CENTRES DE GRAVITÉ DES VOLUMES

à MM'. Les centres de gravité de toutes ces droites sont situés dans le plan diamétral P et pour avoir le centre de gravité du volume V, il faut chercher le centre des forces parallèles telles que p* Ce centre est dans le plan diamétral et par conséquent (n** 161) le centre de gravité du volume donné est dans le plan diamétral. Ce qu'il fallait démontrer,

189. Centre de gravité d'un tétraèdre. — Soit le tétraèdre ABCD(fîg. ii6). Le plan passant par AB et le point E, milieu de Tarête opposée DC est un plan diamétral car il partage en deux parties égales toutes les cordes parallèles à DG ; il contient donc le centre de gravité du solide. Il en est de même du plan mené par AD et le milieu F de BG. Ges deux plans se coupent suivant la droite Al qui contient donc le centre de gravité du solide.

Mais le point I est le centre de gravité de la base BGD puisque BE et DF sont deux médianes de la base et qu'elles se rencontrent en I.

Le centre de gravité cherché est donc sur la droite qui joint le sommet A au centre de gravité I de la face opposée BGD.

Pour une raison semblable, ce centre de gravité doit également se trouver sur la droite Dl' qui joint

le sommet D au centre de gravité V de la face ABC.

Il est donc au point G de rencontre des droites Al,Dr.

Donc Le centre de gravité d' un tétraèdre est situé au point de rencontre des droites qui joignent les sommets aux centres de gravité des faces opposées.

190. — Pour fixer la position de ce centre de gravité sur AI, nous allons d'abord prouver que si on applique aux quatre sommets du tétraèdre quatre poids égaux, le centre de ces quatre forces parallèles, coïncide avec le centre de gravité du volume.

En effet, les poids p appliqués en B et G ont une résultante 2/? appliquée en F milieu de BG; composons le poids/? appliqué en D avec la résultante 2/? que nous venons de trouver et nous obtenons une résultante 3p appliquée en I. En effet, ID = 2IF et on a la relation :

JID 2£

IF ~ p'

. Le centre des quatre forces parallèles s'obtient en composant la résultante i p avec le poids p appliqué en A, il se trouve donc sur la droite AI.

On démontrerait de même qu'il se trouve sur la droite DF en composant les poids appliqués en B, G, A dont la résultante est appliquée en 1' et cette résultante avec le poids appliqué en D. Il en résulte que la résultante des quatre poids /;, devant se trouver sur Al et sur DI', est à leur intersection G.

Geci posé, le point G étant le point d'application de la résultante de deux forces. Tune 3/? appliquée en 1 et l'autre p appliquée en A, on a :

GI p i

GA ~~ :]p ~ 3 '