COMPOSITION DE9 FORCES QUI CONCOURENT EN UN POINT

17. Lemme. Deux forces qui concourent ont une résultante ; cette résultante est située dans le plan de leurs di' rectionSy et dans V intérieur de V angle qu* elles forment.

Soient deux forces P, Q, appliquées au point A sous Fig. a. un angle quelconque PAQ. Puisqu'elles ne sont pas di-

(*) Pour abréger le discours , on est dans l'usage de dire , forces concourantes y forces parallèles ^ pour désigner les forces dont les directions concourent ou sont parallèles.

l4 CHÀPITRB I.

rectement opposées Tune à lautre, elles ne peuTentM faire équilibre. Donc elles ont une résultante (16).

De plus, cette résultante doit être dans le plan des corn* posantes : car il n'y a pas de raison pour qu elle soit dirigée plutôt en dessus qu'en dessous. Enfin , elle doit être située dans l'angle PAQ des composantes. En effet, si l'on prolonge les droites PA, QA, qui représentent la direction des forces, leur plan sera partagé en quatre espaces angulaires X, Y, Z, U. Or, si le point A était soumis à la seule force P, il serait tiré dans le sens AP , c^est-à-dire qu'il fuirait les espaces X, Y; de même, s'il obéissait à h seule force Q, il fuirait les espaces X, Z. Donc, en vertu de l'action simultanée des deux forces P, Q, le point A doit fuir les espaces X, Y, Z, et, par conséquent , se diriger dans l'intérieur de l'espace angulaire U ou PAQ, qui contiendra donc la résultante des deux forces données.

18. Remarque. Lorsque [les deux composantes P^Q sont égales, la direction de la résultante partage en deux parties égales Sangle Pj4Q qu^ elles forment.

Car il n'y a pas de raison pour que cette résultante fasse, avec Tune des composantes, un angle plus petit qu'avec l'autre.

19. Corollaire. Lorsque t intensité d'une des deux composantes augmente, la résultante se rapproche de la direction de la composante dont l'intensité a augmenté.

Fig. 3. En effet, soit R la résultante des deux forces P, Q. Si la force P, sans cesser d'agir dans la direction AP, augmente d'une quantité P' et devient P + P', il est clair que la résultante R' des forces P+P' et Q, ne peut être autre que celle des forces R et P' dirigées suivant AR et AP'. Donc, cette résultante R' est située (17) dans l'intérieur de l'angle F AR , et par conséquent forme^ avec la composante AP\ un angle plus petit que P'AR,

COMPOSITION ET OÉQOMPOSITION DES FORGES. x5

Il suit également de là que si l'intensité de l'une des leux composantes diminue, la direction de la résultante loit s'éloigner de cette composante.

ao* Théorème fonbamental. La résultante de deux ^orces quelconques appliquées a un même point, sous un zngle quelconquey est représentée en direction et en intentîté par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites, qui représentent en direction et en intensité les Jeux forces données.

I. Nous allons d abord faire voir que la résultante des deux forces est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme désigné, ce qui constitue la première partie du théorème.

i^ Soient P, Q les forces données, représentées en Fig. 4. grandeur et en intensité par les droites AB, AF. Supposons Tune des forces un multiple de l'autre, par exemple, la force Q quadruple de la force P. Alors la droite AB sera exactement contenue quatre fois dans la droite AF, de sorte que si Ton divise AF en quatre parties égales, AC, CD, DE, EF, chacune d'elles sera égale à AB, et représentera une force égale à P. Par les points de division , C , D^ E , F, menons des parallèles à AP, et par le point B, une parallèle à AQ, tous les points d'intersection A, B, C,. • . .L étant d'ailleurs censés liés d'une manière invariable. Concevons la force Q remplacée par les quatre forces AC, CD, DE, EF, dont chacune est égale à la force P. Appliquons au dernier point d'intersection L une force Q agissant dans le sens LQ, et, en même temps, appliquons à chacun des points G, H, K, L, une force P agissant en sens contraire de la précédente; ces quatre forces seront détruites par la nouvelle force Q, et l'effet ne sera pas troublé. Enfin , appliquons à chacun des mêmes points G, H, K, L, et suivant les droites GC, HD, KE , LF, deux forces égales chacune à P, et agissant en

l6 CHAPITRE I.

sens contraires Tune de l'autre. Ces forces se détruiront deux à deux y et le système ne sera pas troublé.

