V : F" : : sin F"CD : sin BCD F":T"::sinBCD rsinBCP
ainsi de suite , quel que soit le nombre des sommets da polygone , et le dernier sommet D donnera
r" : P^ : : sin P'^DQ : sin CDQ P»^ : Q : : sin CDQ : sin CDF^
Multipliant toutes ces proportions par ordre , on aura, pour le rapport des deux forces extrêmes P , Q,
p : Q : : sin P'AB . sin F'BC . sin P"'CD . sin F^DQ : sin PAP'.sin ABP". sin BCP"' . sin CDP".
On obtiendra de même le rapport de deux forces ou de deux tensions quelconques, ou d'une force et dune tension , en multipliant par ordre un certain nombre de ces proportions convenablement choisies.
2"* Lorsque les forces P, P', P",, • .Q, etles directions
D9S UACMJMMB. *ao3
de leurs cordons respectifs satisfont aux proportions cir dessus, il est toujours possible de donner au polygone une figure telle que Téquilibre ait lieu , et Ton détermine aisément cette figure par la composition successive des forces , quand on connaît toutefois les longueurs des cordons inextensibles qui doivent former les cotés du polygone.
A cet efiFet, après avoir placé en un certain point l'exr trémité a de la corde a € , on prend sur la direction Pa de la force P , du côté opposé au sens de son action et à partir du point a , la longueur aA que le premier côté du polygone doit avoir , et le point A ainsi obtenu en lera le premier sommet*
Le second côté AB devant se trouver sur la direction de la résultante R des forces P, F représentées en direction et en intensité par les droites AM , AA' , si Ion construit sur ces droites le parallélogramme AMEA'i et que sur le prolongement de la diagonale A£ on prenne, à partir du point A , la longueur AB que le second côté doit avoir, le point B sera le second sommet. On obtiendra de même le troisième sommet C , en portant la longueur du troisième côté BC , à partir du point B j sur le prolongement de la diagonale B£ du parallélogramme BE'FB' construit sur les droites BB' et BE' = A£, qui représentent la force F' et la preipière résultante R ou la tension T^ ; ainsi de suite jusqu'au dernier côté De, qu'on obtiendra en portant sa longueur, à partir du dernier sommet D, sur le prolongement de la dernière résultante B!" ou DH. Or ce côté D6, ainsi déterminé, doit nécessairement se trouver sur la direction DN de la dernière force Q. Car, dans l'état d'équilibre, cette force Q est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres du système ; or, d'après la construction effectuée, la résultante R''' de toutes les forces, moins la force Q,'
904 GBÂFITRS ▼•
est représentée en grandeur et en direction par la diagonale OH du dernier parallélogramme DG'HD' construit sur les droites DD', D6' j représentant la dernière force extérieure P^ et la résultante R'' de toutes les forces précédentes.
Cette construction suppose qu'on applique successiyement chaque résultante partielle au sommet suivant situé sur sa direction^ par exemple la résultante R an point B, etc., ce qui peut en effet avoir lieu (221).
L'hypothèse d'une seule force appliquée à chacun des sommets n'altère en rien la généralité des résultats ; car quelles que soient les forces qui sollicitent immédiatement le sommet A , par exemple , elles se réduisent toujours à une seule qu'on peut représenter par P'.
226. Comme dans Tétat d'équilibre la dernière force Q est égale et directement opposée à la résultante R'" de toutes lesautreSy il résulte évidemment , de ce qui précède, que
Pour l'équilibre du polygone funiculaire , il faut que toutes les forces données P, P', P", . . . Q, transportées pa' raltèlement à elles-mêmes en un point quelconque de TeS' pace^ se fassent équilibre.
Par conséquent, si l'on mène par le point O, où l'on a transporté les forces P, P', P", • . . Q, trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, et qu'on désigne respectivement par /n, a, &, c,. • • • /z ^ par m'^ a ^ b ^c ^» . » .n j et par m", £i", b'\ c',. . . ./i", les angles que les directions des forces font avec ces axes, les conditions d'équilibre du polygone funiculaire pourront s'exprimer par les équations d'équilibre d'un point matériel , entièrement libre dans l'espace , et soumis à l'action des mêmes forces. On aura donc (91) les trois équations d'équilibre
( P cos m + P'cos a + P"cos i • . . -f-Q cos /i = o , P cos 7»' + Fcos a' 4- P"cos i' . . . +Q cos /i' = , P cos m"+ P'cos a"+ P^'cos b" . . . +Q cos /i"=: 0.
