OB = — O A

L'appareil est d'une grande sensibilité, parce que toutes les pressions s'exercent sur des couteaux prismatiques où les poids se trouvent répartis, de manière que chacun n'en porte qu'une portion. Le couteau du levier principal ne porte que 1 1 , lorsqu'il aurait 20 à porter dans la balance ordinaire^ La machine est d'un usage

DES MàCKIIIBS. 197

aussi simple, mais elle est bien moins embarrassante à disposer ; elle est d'ailleurs exempte de tout frottement j très-peu susceptible d'altération ou de dérangement, peu Yolumineuse , d'un transport facile, d'une grande solidité , et offire une facilité remarquable pour le travail des pesées. Enfin la délicatesse de son exécution permet de la faire servir à de petites pesées , en plaçant les corps sur le bassin des poids , et les poids sur le plateau mobile. Aussi tous les services publics , civils et militaires , ont exclusivement adopté cette balance , qui coûte de lao à i5o fr. , selon les dimensions.

Du polygone funiculaire,

220. On nomme polygone funiculaire un assemblage de cordes liées entre elles par des nœuds fixes , ou simplement passées dans des anneaux qui peuvent couler le long des cordes.

Considérons d'abord le premier cas , et supposons que cbaque nœud n'assemble jamais que trois cordons. Ces nœuds fixes A, B, G, D. . • sont les sommets du po- Fig.97« lygone, dont les côtés AB, BG. . . sont formés par des cordons censés parfaitement flexibles et inextensibles, et d'ailleurs regardés comme sans pesanteur. Lorsque le polygone est tenu en équilibre par des forces quelconques P, F, FV • • Q> appliquées à ses sommets, quelles que soient leurs directions et leurs intensités, les côtés du polygone sont rectilîgnes , et conservent une longueur invariable ; mais la grandeur de ses angles doit évidemment varier selon les forces appliquées. Le polygone funiculaire est donc essentiellement un système de figure variable d'après des conditions déterminées, et, par conséquent, peut être assimilé à un assemblage de machines simples réagissant les unes sur les autres, en vertu de leur liaison mutuelle. Or, dans ces sortes d'assemblages,

19,8 GBA9ITAB Y.

qu'on Domme specisilement machiner composées ^Vk théorie des lois d'équilibre repose sur les deux propositions suivantes, assez évidentes par elles-mêmes pour être regardées comme des axiomes.

i"" Lorsqv^un système de points est en équilibre ^ chaque point doit être en équilibre de lui-même en "vertu de toutes les actions qui le sollicitent y et qui comprennent nonr seulement les forces immédiatement appliquées à ce point, mais encore les résistances ou réactions exercées sur lui par les autres points du système.

n^ Deux points ne peuvent agir Vun sur Vautre que suivant la droite qui les joint ^ et la réaction est toujours égale et contraire à Vaction.

Ainsi, pour déterminer les conditions d'équilibre du polygone funiculaire, nous aurons d'abord à évaluer les réactions provenant de la liaison des points du système au moyen des cordons , et, combinant ces réactions avec les forces immédiatement appliquées , nous exprimerons les conditions d'équilibre, comme si chaque sommet du polygone était entièrement libre dans Tespace. Nous déterminerons en même temps la figure du polygone qui convient à cet état.

Fig.QB. A^i* Considérons d'abord trois forces P, Q, R, agissant suivant trois cordons AP, AQ, AR, réunis au point A par un nœud fixe. Comme chaque cordon est parfaitement flexible et inextensible , la force, qui agit suivant la direction rectiligne de l'un d'eux, transmet son action, de proche en proche, à chacun de ses points, comme si le cordon était une droite parfaitement rigide ; on peut donc regarder les trois forces comme immédiatement appliquées au point A, et agissant, en outre, suivant les axes de leurs cordons (*)•

(^) Cette supposition est d'autant plus permise , que si un

DBi UACmiMMS. 199

L'équilibre de ces forces exige que Tune d'entre elles soit égale et directement opposée à la résultante des deux autres. Donc

i^ Les axes des trois cordons doiyent être dans un même plan ;

a® Les inten3ités des forces doivent (21) satis&ire aux proportions

P : Q : R : : sîn QAR : sin PAR : sin PAQ,

c est-à-dire que dans tétat d'équilibre chaque force peut être représentée par le sinus de V angle formé par la direction des deux autres,

222. Si les cordons AP, AQ, au lieu d'être soumis à l'action des forces P, Q^ sont attachés par leurs extrémités à des points fixes F , F', les efforts que ces points ont à supporter en vertu de la force R , ou les tensions des deux cordons , ont pour valeurs les intensités des forces P, Q) déterminées par les proportions ci^dessus, savoir :

R.jmQAR R.jmPAR

~ 5i/*PAQ ' ^~ ii/iQAR

G^ expressions montrent que les tensions des cordons AP, AQ sont d'autant plus grandes que l'angle PAQ, formé par leurs directious, est plus obtus, et^ lorsque cet angle est égal à deux angles droits , c'est-àdire lorsque les deux cordons sont en ligne droite , leurs tensions deviennent infinies.

