V--aT:. G.GxABxAG
ou fnlin
V^surf. (ABCD) X2itG,G.
(Il* (|ui (lénionlre le théorème dans ce cas.
Soil niiuiilcrianl une aire plane de forme quel- (•()n(|un (li^^ loH) cl un axe xy situé dans son plan et (|iii 110 Im lruv(U'S(' pas. Découpons cette aire au moyen (In droilcH |)(U'pcndiculaires à Taxe xy ; nous formons (linni une séries de rectangles inscrits dans Taire et i\\j[\\\[ \\\x coté parallèle à Taxe.
Soiciil .v^, .v^, A;,,.., les aires de ces rectangles par-
THÉORÈMES DE GULDIN
tiels;?/,, 2/2^2/3i"- l®s distances de leurs centres de gravité à l'axe et considérons la somme Vj des volumes engendrés par tous ces rectangles en tournant autour de xy^ on a
Vi= 271(3/^ 5^ + y,;y,4.....). (i)
iB m T.
«T^n^^rzfffs:
Fi g. 108.
Ceci posé, soient G^ le centre de gravité de la surface formée par tous les rectangles et S^ la surface de tous ces rectangles :
Appelons Y^ la distance de G^ à Taxe ; appliquons aux points g^^ g.^, g'av- d^s poids p^^ p^, Ps^--" égaux ou proportionnels aux surfaces correspondantes des rectangles partiels. Ces poids ont une résultante appliquée en G, et égale ou proportionnelle à la surface Sj.
Imaginons que ces poids soient parallèles à Taxe xy et prenons les moments par rapport au plan mené par xy perpendiculaire au plan de la figure (n** 59), on a
La parenthèse de l'égalité (i) n'est autre chose que le premier membre de l'égalité (2), on a donc finalement
Ceci posé, imaginons que l'on augmente indéfiniment le nombre des rectangles en lesquels on a décomposé l'aire de façon que leurs hauteurs tendent vers zéro : la somme des aires des rectangles devient
BouRLET. Cours de statique, ii. i3
à la limite la surface S donnée, le centre de gravité G^ devient le centre de gravité G de Taire et le volume engendré V^ devient le volume V engendré par Taire en tournant ; on a donc, à la limite,
V = SX27tY,
Y étant la distance de G à Taxe.
183. Application. — Centre de gravité d'un secteur circulaire. — Soit (fig. 109) le secteur circulaire AOB. Son centre de gravité est d'abord situé sur le rayon OC aboutissant au milieu G de Tare AB,
car ce rayon est un axe de
^^5^^^^ symétrie.
A^^^^^^^^^B Pour fixer, la position
^^^^^^P^ de ce centre G sur OC,
^^^^ faisons tourner le secteur
jb " o y autour d'un axe j?y passant
iTig. ,09. par et perpendiculaire à
OC. Le volume V engendré est celui d'un secteur sphérique qui, comme on sait, est égal au produit de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon R :
V = -^ R. 27iR. corde AB. D'autre part, d'après le théorème de Guldin, on a : V = Surf. AOB ;x 27:00 = — R x arc AB X 27:. OG. En égalant les deux valeurs de V il vient :
Y Tî R^ corde AB = irR. arc AB. OG.
THEOREMES DE GULDIN
On en tire :
OG
corde ABx-tt-R arc AB
Le centre de gravité d'un secteur circulaire est situé sur le rayon qui partage t angle du secteur en deux parties égales^ à une distance du centre égale a la quatrième proportionnelle entre Varc^ sa corde et les deux tiers du rayon,
184. Exercice. — Trouver le centre de gravité de la surface ABCD formée par deux rayons OD, OCe< deux arcs de cercle AB, DC de même centre O (fig. iio).
Soient ^1 et g^ les centres de gravité des secteurs circulaires AOB et DOC.
Le centre de gravité G cherché est sur l'axe de symétrie OM en un point G tel que le poids appliqué en G soit égal à la différence des poids appliqués en g^ et ^^.
Au point g^ est appliqué un poids p^ égal à la surface AOB ; au point g.2 est appliqué un poids p.^ égal à la surface OCD et de sens contraire au premier poids ; composons ces deux forces parallèles et de sens contraires et le point d'application G de la résultante donnera le centre de gravité cherché.
Fig. no.
185. Applications. — Volume engendré par un cercle tournant autour d^un axe situé dans son plan et qui ne le rencontre pas {Volume du tore).
Soit un cercle G (fig. m) de rayon R tournant autour de Taxe xy et soit GG' la perpendiculaire abaissée de G sur xy^ on a (n° 182)
V=:7tR2X27lCG,
\ = 2Tz'aR\ en posant GG'=«.
Volume d'un anneau circulaire dont la section est une ellipse.
Soit une ellipse d'axes a et b (fig. 112) tournant autour de Taxe xy et soit 00' la perendiculaire
Fig. III.
Fig. 112.
abaissée du centre sur xy, on a, en vertu du théorème de Guldin,
y^TzabXiizOO', V= 2.T? abr^
en posant 00' = r.