DBS MACHimu. ao5
Au reste il serait facile de les obtenir directement , ïaprès l'observation que chaque sommet du polygone doit être en équilibre de lui-même , en yertu des forces qui lui sont appliquées , et des tensions des cordons adjacents. Car on aurait autant de systèmes de trois équations qu'il y a de sommets , et faisant alors séparément k somme des premières équations , celle des secondes équations , enfin celle des troisièmes équations de chacun des systèmes, les tensions T^, T",. . • des cordons intermédiaires disparaîtront, de sorte qu'on obtiendra en définitive les trois équations (i).
227. Puisque, dans l'état d'équilibre du polygone funiculaire, l'une quelconque des forces P, P', P''. . .Q appliquées aux divers sommets, est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres , on voit qu'alors
1® Toutes ces forces se détruisent comme si le poly-gone avait une figure exactement invariable ;
2® Chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite^ comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces qu'on jr transporterait parallèlement h elles-mêmes.
228. Lorsque les extrémités a et ê du polygone sont des points fixes , les forces P^ Q représentent en même temps les pressions que ces points éprouvent, et les tensions des deux cordons extrêmes aA , De. Alors , les intensités P, Q de ces forces, et les angles m, m\ m" y nj n'y n'y d'où résultent leurs directions , ne sont plus des quantités données. Mais on pourrait déterminer ces huit inconnues au moyen des huit équations suivantes, savoir, les trois équations ^i), les deux relations
cos* m + cos* m' + cos* tw" = i cos' n -h cos* /i' + cos* /i" = i ,
et les trois équations qui précisent la position des deux points fixes a , 6»
lOd CSAJPITUI Y.
Par conséquent , il est toujours possible de mettre en équilibre une corde attachée par ses extrémités à dess points jixes ^ et sollicitée en des points invariables psr des forces quelconques.
La détermination des huit inconnues est, en général, très-compliquée. Mais lorsque le polygone a pris de luimême la figure qui convient à l'état d équilibre , on ob« tient facilement les tensions des différents cordons, es qui est suffisant dans la pratique» En effet, si l'on dé* compose la force P', appliquée au point A, en deux autm dirigées suivant les prolongements des côtés Aa, AB, la première composante exprimera la tension du cordon Aa ou Teffort exercé sur le point a, et la seconde corn» posante sera la tension du cordon AB. De mâme, les com* posantes de la force P'', suivant les prolongements dei côtés AB, BG, exprimeront les tensions des cordons AB, BG, dont la première vient d être déterminée; ainsi de suite,
229. Dans le cas où les deux cordons extrêmes «A, De sont dans un même plan, leurs tensions P, Q ont une résultante. Or (227) cette force doit être égale et directement opposée à la résultante R de toutes les au*
très P', P", F'', , comme si le polygone avait une
figure invariable. Par conséquent, il faut que cette résut tante R passe par le point O, où les prolongements des cordons extrêmes aA, Deviennent se couper, et qu'on peut prendre pour son point d'application. On obtiendra donc les tensions P, Q de ces cordons , en décomposant au point O la force R en deux autres dirigées suivant leurs prolongements.
Le même procédé donne les tensions de deux cordons quelconques situés dans un même plan , car l'équilibre de tout le système permettant de prendre chaque nœud pour un point fixe , ces deux cordons peuvent être re-
DES MÀCBUfÙ; 30^
yardés comme les cordons extrêmes d*iiu polygone funiculaire. On décomposera donc, à leur point de concours et suivant leur direction , la résultante des forces appliijuées aux nœuds intermédiaires, et ces deux compo* santés seront les tensions cherchées.
a3o. Lorsque toutes les forces extérieures F, P" , P'". .., Fig* 99sont parallèles entre elles, ces forces et les côtés du po« Ijgone sont nécessairement dans un même plan. En effet, les trois cordons qui aboutissent au premier nœud A étant {^^i) dans un même plan, la force F', qui a déjà un point B dans ce plan , doit s'y trouver entièrement comprise. Donc le plan des premiers cordons est le même que celui des trois seconds ; ainsi de suite.