Cela posé, si l'on combine la force AB ou P avec la force AC ou la première de celles qui ont remplacé la force Q, et qui est aussi égale à P, leur résultante sera dirigée (i8) suivant la diagonale AG du losange ABGG, laquelle . partage l'angle BAC en deux parties égales. De même, les forces 6B, 6C, dont chacune est égale à P, auront une résultante GA parfaitement égale à la première, et aussi dirigée suivant la même diagonale 6A du losange ABCG. Mais il est clair que ces deux résultantes AG, GA sont directement opposées, et, par conséquent, doivent se détruire. Donc, les quatre forces AB, AC, GB, GC, dont elles tiennent lieu, et qui agissent deux à deux aux sommets opposés A, G du losange ABCG, se détruiront complètement, et il ne restera que la force P appliquée au point G suivant GP, ou, ce qui revient au même, puisque tous les points du système sont liés invariablement, appliquée au point C suivant la droite CG qui la représente. On a d'ailleurs la force Q appliquée au point L, et agissant dans le sens LQ. Passant alors au losange suivant CGHD, on répétera exactement le même raisonnement : la résultante des deux forces CG, CD, détruira celle des deux forces HG, HD, et, par conséquent, les quatre forces en question se détruiront complètement. 11 ne restera donc au point H que la force P agissant suivant HP, ou , ce qui revient au même , la force DH ou P appliquée au point D , et d'ailleurs la force Q appliquée au point L. Passant au losange suivant DHKE, il en sera encore de même; les quatre forces DH, DK, HK, HE se détruiront , et il ne restera que la force P appliquée au point K ou au point E. Enfin , il en sera encore de même dans le dernier losange , de sorte que de toutes les forces du système, il ne restera définitivement que les deux

COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES. ly

forces P, Q appliquées au point L. Donc la résultante des forces P| Q passera par ce point ^ mais elle doit aussi passer parle point primitif d'application A, puisqu'elle doit solliciter ce point absolument de la même manière que les forces P, Q. Donc, elle sera dirigée suivant la diagonale AL du parallélogramme ABLF construit sur les droites AB, AF, qui représentent les forces P, Q.

a^ Supposons maintenant que les forces P i Q , sans être multiples Tune de l'autre , soient dans un rapport commensurable , celui de 3 à 7, par exemple; de sorte qu'en appelant y l'unité de force, on ait Pou AB=:3f, pj^ 5 et Q ou AF = yL Achevons le parallélogramme ABLF, et par les points B', B'', qui partagent AB en trois parties égales, menons à AF les parallèles B'F', B"F'. Si l'on combine la force AB' ou y, première partie de la force P, avec la force Q, la résultante sera dirigée, d'après ce qu'on vient de voir, suivant la diagonale AF' du parallélogramme AB'F'F. Tous les points du système étant censés liés invariablement, on peut donc appliquer au point F', extrémité de la diagonale AF\ la force AB' ou y, et la force AF ou Q, ce qui permettra de supprimer le premier parallélogramme partiel. Combinons maintenant la force B'B" ou /, deuxième partie de P, avec la force. Q appliquée en F', et qu'on peut transporter au point B' situé sur sa direction , leur résultante sera dirigée suivant là diagonale B'F" du second parallélogramme partiel B'B"F"F, et les composantes B'B", B'F', ou/, Q, pourront s'appliquer au point F", extrémité de la diagonale B'F", ce qui permettra de supprimer le deuxième parallélogramme partiel. Enfin , combinant de même la force B"B ou/, troisième partie de P, avec la force Q transportée au point B" de sa direction, leur résultante sera dirigée suivant la diagonale B"L du troisième parallélogramme partiel, et les deux composantes pourront M. Statique. a

l8 CHAVITRB I.

