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Ainsi, soit une poutre horizontale (Hg. 54) reposant sur les deux appuis A et B. Si l'on supprimait les deux appuis la poutre tomberait; mais si, en les sup- ''*» '^i
primant, nous appliquions deux forces pj- 5/
convenables R et R' en A et B nous
pourrions empêcher la poutre de tomber, par exemple en la soutenant par des cordes verticales fixées en A et B. Les tensions des cordes AM, BN sont les réactions des deux appuis sur la poutre AB.
94. Principe de ï égalité de Inaction et de la réaction. — Ce principe est expérimental et s'énonce comme il suit :
Lorsque deux corps sont en contact par un point et que le premier agit sur le second^ celui-ci réagit sut' le premier avec une force égale et de sens contraire a
C action du premier sur lui.
Ainsi, soient deux corps A et B (fîg. 55) en contact par un point. Le corps A agit sur le corps B et produit une action représentée par une force F ; le corps B à son tour réagit sur le corps A et produit une réaction repré-
Fig. 55.
sentée par une force (— F) égale et opposée à la force F.
Il résulte de la que lorsqu'un corps solide est gêné,
BouRLET. Cours de statique, 11. 6
il agit^ en tous les points où il est gêné, sur les corps solide^ avec lesquels il est en contact, avec des forces égales et directement opposées aux réactions de ces corps solides sur lui.
Ces actions du corps solide sur ceux qu'il touche sont ce qu'on appelle les charges du corps solide sur ses appuis.
Ainsi, dans le cas précédent d'une poutre horizontale reposant sur deux appuis A et B (fig. 54) les réactions sont R et R' ; réciproquement, la poutre agit sur les appuis A et B et produit des forces R^ et R'^ égales et directement opposées aux forces R et R'. Ces forces Rj et R/ sont les charges aux appuis,
95. Olissement sans frottement. — Lorsqu'un corps a un point ^j;e ce point résiste à toutes les forces et, par suite, à toutes les charges qu'il supporte. Donc, inversement, ce point peut développer sur le corps une réaction dont l'intensité et la direction peuvent être arbitraires.
Il n'en est pas de même lorsqu'un corps, au lieu d'avoir un point fixe, repose par un point sur un plan. La direction de la charge à laquelle le plan résiste n'est pas arbitraire.
On dit qu'il y a glissement sans frottement sur un plan si ce plan ne résiste qu'à des charges qui lui sont normales et dirigées de façon à presser le corps qu'il gène sur lui.
Cette définition du glissement sans frottement correspond bien à la notion vulgaire que l'on a de la chose. Dire, en effet, qu'un corps glisse sans frottement sur un plan c'est dire que le plan s'oppose à tout déplacement du corps dans une direction perpendiculaire à lui, mais n'offre aucune résistance à un déplacement parallèle au plan, à un glissement. Si la charge du point d'appui c'est-à-dire l'action du
corps sur le plan n'était pas normale au plan il en serait de même de la réaction AR du plan sur le corps (fig. 56) qui est directement opposée à la charge. Celte réaction AR pourrait être décomposée en deux forces : Tune AN normale au plan, Tautre AT parallèle au plan. La composante AN s'opposerait à un déplacement du corps Fig. 56.
dans une direction normale
au plan ; mais la composante AT s'opposerait à tout déplacement, à tout glissement, dans le sens TA ce qui ne peut pas être. Donc :
Lorsqu'un corps repose sur un plan^ sur lequel il glisse sans frottement^ toutes les réactions que peut développer le plan sur luiy aux divers points de contact^ sont perpendiculaires au plan et dirigées de façon à éloigner le corps du plan.
96. Conséquence. — Nous admettrons, dans la suite, que tous les appuis sont toujours capables de résister à toutes les charges auxquelles ils peuvent être soumis si grandes que soient ces charges, pourvu qu elles aient des directions compatibles avec le mode de liaison.
On arrive alors à la conclusion suivante :
Pour quun corps solide gêné soit en équilibre^ il faut et il suffit qu'on puisse trouver des forces (réactions) appliquées aux divers points d'appuis, dont les directions sont compatibles avec les liaisons^ et faisant équilibre aux forces qui agissent sur ce corps.
Supposer en effet l'existence de ces forces, c'est admettre que toutes les forces qui agissent sur le
corps solide peuvent être remplacées par un autre système de forces {charges) appliquées aux divers appuis et dont les directions sont telles qu'elles soient détruites par la résistance des appuis. Toutes les forces étant ainsi détruites par les résistances des appuis, le corps est bien en équilibre.
Par exemple, si un corps repose sur un plan, avec glisàement sans froUement, il faut et il suffit, pour qu'il y ait équilibre, qu'on puisse trouver des forces appliquées aux divers points d'appuis, normales au plan, dirigées de façon à écarter le corps du plan et faisant équilibre aux forces qui agissent sur le corps.
97. Équilibre d'un corps ayant un point Sxe. — Si des forces, en nombre quelconque, agissent sur un corps qui est mobile en tous sens autour d'un point fixe, on peut les réduire en une force unique OR, qui est appliquée au point fixe, et à un couple (F, — F), (n°80)
(fig. 57). La force R est détruite par la fixité du point ; il faut et
>^ il suffit, pour qu'il y ait équilibre,
] que le moment du couple soit nul.