Les angles intérieurs, formés par un côté quelconque avec les directions parallèles des deux forces adjacentes, étant alors supplémentaires , on a
sin FAB = sin F'BA, sin FBG = sin F" CB , etc.
Or les proportions du n" aaS donnent, pour les ten<« sions P, T, T" • • • . des cordons, les rapports suivants :
: sin P' AB : sin P' AP,; :sinF'BC:sinP'BA, :sinP"'CD: sinP"'CB;
ou bien à cause des égalités sin FAB =: sin F'BA, etc., : T : : sin FAB : sin FAP
• ' « ' p/ A n ^^ ^Q*^^ P'^P • ' Ti/ A p ^^ coséc FAB , sm P AP sin P AB ^ '
T": : sin F'DC : sin FAB
sm P AB sm P BG
Ainsi , les tensions des cordons soni réciproquement pro-
ao8 GHAnTRB Y.
portionnelles aux sinus de lâurs inclinaisons sur la direc' Uon commune des forces parallèles j ou, ce qui revient au même, sont proportionnelles aux cosécantes de ces mêmes inclinaisons^
^3 1 • Dans le cas particulier où ces forces parallèles sont Fig, ^ verticales, si Ion suppose, en outre^ que Tun des côtés, CD, soit horizontal , sa tension t pourra servir de terme de comparaison pour exprimer toutes les autres, puisqu'on auracos P^"CD = i ; et nonunant <f l'angle AOH que la direction d'un côté quelconque aA fait avec Thorizontale CH, la tension T du côté aA sera donnée (a3o) par la proportion
T:t: : i : coséc 9 : : séc ç : i , d'où T = ^ séc 9.
On parvient directement au même résultat par le procédé indiqué plus haut (229). Car si l'on prolonge les côtés aA, CD, jusqu'à leur rencontre en O, et qu'on applique en ce point une force verticale R égale à la somme F + P" + F" des puissances intermédiaires, les trois forces ^, T, R, se feront équilibre autour d'un même point , et l'on aura
T : ^ : : sin ROC : sin ROA : : t : cos 9 ;
d'où
T : ^ : : séc 9 : i.
Donc , dans ^équilibre cPun polygone funiculaire sollicité par des forces verticales , la tension de chaque coi^ don est proportionnelle à la sécante de V angle qu* il fait açec r horizon»
On a aussi
R : ^ : : sin AOG : sin ROA : : sin 9 : cos 9, d'où tang 9=^7?
et enfin
T : R : : I : sin a : : coséc a : i , d'où T a R coséc a.
DBS MACHINES. HOQ
Ainsi , la tangente de [inclinaison de chaque côté sur Pkorizon est proportionnelle à la somme des forces verticales appliquées sur le contour du polygone j depuis le côté horizontal jusqu* à celui que Ton considère ;
Et la tension d^un coté quelconque est égale a la mime somme des forces verticales , multipliées par la cosécante de son inclinaison a V horizon.
Si Ton élimine langle f entre les deux équations
T = f séc f et tang f = — , en ayant égard à la rela-
If
tion séc* <f — tang* ç = i , on trouve
Donc enfin , la différence entre le carré de la tension d*un côté quelconque , et le carré de la somme des forces verticales , prises comme ci-dessus y est constamment égale au carré de la tension du côté horizontal.
232. Dans tout ce qui précède , nous avons supposé que les forces extérieures F, F', F",. . . . agissent sui- Fig. 99 vaut des cordons attachés par des nœuds fixes aux sommets A, B, C... du polygone funiculaire. Lorsqu'ils sont attachés par des nœuds coulants ou des anneaux susceptibles de glisser sur le contour du polygone , les conditions d'équilibre établies plus haut (225) devien-* nent insuffisantes , et il faut (223) que les directions des forces P', P",.... divisent respectivement les angles aAB , ABC, en deux parties égales. Alors toutes les tensions P, T', T",. . . . deviennent égales entre elles ; et si Ton représente par m\ ni\ m'",. . . les angles du polygone , on aura (223)
P' = 2T cos- m', F^= 2T" cos -/w", etc.,
d'où
P' : F' : . . • . : : cos - ni î cos - m" : ....
M. Statique. i4
aïO CRAPITRIS T.
Donc alors les forces appliquées aux divers sommets du polygone sont proportionnelles aux cosinus des moitiés des angles correspondants.