s*appliquer au point L. On aura donc en ce point la force entière Q, plus la force P provenant de la somme de ses trois parties appliquées tout à Theure en F', F", L, et qu'on peut réunir au point L. Par conséquent , la résultante des forces P, Q devra passer par le point L; mais elle doit aussi passer par le point A : donc^ elle sera dirigée suivant la diagonale AL du parallélogramme ABLF. Fig. 6. 3** Supposons, enfin, que les forces P, Q, toujours représentées par les droites AB, AF, ne soient plus dans un rapport commensurable. Il s*agit de montrer que leur résultante doit encore être dirigée suivant la diagonale AL du parallélogramme ABLF. En effet, supposons que la résultante, au lieu de rencontrer le côté BL au point L, aille couper sa direction en un point C plus éloigné du point B que le point L. Achevons le parallélogramme ABGD. Si Ton conçoit qu on divise AB en parties égales plus petites que FD, en portant ces parties égales sur AD, il y aura au moins un point I de division entre F et D, et les droites AB, AI, seront dans un rapport commensurable, ainsi que les forces qu'elles représentent. Donc, d'après ce qu'on vient de voir, leur résultante sera dirigée suivant la diagonale AH du parallélogramme ABHI, laquelle fait avec AQ un angle QAH plus grand que l'angle QAC, Mais la force AI étant plus grande que la force AF, la résultante AH des forces AI, AB, devrait (19) être plus rapprochée de AF que la résultante AC des forces AF, AB. Comme, au contraire, elle en est plus éloignée, il s'ensuit que l'hypothèse d'où l'on est parti est fausse, et que la résultante des forces P, Q ne peut rencontrer la direction du côté BL en un point C plus éloigné du point B que le point L.

On démontrerait, par un raisonnement tout à fait analogue , qu'elle ne peut rencontrer BL en un point plus rapproché du point B que le point L. Donc , la résul-

COMPOSITION ET DECOMPOSITION DES FORGES. ig

tante des forces P, Q passe par le jpoint L, c'est-à-dire qu'elle est dirigée suwant la diagonale du parallélo^ gramme construit sur les droites qui représentent les deux forces en direction et en intensité.

Remarque. Ainsi, étant données deux forces P, Q, Fig. 7. appliquées au point A et représentées par les droites AB, AC, on obtient la direction de leur résultante R en menant la diagonale AD du parallélogramme construit sur AB et sur AC.

Réciproquement, étant données les directions AP^ -^Qj ARy de deux forces P, Q et de leur résultante fl, on peut déterminer le rapport des composantes Py Q. Car il suffit de mener, par un point quelconque D de la direction AR, deux parallèles, l'iine DB à AQ, l'autre DC à AP. Alors il est clair que le rapport des lignes AB, AC doit être celui des composantes P, Q, et qu'ainsi Ton doit avoir la proportion P : Q : : AB : AC. Car si l'on avait P est à Q comme AB est à une ligne AI plus grande ou plus petite que AC, la résultante des deux forces P, Q serait dirigée suivant la diagonale AK d'un parallélogramme ABKI différent du parallélogramme ABCD.

IL Passons maintenant à la seconde partie du théo- Fig. 8^ rèrae, savoir: que la résultante de deux forces P, Q, représentées en direction et en intensité par les droites AB, AC, est représentée en intensité par la diagonale AD du parallélogramme ABCD construit sur ces forces.