"~ ^ J Supposons, en effet, qu'il ne le
^^,..^ soit pas. Le corps est alors soumis
\ à deux forces F et — F ; dont une,
la force — F, peut être supposée
, appliquée au point et est détruite
par la fixité du point tandis que la ligne d'action de l'autre ne passe pas par le point fixe.
Il ne peut alors y avoir équilibre ; car, si le corps sous l'influence de la force F était en équilibre, en menant par le point un axe xy perpendiculaire au plan OAF et fixant cet axe, on ne ferait que renforcer cet équilibre. Dans ces conditions on aurait un corps,
qui pourrait tourner autour d'un axe fixe, soumis à une seule force F perpendiculaire à cet axe et ne le rencontrant* pas et on sait que dans ce cas (n® 18) il n'y a pas équilibre.
Par suite, la condition d'équilibre d'un corps qui a un point fixe, peut se formuler ainsi :
Il faut et il suffit que le moment du couple résultant du transport de toutes les forces au point fixe O soit nul.
La charge du point d'appui est égale à la résultante générale de toutes les forces transportées au point O.
98. Cas particulier. — Si les forces sont toutes situées dans un même plan, le moment du couple résultant est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces considérées par rapport au point O (n° 90), et par suite la condition d'équilibre est celle-ci :
Il faut et il suffit que la somme algébrique des moments de toutes les forces considérées^ par rapport au point O, soit nulle.
99. Équilibre d'un corps ayant un axe fixe. — Pour trouver la condition d'équilibre d'un corps qui a un axe fixe, nous ferons d'abord la remarque préliminaire suivante :
Toute force qui agit sur un corps qui peut tourner librement autour d'un axe fixe peut être remplacée par un couple ayant son plan perpendiculaire à l'axe et dont le moment est égal au moment de la force par rapport à l'axe.
Soit un corps pouvant tourner autour de l'axe xy (fig. 58) et une force AF agissant sur ce corps. Décom-
posons AF en deux forces AFj et AF, Tune perpendiculaire à l'axe, l'autre parallèle à l'axe. La force AFg
qui est parallèle à Taxe est y détruite (n®31) parla résis-
tance de Taxe. Il ne reste donc que la force. AF,. Menons par AFj le plan P perpendiculaire à Taxe xy^ qui le coupe en O et transportons la forceAF^enO/j.
11 nous faut introduire un couple (F,, — /l) dont le moment est égal au moment de AF, par rapport à O, c'est-à-dire (n® 63) au moment de la force AF par rapporta l'axe o^y. La force 0^ étant détruite par la résistance de l'axe, il ne reste bien que le couple (F^, — f^. Ceci posé, considérons un corps solide qui peut tourner librement autour d'un axe xy et est soumis à un certain nombre de forces.
Chacune de ces forces peut être remplacée par un couple dont le plan est perpendiculaire à l'axe et tous ces couples se composent en un seul dont le plan est aussi perpendiculaire à Taxe. Pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffit que le moment de ce couple soit nul. Car si ce moment n'était pas nul, on pourrait toujours placer ce couple
Fîg. 58.
Fi g. 59.
(F, — F) (fig. 59) dans son plan de façon que l'une des deux forces, — F par exemple soit appliquée en un point de Taxe et, par suite, soit détruite par la résistance de Taxe. Le corps ne serait alors soumis qu'à la seule force F ne rencontrant pas l'axe et ne serait pas en équilibre.
Or, puisque tous les couples sont dans des plans parallèles, le moment du couple résultant (n® 78) est la somme algébrique des moments des couples composants. Comme, d'ailleurs, d'après ce que nous venons de voir, les moments des couples composants sont, respectivement, égaux aux moments des forces par rapport à l'axe xy, on parvient à l'énoncé suivant :
Pour qu'un corps^ qui peut tourner librement autour d'un axe fîxe^ soit en équilibre il faut et il suffit que la somme algébrique des moments^ par rapport à Vaxe^ des forces auxquelles il est soumis j soit nulle.
nées.
100. Équilibre d^un corps reposant par deux points sur un plan. — Pour qu'un corps reposant par deux points A et B sur un plan P, sur lequel il glisse sans frottement, et sollicité par un certain nombre de forces soit en équilibre, il faut et il suffit (n** 96) qu'on puisse trouver deux forces X et Y (réactions), appliquées en A et B (fig. 60) perpendiculaires au plan, dirigées de façon à écarter le corps du plan et faisant équilibre à toutes les forces don-
Supposons que^ ces deux forces X et Y existent; comme elles sont parallèles, de même sens et appli-
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88 C0ri?5 Z^JE" STATIQUE
quées en A et B, elles ont une résultante Z égale à leur somme et appliquée en un point C de la droite AB.
La résultante Z doitéquilibrer toutes les forces qui agissent sur le corps solide. Donc, ces forces doivent avoir une équilibrante unique et par conséquent une résultante. Telle est la première condition d'équilibre.
Cette résultante doit être égale et directement opposée à la force Z : elle est donc perpendiculaire au plan et, de plus, sa direction doit rencontrer la droite AB en un point G situé entre les points A et B.
Ces conditions sont nécessaires.
Elles sont suffisantes, car si elles sont remplies, on peut trouver deux forces X et Y perpendiculaires au plan et remplissant les conditions précédentes.
On a, en effet, pour les déterminer, la double égalité :