Si les points A, B, C,.... sont des anneaux fixes dans lesquels passe la corde aAB. • • .6^ tirée aux deux bouts par les forces P, Q, la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre sera (2^4) que Ton àitP = Q. Toutes les tensions seront égales, et les pressions P', F'..., exercées sur les points fixes , auront les valeurs indiquées ci-dessus (282).
233. Si de plus tous les côtés du polygone funiculaire sont égaux entre eux , le cosinus de la moitié de Tangle ABC , par exemple , compris entre deux côtés contigus AB, BG, devient égal à Tun des côtés AB divisé par le diamètre 2r du cercle passant par les trois sommets consécutifs A, B, G ; et comme toutes les tensions T', T'..., sont égales entre elles , il en résulte que dans ce cas
Les forces appliquées sont en liaison im^erse des diamètres ou des rayons des cercles circonscrits aux triangles formés par les trois sommets consécutifs correspondants.
Il en est encore de même lorsque le polygone prend un nombre infini de côtés, c'est-à-dire, devient une courbe funiculaire. Alors chacun des cercles précédents est ce qu'on nomme le cercle osculateur à la courbe au point que l'on considère, et les pressions?', F"..., dirigées suivant les rayons de courbure r , r' . • • •, sont par conséquent normales à la courbe.
Il suit de là que
I® Une corde tendue par deux forces égales sur une courbe quelconque est en équilibre , et a partout la même tension ;
2" Chaque point de la courbe fixe éproui^e , suiifant /^ normale y une pression qui est en raison inverse du rayon de courbure en ce point.
DES MiCHiNSS. ntt
De la chaînetêe.
s34- On hoihme chaînette la ligne courbe formée par une corde unifdtrnémetit pesante attachée par ses extré-^ làités A, B à deiix points fixes, et soumise uniquement à la Fig* i^^* pëdanteuT; La cltïaînette peut donc être considérée comme un polygone funiculaire d'une infinité de côtés, sollicité en tous ses points par de petites forces yerticales, {nrorenant des actions de la pesanteur. On voit déjà(a30) que c'est une courbe plane , située dans le plan rertical passant par les deux points fixes A, B; et, en effet, il n'y a pas de raison pour qu'elle s'en écarte plutôt d'un côté que de l'autre.
Si l'on remarque que les côtés du polygdne funiculaire représentent les directions des tangentes menées de la eourbe en ses différents points , on obtiendra facilement la tension en un point quelconque ^ au moyen des principes établis plus haut (23i).
D'abord , pour déterminer les pressions que la corde exerce sur les deux points fixes A , B , et qui ne sont autres que les tensions des côtés extrêmes du polygone , il faut mener à la courbe les tangentes AO, BO, appliquer à leur point de concours une force égale au poids de la corde , et la décomposer en deux autres dirigées suivant OA , OB. Ces composantes seront évidemment les pressions cherchées.
On obtiendrait de même la tension T en un point quelconque M de la chaînette, en supposant qu'il est fixe. Mais si l'on désigne par R le poids de la partie CM de la corde comprise entre le point M et le point le plus bas C , où la tangente CH à la courbe est horizontale, et dont la tension est t^ en nommant (p l'angle que la tangente au point M fait avec l'horizon, on aura (^Si)
m 2 CHAPITRE V.
T = f . séc.ç , T = R. coséc ç.
Par conséquent , si une corde ou même une chaîne pesante quelconque , suspendue à deux points fixes , est en équilibre , la tension en chaque point est i° proportionnelle à la sécante de l'angle que la courbe fait en ce point avec Vhorizon; 2à° égale au produit de la cosécante du même angle par le poids de Varc compris entre le même point et le point le plus bas.
Dans le cas où la corde est uniformément pesante , comme nous Tavons mentionné dans la définition de la chaînette, on peut représenter le poids R de l'arc CM
par sa longueur a, et Téquation tang ?=— du n° 281
devient tang <p = - •
Donc , la chaînette est une courbe telle y que la tan* gente de son inclinaison en un point quelconque sur un plan horizontal est proportionnelle a la longueur de F arc compris entre le point le plus bas de la courbe et le point dont il s^agit.
D'où il suit que la chaînette est une courbe symétrique par rapport à l'axe vertical CV passant par le sommet C; et se compose , comme la parabole , de deux branches égales et indéfinies.
PRDrCIPE DBS YITSSSBS TIETinULLBS. 21 3