Nous savons déjà que cette résultante R est dirigée suivant la diagonale AD. Supposons qu'elle soit appliquée , en sens contraire de son action , au point A sur le prolongement AK de DA , et désignons-la par R' dans cette nouvelle situation. Les trois forces P, Q, R' se feront équilibre au point A, et par conséquent l'une d'elles, la force Q, par exemple, sera égale et directement opposée à la résultante des deux autres P, R'.

Cette résultante sera donc dirigée suivant le prolongement AI de QA. Or si, par le point B, on mène à la direction AK la parallèle BI qui rencontre en I le prolongement de QA, et si, par le point I, Von mène à la direction AP la parallèle IK qui rencontre en K la direction AK de R', les deux forces P et R' ou R seront entre elles, d'après la remarque précédente, comme les côtés AB, AK du parallélogramme ABIK, et Ton aura la proportion P : R :: AB : AK. Donc, puisque AB représente Tintensité de la force P , AK représentera celle de la force R. Mais la figure ABIK étant un parallélogramme, on a BI = AK; et comme AI, prolongement de AQ, est parallèle à BD, il est clair que la figure IBDA est aussi un parallélogramme. Donc BI = AD, et par suite AD = AK. Donc la diagonale AD représente en intensité la résul' tante R des deux forces P, Q.

21. Corollaire I. Il résulte de ce théorème que toutes les questions, qu'on peut proposer sur la composition de deux forces en une seule et sur la décomposition d'une force en deux autres, se ramènent à la résolution d'un Fig. Q. triangle. Car les trois forces P, Q, R étant entre elles comme les trois lignes AB, AC, AD, et le parallélogramme ABCD donnant BD = AC , il est clair que ces trois forces sont entre elles comme les trois côtés AB BD, AD du triangle ABD. De plus, à cause de l'angle BD A =: D AC , les trois angles de ce triangle sont ceux que forme la résultante avec chacune des composantes, et le supplément de l'angle compris entre les composantes. Or, un triangle étant déterminé par trois de ses six parties, pourvu qu'il se trouve au moins un côté au nombre des parties connues, on voit qu'étant données trois des six quantités suivantes, les trois forces P, Q, R, et les trois angles compris entre leurs directions, on pourra déterminer les trois autres, en résolvant le triangle

ABD, pourvu que Tintensité de Tune des forces soit au nombre des quantités données.

On voit, en outre, que deux quelconques des (rois forces P, Q, R, sont entre elles en raison im^erse des sinus des angles formés par leurs directions avec celle de la troisième force.

Car le triangle ABD donne

AB : BD : AD :: sin ADB : sin BAD : sin ABD, ou bien

P : Q : R : : sin DAC : sin BAD : sin BAC.

Cette propriété peut également s'énoncer, en disant que chacune des trois forces P, Q, \{^ est comme le sinus de V angle formé par les directions des deux autres.

Elle s'applique encore à trois forces P, Q, R', en équilibre autour d'un point; car Tune d'entre elles R' doit être égale et directement opposée à la résultante R des deux autres P, Q; et d'ailleurs les sinus des angles supplémentaires sont égaux.

22. Corollaire II. Il résulte aussi du même théorème qu'on peut toujours décomposer une force donnée en deux autres^ seulement données en directionj pourvu que les trois directions soient dans un même plan et concourent en un même point.

Car, soient AR, AP, AQ , les directions de la force Fig-9. donnée R et des deux forces inconnues P, Q. Si Ton prend sur AR une certaine portion AD qui représente l'intensité de la force R , et qu'on mène par le point D les parallèles DB à AQ, DC à AP, on formera un parallélogramme ABCD, dont les côtés AB, AC représenteront les forces P, Q.

La grandeur de ces forces se calcule immédiatement par les proportions du corollaire précédent.

22 CHAPimB I.

Le théorème du parallélogramme des forces offre de fréquentes applications dans la pratique. Par exemple, un bateau étant attelé d'un côté par trois chevaux dans Fig. 10. la direction BC, et de l'autre côté par deux chevaux, si Ton demande quelle direction il faut donner à ces deux chevaux pour que le bateau suive le courant BT, il suffit de décrire du point G comme centre, avec un rayon égal à G A. représentant la force de deux chevaux, un arc de cercle qui coupe le courant BT au point A, et d'achever le parallélogramme BCAD. Le côté BD sera la direction demandée (*).

