Ge théorème peut s'énoncer ainsi
Deux systèmes équivalents ont même résultante générale et même couple résultant en un point donné.
86. Théorème. — Toutes les forces appliquées à un corps solide peuvent se réduire à deux., le point d'application de l'une des deux forces étant arbitraire.
En effet, considérons un corps solide et un point O pris au hasard dans ce corps (fig. 5o). Toutes les forces appliquées au corps peuvent se réduire à une force unique R et à un couple (n® 80).
Figurons les deux forces (F, — F) qui constituent le couple et supposons Tune des forces F appliquée au point O, ce que nous avons le droit de faire puis-
RÉDUCTION D'i\\ SrSTÈMS DE FORCES
qu'on peut transporter le couple. Les deux forces F et R concourantes peuvent se composer ; soit F^ leur résultante. Le système se réduit donc à deux forces Fj et — F, le point d'application de F^ étant choisi arbitrairement.
87. Condition pour qu'un système de forces ait une résultante unique. — Supposons qu'un système de forces S'admette une résultante unique AR. Prenons un point O dans le corps solide ; d'après le théorème du n^ 85, on peut, pour faire la réduction du système S au point O, le remplacer par la force équivalente AR et, par suite, transporter cette force parallèlement à elle-même au point O en OR' à condition d'ajouter un couple (R, — R)(fig. 5i).
On obtient ainsi une résultante R' et V^
un couple (R, — R) et la force R' est dans le plan du couple, ou parallèle au plan du couple. Cette condition est donc nécessaire.
Elle est suffisante ; en d'autres termes, si toutes les forces appliqu-ées au corps solide se réduisent à une résultante OR et à un couple et si le plan du couple est parallèle à la résultante, le
système de forces admet une résultante unique. En effet, on peut supposer, en transportant le plan
ol du couple parallèlement à lui-
même, que ce plan contient la force R ; prenons-le pour plan du tableau. Menons par O une per- Fi>. 5a. pendiculaire Oxà OR (fig. 62), on
peut toujours déplacer le couple dans son plan et faire en sorte que son bras de levier
rig. 31.
soit placé sur la droite Ojt. On peut aussi supposer qu'une force du couple soit appliquée au point O et ait pour intensité OR ; pour cela on n'a qu'à choisir convenablement le bras de levier.
• Ce bras de levier devra être égal à -^, M étant le
moment du couple.
On a alors une force R et un couple (S, -S) ; les deux forces S ayant même intensité que la force R. Les forces R et — S s'équilibrant comme forces égales et directement opposées, il ne reste que la force S. 11 y a donc une résultante unique et la condition est suffisante.
Ceci suppose que la résultante n'est pas nulle.
88. Forces situées dans un même plan. — Lorsque les forces appliquées à un corps solide sont toutes situées dans un même plan, il peut se présenter trois cas :
I** Les forces ont une résultante unique,
2® Les forces se réduisent à un couple^ et il ny a pas de résultante.
3® Les forces se font équilibre.
En effet, soit un système de forces situées dans un même plan. En faisant la réduction de ces forces en un point du corps solide, on obtient une résultante unique et un couple et, comme toutes les forces sont dans un même plan, le couple se trouve dans le même plan que la résultante.
I** Supposons que la résultante générale OR ne soit pas nulle. Alors les forces se réduisent à une résultante R et à un couple, la force R et le couple étant dans le même plan ; on peut donc remplacer ce système par une résultante unique (n'* 87).
IIP w'^f ■"■, «V-;
2^^ Si la résultante générale est nulle, le système des forces se réduit à un couple qui est indépendant de la position du point O choisi pour faire la réduction puisqu'on a le droit de déplacer un couple dans son plan (n^* 69).
3** Si la résultante générale et le couple sont nuls^ le système est en équilibre.
§ 2. — Equilibre d'un corps solide libre
89. Corps solide libre. — Considérons un corps solide libre soumis à un nombre quelconque de forces. On peut réduire ces forces à une résultante unique et à un couple (n® 80).
H ne peut y avoir équilibre que si la résultante est nulle et si le moment du couple est nul.
En effet, si le corps solide était en équilibre avec une résultante non nulle et un couple non nul, la I résultante devrait équilibrer le couple et par consé-
quent ce couple admettrait une équilibrante, ce qui est impossible (n** 45).
