S=21I.PY=P. 2TU Y

S = (AB + BC + CD + DE) 2tuY,

Le théorème est donc démontré pour une ligne brisée.

Passons au cas d'une ligne courbe. Considérons un arc de courbe plane AB (fig. io5) et un axe xy situé dans son plan et qui ne la traverse pas. Inscrivons dans cet arc de courbe une ligne brisée quelconque

ADEF Prenons le centre de gravité G^ de cette

ligne brisée et soit P son périmètre.

igo

La surface engendrée par la ligne brisée, en tournant autour de xy^ est

Supposons qu'on double indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, de façon que chaque côté tende vers zéro : à la limite, la ligne brisée devient la courbe AB, le périmètre P devient la longueur / de Parc AB, G^ se confond avec le centre de gravité G de Parc et S^ devient la surface S engendrée par Parc en tournant; on a donc