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ilB. Détermination des centres de gravité des aires planes par la statique graphique. — Soit une aire plane quelconque homogène (lig. loa) et proposons-nous de chercher son centre de gravité.
Pour cela partageons cette aire en un certain nombre de parties par des parallèles à une direction donnée; parallèles assez voisines pour que ces portions puissent être confondues avec des triangles ou des trapèzes. Nous connaissons la position du centre de gravité de chacun des trapèzes ou triangles en lesquels
l86 COIRS DE STATIQUE
est décomposée l'aire plane. Soient g,,gi,g:i, etc., ces <;entrcs de gravité : appliquons en chaonn d'eux «n poids égal ou proportionnel an poids de la surface correspondante.
Pour plus de coniiiiodité, on peut prendre les parallèles éqnidistantes; les divers trapèzes en lesquels on a décomposé la surface ont alors même hauteur et leurs aires sont proportionnelles à la somme de leurs- bases, et les triangles ont aussi des surfaces proportionnelles à leur base.
Le centre de gravité de l'aire se trouve sur la ligne d'action de la résidtante des poids partiels p^, p^, />.,... appliqués aux points g^, g^, g^
On construit cette résultante au nioj-en d'un dynamique et d'un funiculaire o, i. 2,... : Tintersection des rayons initial et final donne le point I qui est un point de !a direction de la ligne d'action de la résultante; il sudit donc de mener par 1 ime parallèle aux poids partiels pour avoir la direction du poids de l'aire donnée ; le centre de gravité est sur cette ligne CI.
Or, la position du centre de gravité étant indépen-
THÉORÈMES DE GVLDIN 187
dante de la direction des forces (n° 163), changeons la direction des poids en les faisant tourner tous d'un même angle, dans le même sens et en les laissant appliqués aux centres de gravité partiels gi.g^^ gs""
Soient p\ p\^ p^^^ les nouvelles positions des poids
partiels. On recommence le dynamique et le funiculaire avec ces nouvelles directions de poids; la nouvelle ligne d'action VG de la résultante contient le centre de gravité de Taire donnée. Le centre de gravité devant se trouver sur IG et sur VG se trouve à leur point d'intersection G.
179. Cas particulier. — La construction précédente se simplifie lorsqu'on connaît une ligne sur laquelle se trouve le centre de gravité cherché ; ainsi si l'aire a un diamètre ou un axe de symétrie, le centre de gravité est sur ce diamètre ou sur cet axe et alors le point où la direction de la résultante des poids des aires partielles rencontre cette droite donne la position du centre de gravité.
Il n'y a qu'une construction à faire.
§ 3. — Théorèmes de Guldin
180. Théorème I. — La surface engendrée par une portion de ligne plane, tournant autour d*un axe situé dans son plan et qui ne la traverse pas, est égale au produit de la longueur de cette ligne par la longueur de la circonférence que décrit son centre de gravité.
Le théorème est évident lorsque la portion de ligne est un segment de droite, car il a été démontré en géométrie que la surface engendrée par un segment AB (fig. io3) tournant autour d'un axe xy situé dans
un même plan avec elle, surface qui est la surface latérale d'un tronc de cône, est égale au produit de la longueur de la droite par la longueur de la circonférence que décrit son point milieu G.
Fi g. 10 '3.
Fi g. 104
Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une ligne brisée plane ABCDE (fig. io4) tournant autour d'un axe xy situé dans son plan et qui ne la traverse pas.
On a, en représentant par ?/,?/', y\ y, les distances des milieux des cotés AB, BG, CD, DE de la ligne à l'axe xy et par S la surface qu'elle engendre :
S = AB. iT.y 4- BG. 2 Tw y + GD. a-y'H- DE. OLT.y'"
ou
S = 271 (AB. y + BG. ?/'+ GD. ?/'' + DE. y'"), (i)
car la surface S engendrée par ABCDE est égale à la somme des surfaces engendrées séparément par AB, BG, CD, DE.
Ceci posé, désignons par G le centre de gravité de
THEOREMES DE GULDIN
rig. lOD.
la ligne brisée considérée comme une ligne pesante et homogène ; par g,, g.,, g,, g, les centres de gravité des droites AB, BC, CD, DE, et menons GG' perpendiculaire à Taxe. Soit Y la distance de G à Taxe.
Supposons que Taxe soit vertical, et appliquons aux points g,, g.,, g.,, g,^ des poids p^, p^, jWg, p^ égaux où proportionnels aux longueurs des côtés.
Ces poids ont une résultante qui est le poids total P de la ligne brisée, égal ou proportionnel au périmètre de cette ligne et appliqué au centre de gravité G.
Prenons les moments par rapport au plan mené par xy perpendiculairement au plan de la figure, on a (n^ 59) ,
P.Y = AB.y + BC.y + CD. y^ + DE. y''. (2)
Le second membre de cette égalité n'est autre chose que la quantité entre parenthèses de la relation (i), qui peut donc s'écrire :
