F (OK — OR) = F (OH — OG
et
FXHK=F'XHG.
Ce qui n'est autre que la relation (i).
2® Prenons maintenant un point O' situé entre les forces F et F'.
Les forces F, F' et R tendent (fig. 33) à faire tourner la figure dans le même sens autour de G', on peut prendre ce sens comme positif et les trois moments sont positifs.
On a :
DXi,, R= R X O'H = (F —F') O'H, 0K„F' = FxO'K, 01IvF=Px.O'G.
Ces valeurs portées dans (2) donnent
(F — F) 0'H = FxO'K + FxO'G,
ou
et
FxHK = FxHG.
Ce qui est encore Tégalité (i) et la relation (2) est démontrée.
56. Cas d'un nombre quelconque de forces situées DANS UN MEME PLAN. — Considérons un système de forces, en nombre quelconque, situées dans un même plan et admettant une résultante. Soient, par exemple, quatre forces F^, F,, F3, F^.
Pour trouver la résultante finale R on compose les forces deux à deux.
Nommons R^, R^, R les résultantes que Ton obtient successivement en composant F^ et Fg, R^ et F3, R^ et F^. Soit O un point quelconque du plan des forces, nous aurons, en considérant les deux forces F,, Fg et leur résultante R,,
01i,R, = 01L,F, + OKoF2. (i)
En considérant Rj, F3 et R, on a
OIL0R2 = ^ru,R, + Dlt.F,. (2)
En considérant R„ F^ et R on a
Oli,R = OK',R,+ 01I„F,. (3)
Additionnant, membre à membre, ces égalités et supprimant ensuite les termes communs aux deux membres, il vient
Oli-^R = OK,F, + Ol^.F, + DII.F, + ^\L,l\.
Le théorème est ainsi démontré dans toute sa généralité.
Dans Tapplication de ce théorème très important il faut avoir soin de bien observer les signes des divers moments.
§ 2. — Moments par rapport a un plan et par
rapport a un axe.
57. Moment par rapport à un plan. — Etant donnés une force et un plan parallèle à la force^ on appelle moment de la force par rapport au plan le produit de l'intensité de la force par sa distance au plan.
Gomme la force est parallèle au plan, sa distance au plan est bien définie.
Ainsi soit (fig. 34), AF^ une force a k Ft
parallèle au plan P, abaissons d'un point quelconque de la force une perpendiculaire KH sur le plan, le moment de la force par rapport au plan est
DKp Fi = F, X KH.
FifiT. 34.
58. Signe du moment, — Considérons plusieurs forces parallèles et supposons que Ton prenne leurs moments par rapport à un plan qui leur est parallèle. Imaginons un observateur couché sur le plan suivant une direction perpendiculaire à celle des forces, soit D'D cette direction. L'observateur peut évoluer autour de Taxe D'D en regardant la force dont on doit prendre le moment.
Le moment sera positif si l'observateur regardant la force, la voit tourner de gauche à droite ; il sera négatif si elle tourne de droite à gauche.
Dans la figure 34, le moment de la force Fi est positif, celui de la force Fj est négatif.
BouRLET. Cours de statique, ii. 4
Cette afTectation d'un signe ne peut s'appliquer que si toutes les forces sont parallèles entre elles.
59. Théorème. — Lorsque plusieurs forces parallèles ont une résultante, le moment de la résultante par rapport à un plan qui leur est parallèle est égal à la somme algébrique des moments des diverses forces.
Pour démontrer cette proposition, nous ferons deux remarques préliminaires.
60. Remarque I. — Considérons (fig. 35) un plan P et une force F parallèle au plan ; menons un plan Q parallèle à la force F et perpendiculaire au plan P ; ce plan coupe le plan P suivant une droite xy et la
force F est parallèle à xy. Projetons la force F sur le plan Q ; soit af cette projection qui est égale à AF.
Abaissons d'un point quelconque de AF la perpendiculaire H K sur le plan P et projetons HK sur le plan Q, on aura
hk = HK.
Fig. 35.
Prenons sur .ry un point O quelconque. Le moment de la force âr/* par rapport au point est égal au moment de la force AF par rapport au plan P, en grandeur et en signe :
OK/=on.pF. (0-
En eflfet, on a, en valeur absolue,
OîlpF = FxHK,
0K/=/-XOR.
Mais OR = M = HK,
comme côtés opposés des rectangles RO/tA et TtAHK; et, comme F = /J les deux moments dV^/el ^pF sont égaux en valeur absolue.
Ils sont aussi égaux en signes. En effet, considérons, une droite D passant par le point O, perpendiculaire au plan Q et supposons un observateur couché sur Taxe D et regardant la force F : il est debout sur le plan Q, ses pieds étant en O. Cet observateur voyant tourner les forces /*et F dans le même sens les moments ^Xi^f et orcp F doivent être affectés du même signe. Donc la relation (i) est vraie en grandeur et en signe.
61 . Remarque II. — Si on considère deux forces parai-lèles et leur résultante et si on projette toute la figure sur un plan parallèle^ on obtient encore deux forces parallèles et leur résultante.
En effet, prenons (fîg. 36) deux forces F et F' parallèles et de même sens, appliquées en A et B et la résultante R appliquée en C. Soit Q un plan parallèle aux trois forces et projetons toute la figure sur le plan Q : r est la résultante des forces f et f.
Les forces F, F', R parallèles au plan Q s'y pro-
Fig. 36.
5a COURS DE STATIQUE
jettent suivant des forces égales et parallèles ; on a donc j
Et, comme
on a aussi
r est donc la résultante des forces/*, /*' en intensité et direction.
Démontrons que c projection de G est le point d'application* de la résultante des forces fetf
G étant le point d'application de la résultante R
on a
