RÉDUCTION D*UN SYSTÈME DE FORCES

si au lieu du point O on prenait un autre point O' on aurait des forces O//, O'^', O/3' respectivement égales et parallèles aux forces /j,^, ^ et la figure 0'f^f.^f^ serait la figure OfJ^f^ transportée parallèlement à elle-même ; il en résulte que la résultante O'R'se déduirait de la résultante OR par un transport parallèle et par conséquent que R' serait égale et parallèle à R.

Mais le couple résultant change quand le point O varie; en effet, le moment du couple résultant du transport d'une force est égal (lemme précédent) au moment de la force par rapport au point O ; il ne sera donc pas le même que le moment de la même force par rapport au point O'.

Donc, si l'on change le point par rapport auquel on fait la réduction^ la résultante générale ne change pas^ en grandeur et en direction^ le couple change seul,

84. Théorème, — La réduction d'un système de forces à un couple et à une résultante appliquée en un point donné, n'est possible que d'une seule manière.

Soient S un système de forces et un point donné. Supposons qu'on ait trouvé, d'une première façon, une résultante R appliquée en O et un couple G tels que le système formé par R et G, soit équivalent au système S. Admettons, ensuite, que, d'une seconde manière, on ait trouvé une résultante R' appliquée au même point O et un couple G' tels que le système formé par R' et G' soit également équivalent à S. Nous allons montrer que R est identique à R' et le couple G équivalent à G'. En effet, les systèmes R, G, et R', G', étant équivalents au système S, sont équivalents entre eux. Soit, alors, — R une force égale et directement opposée à R et un couple — G formé de forces égales et directement opposées à celles qui

constituent le couple C. Le système — R, — C, faisant équilibre au système R, G, fera aussi équilibre au système équivalent R', C. Si les deux forces R' et — R n'étaient pas égales et directement opposées elles auraient une résultante /• ; de même si les deux couples — C et G' ne se faisaient pas équilibre, ils se composeraient en un couple c. Le système r, c, devrait alors être en équilibre et ceci est impossible car une force /• ne peut pas équilibrer un couple c [n^ 45).

Il faut donc que R' soit égale et directement opposée à — R donc identique à R et que le couple G' équilibre le couple — G, donc qu'il soit équivalent à G.