Donc une corde parfaitement inextensible, tendue en ligne droite à ses deux extrémités , peut être rompue par l'application de la plus petite force latérale, à moins

cordon a tous ses fils également tendus, la résultante de toutes ces tensions passe nécessairement par Taxe.

200 CHAPITRS T.

qu'elle ne soit douée d'une résistance infinie dans le sens de sa longueur.

Il suit encore de là qu'une corde pesante ne peut être tendue en ligne droite dans une direction différente de la verticale; car alors son propre poids, qui n'est autre chose qu'une force verticale appliquée à son centre de gravité, exercerait des pressions infinies sur les deux points d'attache non situés sur la même verticale.

223. Lorsque le point A , où sont réunis les trois cordons soumis aux forces P, Q, R, peut glisser, comme un anneau, le long du cordon PAQ, au lieu d être un nœud fixe, alors les conditions d'équilibre établies ci-dessus (221) deviennent insuffisantes. U faut, en outre, que la direction RA de la force R divise l'angle PAQ en deux parties égales.

En effet, on ne détruit pas l'équilibre du système, lorsqu'il existe, en fixant d'une manière invariable deux points F, F', pris à volonté sur les cordons AP, AQ. Dès lors on peut considérer le point A comme assujetti à se mouvoir sur une ellipse dont F, F' sont les foyers , et AF, AF' les rayons vecteurs. Or (127) le point A, sollicité par la force R, ne peut être en équilibre sur cette courbe, à moins que la direction RA de la force ne lui soit normale en ce point ,* et par conséquent cette direction doit diviser en deux parties égales l'angle PÂQ formé par les rayons vecteurs.

La proportion P : Q : : sin QAR : sin PAR, donnant alors P = Q, on voit que les deux parties de la corde, le long de laquelle l'anneau peut glisser, ont des tensions égales.

En outre, si l'on désigne l'angle PAQ par a, comme l'angle PAR = QAR ==: 200"* a , et qu'on a, en géf

DBS MAcanm». aoi

neral, sin az=z2 sin - a cos - a , la proportion

.P : R : : sin PAR : sin PAQ

donnera

R = aP cos - a.

324- Si le point A est un anneau fixe, dans lequel passe une corde PAQ tirée par les deux forces P, Q , on aura^ dans l'état d'équilibre P = Q. En outre, ces deux forces exerceront sur l'anneau fixe une pression R , dont la direction divisera en deux parties égales l'angle PAQ ou a,

et dont l'intensité sera 2Pcos~a, c'est-à-dire* la ten-

sion de la corde , multipliée par le double du cosinus de la moitié de l'angle formé par les deux parties de la corde.

225. Passons maintenant au cas général , et prenons une corde d'une longueur quelconque , dont a et ê sont Fig-97. les extrémités. Attachons, par des nœuds fixes, à plusieurs de ses points A, B, G, D, etc. , des cordons suivant lesquels agissent des forces extérieures P', P'', F" . . . . , représentées en grandeur et en direction par les droites AA', BB', ce',. . . . Enfin appliquons au premier point A une force P ou AM dirigée suivant le premier côté Aa , et au dernier point D une force Q ou DN dirigée suivant le dernier côté D€. Il s'agit de déterminer c® les conditions d'équilibre des forces P, F, F', . . . Q ; 2** la figure du polygone , lorsque l'équilibre a lieu.

i^ Si tout le système est en équilibre, le premier sommet A doit être en équilibre de lui-même (220, i^) en vertu des deux forces P, P', qui lui sont immédiatement appliquées, et en vertu de la tension du cordon AB, puisque l'action de toutes les. autres forces ne peut se

t09 . CBAnnUB V»

transmettre au point A que par le cordon AB qui le relie aux autres points du polygone. Il y aura donc équilibre entre les deux forces P, P' et la tension T' du cordon AB, et Ion aura (sai) les deux proportions

P : F : : sin P'AB : sin PAB F : r : : sin PAB : sin PAF.

De même, le second sommet B doit être en équilibre en vertu de la force F' et des tensions des cordons AB, BG. Or (aso, a"*) Faction du point A sur le point B est parfaitement égale et contraire à l'action T' du point B sur le point A , sans quoi le cordon AB ne pourrait être en équilibre; sa tension sera donc toujours T', et en désignant par T" celle du cordon BC , on aura

r : P" : : sin F'BC : sin ABC P" iT'i: sin ABC : sin ABF';

de même encore les conditions d'équilibre du troisième sommet G seront données par les proportions