23, Remarque L Lorsque les directions des deux for' ces y dans lesquelles on décompose une force donnée ^ sont a angle droit y chaque composante égale le produit de la force proposée par le cosinus de V angle qu^elle forme avec la direction de cette composante,

Gar, si dans les proportions du corollaire I (ai) on j.- suppose l'angle BAG droit et le rayon = i , ce qui donne

sin BAG = i , sin DAG = cos BAD , et sin BAD == ces DAG , il vient

P:R::cosBAD: i, Q: R:: cos DAG: i,

d'où P=:R.cosBAD, et Q^R. cosDAG; ce qu'on énonce en disant que chaque composante est représentée par la projection de la résultante sur sa direction , ou

(*) Le nageur emploie à son insu le même théorème. En agissant du pied droit , il donne une impulsion qui le rejette vers la gauche; en agissant du pied gauche , il donne une impulsion qui le rejette vers la droite : de sorte qu'en agissant des deux pieds à la fois , il suit la diagonale , qui est dans la direction de son corps.

Il en est de même des grenouilles quand elles nagent, et des oiseaux quand ils volent.

COMPOSITION ET DÉGOMPOSttlON DES FORCES. 2l3

souvent encore que chaque composante , P par exemple, est la résultante estimée suivant la direction AP. Dans le même cas on a R^ == P* + Q* , d'où

ce qui détermine Tintensité de la résultante en fonction des composantes.

a4* Remarque II. Deux forces appliquées à un même point y sous un angle non égal à deux droits^ ne peu^ vent donner une résultante nulle ^ a moins que chacune déciles ne soit nulle en particulier.

Car lorsque les deux forces ne sont pas nulles, on peut toujours construire , sur les deux lignes qui les représentent en direction et en intensité, un parallélogramme, dont la diagonale est la résultante des deux forces données.

Lorsqu'une seule des deux forces est nulle, l'autre force est la résultante.

Donc la résultante ne peut être nulle que dans le seul cas où les composantes sont toutes deux nulles à la fois.

aS. Théorème. Trois forces appliquées à un mime point y et représentées en direction et en intensité par trois droites non situées dans un même plan^ ont toujours une résultante qui est représentée en direction et en intensité par la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois droites.

Soient les trois forces P, Q, S, appliquées au point A, Fig. ii. et représentées par les droites AB, AG, AD, Construisons sur ces droites le parallélipipède AF. Les forces AB, AD auront pour résultante la diagonale AE du parallélogramme ABED (20). Mais à cause de AC égal et parallèle à EF, la figure AEFC est un parallélogramme; donc les forces AE^ AC auront une résultante repré-

sentée par la diagonale AF, qui est en même temps celle du parallélipipède AF. Donc AF représentera la résultante des trois forces P, Q, S.

26. Corollaire I. On 'peut toujours décomposer une jorce donnée en trois autres respectivement parallèles a trois droites données dans V espace^ mais dont deux ne sont point parallèles,

Fig. II- Car soit AF l'intensité de la force donnée R; menoDS par le point d'application A les droites AB, AC, AD, respectivement parallèles aux trois droites données, et par le point F menons trois plans respectivement parallèles aux plans déterminés par les droites AB, AC , AD, on aura un parallélipipède AF, dont trois arêtes contiguës AB, AC , AD seront les composantes de Ja résultante AF ou R.

27. Corollaire IL Lorsque les directions de trois forces forment entre elles des angles droits , le carré de la résultante est égal à la somme des carrés des composantes.

Car le parallélipipède AF devenant rectangle, les triangles ADE, AEF sont également rectangles en D et enE; on a donc