui puissent charger l'axe AB, et, par suite, les appuis M, N. Or il est facile de voir que les pressions provenant des forces S, S' , sont les mêmes que les pressions exercées par les forces R , P , transportées parallèlement à elles-mêmes aux points O et C , centres des circonférences OE, CD. En effet, la force S étant la résultante des deux forces R, R", si on la décompose en deux autres X , X', parallèles et de même sens, s^pUquées aux points O, C, à cause de OG = OC, il est

clair que chacune des forces X, X' égalera - , ou bien R.

De tnôme la force S', résultante des forces P, R' , se décompose en deux autres Y, Y, égales et parallèles à P, R', et appliquées au point C. Or, les composantes X', Y, étant égales et parallèles à R", R', se détruisent; et il ne reste plus que les composantes X , Y, ou R , P, appliquées aux points O , G.

l64 CHAPITaS T.

Donc la pression exercée ata- Taxe du tour par letd forces appliquées P, R , «jf exactement la même f ces forces étaient transportées parallèlement à ella au centre des sections déterminées par les plans perpat- I dicttlaires qui les contiennent.

Maintenant si l'on veut connaître les pressions sup- J portées par chacun des appuis M , N , on décomiK la force R , censée appliquée en O, en deux autres fj rallèles r, /■', appliquées aux points M , N, et de i la force P, censée appliquée en C, en deu\ autres i lèles/), p' appliquées aux mêmes points. La y chaque appui sera expriméeen grandeur et endire la résultante des deux forces r,p, ou r', p,

Nous avons supposé que le poids du tre de gravité sur l'axe fixe. On obtieudra lea que cette force verticale V exerce sur les a en la décomposant en deux autres n, i>\ apnteuées à points.

Ainsi, en définitive, la pression oi cun des appuis M, N, sera détermin des trois forces /•,/», c, ou r',p\ v' , appliq points. On connaîtra donc ainsi le degtm de résistance | dont les deux appuis doivent être capabl^kour la solidité de la machine.

Lorsque le tour est sollicité par un conque de forces dirigées arbitrairement dai on obtient les pressions des points d'appui pai thode générale exposée plus haut (n?).

192. Voici une espèce de tour qui n'est pas employée, mais qui serait probablement fort utile dans U pratique, en permettant de diminuer presque indéfiniment la puissance capable de faire équilibre à une résistance donnée.

Fig. 74. Concevons un tour dont le cylindre, au lieu d'être

sEt mâchiues. i65

[arme , ofii% deux grosseurs diflërentes , et forme

eux cylindres conidgus de même axe , dont les

sont OE , OF. La résistance est un poids R sus-

:hape d'une poulie embrassée par une corde.

Imité de la corde s'enroule dans un sens sur le

Jre, par exemple d'avant en arrière, et l'autre

s't'nroule sur le grand cylindre dans le sens

ti d'arrière en avant; de sorte que la corde

l'un côté , en même temps qu'elle se déroule

!tre. Le srrand cylindre porte une roue d'un rayon

?çoic tangentiellement l'action de la puissance

dans le tour ordinaire.

s'agit de trouver le rapport des deux forces P, B ,

is l'état d'éi|uîlibre. A cet Aet, supposons la force R

iplacée par deux autres égales à - R , agissant suivant

cordons IG, LH de la poulie, et appliquons, suivant direction de la puissance P, deux forces auxiliaires Igales et contraires +X, — X, ce qui ne change rien à 'eut du système.

Comme la force — X et la force - R dirigée suivant

IS agissent aux extrémités d'un levier coudé, pour 'elles se fassent équilibre , il faudra qu'on ait

De même, pour l'équilibre des forces P+X et de la force - R dirigée suivant LH, on aura