Si la résultante était nulle et que le couple ne fût pas nul, le corps ne pourrait pas être en équilibre, J car il serait soumis à deux forces égales, mais non
î directement opposées.
Enfin, si le couple était nul sans que la résultante le soit, le corps soumis à une seule force ne pourrait pas être en équilibre.
Donc le corps solide libre ne peut être en équilibre que si la résultante et le couple sont nuls séparément.
90. Cas de forces situées dans un même plan. — Considérons un corps solide libre soumis à un nom-
bre quelconque de forces toutes situées dans un même plan. On peut faire la réduction des forces en un point O du plan, la résultante générale s'obtiendra en transportant toutes les forces parallèlement à ellesmêmes au point O.
Pour qu'il y ait équilibre il faut d'abord que cette résultante soit nulle ; par conséquent le polygone des forces doit se fermer.
Chaque fois qu'on transporte une force parallèlement à elle-même au point O, il faut introduire un couple dont le moment est égal au moment de la force par rapport au point O (n** 81). Donc le couple résultant qui *est la résultante de tous ces couples a un moment égal à la somme algébrique des moments des couples composants (n^ 78) c'est-à-dire à la somme algébrique des moments de toutes les forces considérées^ par rapport au point 0.
Donc, pour que le corps solide libre soit en équilibre^ il faut et il suffit que la résultante générale soit nulle et que la somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à un point quelconque du plan soit nulle.
91 . Conditions analytiques d'équilibre de forces situées dans un même plan, — Considérons plusieurs forces Fj, Fg, F3, .... appliquées à un corps solide libre et situées dans un même plan et soient deux axes rectangulaires Ox, O?/, tracés dans ce plan. Au point de vue analytique, les forces seront déterminées si Ton se donne les coordonnées de leurs points d'application et les composantes X^, Y^ ; X,, Y^\ Xg, Yg ; .... de ces forces suivant Ox et O1/ (fig. 53).
Faisons la réduction des forces au point O; pour cela transportons les forces parallèlement à elles-
mêmes en O. Les forces Xj, X^, X„... transportées en O sont toutes dirigées suivant Ox ; soit OX leur résultante, elle est égale à
De même les forces Yj, Yj, Y3 ... dirigées suivant Oy ont une résultante OY égale à :
Fig. 53.
La résultante générale est la force OR obtenue en composant OX et OY.
Exprimons que la résultante générale est nulle. Pour cela il faut et il suffit que X et Y soient nuls.
Donc, les deux premières conditions d'équilibre sont :
Il faut en outre que la somme des moments des forces par rapport au point O soit nulle.
Le moment de X^ est en grandeur et en signe
Le moment de Y^ est
ORo Y, = — Y, X, .
De même, on a
— Xg 2/2,
80 CO£/i?5 Z>J? STATIQUE
I Et on a, comme troisième condition,
^iVi — Y,^i + X,2/. — Y,x, + = 0. (3)
On peut écrire ces conditions sous la forme abrégée suivante :
^C^i^i—^il/i) = 0.
Ce sont là les trois conditions analytiques d'équilibre d'un corps solide libre soumis à des forces situées dans un môme plan.
§ 3. — Equilibre d'un corps solide gêné
92. Liaisons, — On dit qu'un corps solide est gêné lorsque certains points de ce corps sont soumis à des liaisons avec d'autres corps solides.
Voici des exemples de liaisons fréquentes.
Un corps peut avoir un point fixe.
11 peut avoir deux points fixes A et B, mais alors tous les points de la droite AB sont fixes, et on peut dire que le corps a, dans ce cas, un axe fixe autour duquel il peut tourner librement. «
Enfin le corps peut reposer sur un plan; il se trouve en contact par certains points avec lui. Les points du corps en contact avec le plan sont assujettis à rester dans ce plan à condition que le corps soit pressé contre lui et qu'on ne le soumette pas à une action qui puisse l'en écarter.
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93. Réactions. — Lorsqu'un corps est soumis à certaines liaisons et qu'il est en équilibre, si on supprime ces liaisons, Téquilibre, en général, est détruit.
On se rend facilement compte qu'on peut le faire subsister en supprimant les liaisons, mais en faisant agir sur le corps, aux divers points où il est gêné, certaines forces convenables.
On appelle réactions^ dans un corps solide gêné, les forces qu'il faudrait appliquer aux points où il est gêné pour qu'il reste en équilibre si l'on supprimait les liaisons.
aS
