SECTION PREMIÈRE

COÉPO^lTION DBS FORCES AGISSANT SUIYANT UNE MÊME DROITE.

12. La notion que nous avons donnée de la mesure des forces (5), permet d'admettre comme axiomes les propositions suivantes :

1® Deux forces égales et directement opposées ^ applU quées soit à un même points soit à deux points liés entre eux d'une manière invariable^ se font équilibre.

i' Deux ou plusieurs forces appliquées à un même points et agissant suivant une même droite et dans un même sens, ont une résultante égale a leur somme et agissant dans la même direction et dans le même sens,

3° Deux forces inégales ^ appliquées à un même point et agissant suivant une même droite^ mais en sens con^ traireSy ont une résultante égale à leur différence^ et qui agit dans le sens de la plus grande force.

i3. La première de ces trois propositions est évidente; car il n'y a pas de raison pour que le mouvement ait lieu d'un côté plutôt que de l'autre.

COMPOSITION ET BEGOMFOStTION DES FORGES. II

De là il est facile de conclure le lemme suiyaiity qui est d'un fréquent usage en Statique :

Lemme. Une force appliquée à un point d'un corps produit le même effet en quelque point de sa direction qu'on la suppose appliquée ^ pourvu que le nouveau point d'ap* pUcation soit lié au premier dune manière invariable.

Car soit la force P appliquée au point A d'un sys- ^Mî» ^' tème quelconque, et M un point de sa direction lié au point A d une manière inyariable. Appliquons au point M, et dans la direction de AM, deux forces contraires P', — P*, égales entre elles et à la force P. Comme les deux nouvelles forces se détruisent (12, 1°), il est clair (9) que la force P produit sur le corps le même effet que les trois forces P, P', — F. Mais, d'après la seconde partie du premier axiome (12, 1°), les forces P, — P' se font équilibre. Donc la force P' produit aussi sur le corps le même effet que les trois forces P, P', — • P' , et , par conséquent, que la force P.

Remarque générale. A Tavenir, lorsque, dans une démonstration, nous changerons les points d'application des forces, il faudra sous-en tendre que les nouveaux points sont liés aux premiers d'une manière invariable, ce dont nous prévenons ici une fois pour toutes.

14. La seconde des trois propositions (12) résulte évidemment, comme nous l'avons dit, de la manière de mesurer les forces (5), et sert de base à toute la Statique. On peut la regarder, avec le savant Poinsot, comme un postulatum^ qui est, au reste, le. seul réclamé par la science. En l'admettant pour deux forces , on le con* dut aisément pour tant de forces qu'on voudra, en les combinant successivement deux à deux. Ainsi, un nombre quelconque dé fofces P, Q,S....«, agissant suivant une même droite et dans le même sens, ont tine résultante R = P-f-Q+S-f- etc.

la CHAPITRX I.

Quant à la troisième proposition relative à deux forces P, Q agissant en sens contraires, il est clair que si Ion conçoit la plus grande force P décomposée en deux autres, Q et P — Q , les deux forces Q, — Q, étant égales et directement opposées, se détruiront, et le point d application ne sera plus sollicité que par la seule force P — Q agissant dans le sens de la force P.

i5. En combinant les deux dernières propositions, on en déduit immédiatement ce théorème général :

Théorème. Un nombre quelconque de forces qui agis* sent suivant une même droite^ et sont dirigées les unes dans un sensy les autres dans le sens opposé^ ont une résultante égale a Vexcès de la somme des composantes qui tirent dans un sens , sur la somme de celles qui tirent en sens contraire; et cette résultante agit dans le sens des forces qui ont donné la plus grande somme.

Car soient P, Q, S, ...» les forces qui tirent dans un sens, et P', Q', S',. . . celles qui tirent en sens contraire; d'après la deuxième proposition , les premières forces auront une résultante R==P-f-Q + S+ etc. , qui agira dans le même sens, et les autres auront de même une résultante R'=F+Q'-4-S'+ etc. , qui agira dans leur sens. Donc, d'après la troisième proposition , la résultante de toutes les forces sera r^R — R', et agira dans le sens de la plus grande résultante partielle R. On peut énoncer le même théorème plus simplement, en disant que la résultante d'un nombre quelconque de forces dirigées suivant une même droite, est égale à leur somme algébrique ou prise algébriquement^ c'est-àdire, en regardant comme affectées du signe + les forces qui tirent dans un sens, et comme affectées du signe — celles qui tirent en sens contraire. Le signe de la somme indiquera dans quel sens agit la résullante. Si la somme est nulle, il en sera de même de

COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORCES. l3

la résultante, et les forces données se feront équilibre.

16, Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un point, il est évident qu'il ne peut arriver que deux cas : ou elles se font équilibre, ou elles ont une résultante unique (10).

11 suit de là que deua: forces P ^ Q^ appliquées à un point A , et qui se font équilibre , sont directement oppo* sées.

Car si elles pouvaient former un angle, en appliquant au point A une force — • P, égale et directement opposée à la force P, les trois forces P, — P et Q, auraient deux résultantes différentes , savoir : la force Q , puisque les forces P, — P se détruisent, et la force — P, puisque, par hypothèse , les forces P, Q se font équilibre.