R "~ AM ~ ABC CIB ABC

et que

Y IN Aie Jï R

R ~ BN ~ ABC °" Aie ~ ABC *

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ga COURS DE STATIQUE

On a donc la suite des rapports égaux :

CIB ~ Aie ~ AIB ~ ABC *

Ceci prouve que chacune des quatre forces X, Y, Z, R est proportionnelle à la surface du triangle forme par les points d'application des trois autres.

Ces relations permettent de calculer X, Y, Z, c'està-dire les réactions du plan ou les charges,

104. Cas particulier. — Cas d'un corps pesant reposant sur un plan par trois points.

Ici, les actions de la pesanteur sur le corps ont une résultante unique qui est le poids du corps appliqué au centre de gravité ; ce poids étant vertical pour qu'il y ait équilibre, le plan sur lequel repose le corps doit être horizontal. De plus, il faut que la direction du poids ou la verticale du centre de gravité du corps rencontre le plan en un point situé à r intérieur du triangle d'appui.

105. Équilibre d'un corps reposant par plus de trois points sur un plan. — Considérons un corps reposant sur un plan par plusieurs points d'appui non en ligne droite. Soient A, B, C, D, E ceux de ces points d'appui qui sont tels que le polygone convexe ABCDE comprenne à son intérieur tous les autres points d'appui, s'il y en a (fig. 62). Ce polygone est ce qu'on appelle \e polygone de sustentation.

Pour que le corps soit en équilibre^ il faut et il suffit qu'il existe une résultante unique R perpendiculaire au plan., dont la ligne d'action rencontre le plan en un point situé a l'intérieur du polygone de

sustentation, et qui soit dirigée de façon à presser le corps sur le plan.

Cette condition est nécessaire. En effet, si le corps est en équilibre, les réactions X, Y, Z, V, W, etc. aux points d'appui sont normales au plan, elles ont une résultante normale au plan, ,,. «

1 ' tlg. 02.

dont le point d'application est situé à l'intérieur du polygone de sustentation et qui fait équilibre aux forces.

La condition est suffisante : joignons le point D aux points A, B et G ; nous partageons ainsi le pentagone ABCDE en trois triangles. S'il existe une résultante unique R répondant aux conditions précédentes et dont la ligne d'action rencontre le plan P en un point I situé à l'intérieur du pentagone, ce point I tombe à l'intérieur d'un des triangles, soit le triangle AED. On peut alors supprimer les points G et B et le corps est en équilibre avec les seuls appuis A, D, E.

Pour calculer les réactions aux points d'appui, on peut supposer que les réactions en B et G et aux autres points, sauf A, E, D, sont nulles, et calculer les réactions en A, E, D (n° 103).

Mais on ne peut pas affirmer qu'il en est ainsi en réalité et les charges sont théoriquement indéterminées.

Dans la pratique, cette indétermination n'existe pas : cette contradiction tient à ce que nous avons supposé les plans sur lesquels s'appuient les corps et les corps eux-mêmes absolument indéformables, tandis qu'en réalité il n'y a aucun corps dans la nature qui le soit rigoureusement.