GA = 3GI
et GI = 4-AI.
Le point G est donc au quart de AI.
Le centre de gravité d'un tétraèdre se trouva sur la droite qui joint un sommet au centre de gravité de la face opposée au quart de cette droite à partir de la face.
191. Théorème. — Lorsque le lieu géométrique des centres de gravité des sections faites dans un volume homogène par des plans parallèles est une droite^ le centre de gravité de ce volume est situé sur cette droite.
Soit V (fig. 117) un '0
volume et supposons que le lieu géométrique des centres de gravité des sections de ce volume par des plans parallèles au plan P soit une droite D. Coupons ce volume en tranches très minces par des plans parallèles au plan P. D'après notre hypothèse, le centre de gravité g d'une telle
tranche T se trouve sur D. Soit/> le poids de cette tranche. Pour avoir le centre de gravité G du volume V il faut chercher le centre des forces parallèles telles que p ; or, comme les points d'application g de toutes les forces p sont situés sur la droite D, le centre G de ces forces parallèles (n° 162) sera également situé sur cette droite.
COLMS DE STATiqCE
192. Centre de gravité d'un prisme. — Considé* rons (Gg. 118} un prisme quelconque
ABGDE ABC DE.
Il est clair que la section abc de de ce prisme par un plan parallèle aux deux bases est égale à chacune de ces deux bases. Lorsque le plan de cette section
se déplace parallèlement au plan des deux bases le lieu géométrique du centre de gravité^ de la section est évidemment la droite g^ g^^ parallèle aux arêtes latérales, qui joint les centres de gravité des deux bases. D'après le théorème précédent, le centre de gravité G du prisme se trouve sur cette droite. D'autre part, le plan de la section moyenne A"B"C"D"E", équidistante des deux bases, est un plan diamétral. Car il partage en deux parties égales toutes les cordes parallèles aux arêtes latérales. Le centre de gravité G est donc, en vertu du théorème du n® 188, situé dans ce plan.
Le centre G se trouve donc à Tintersection du plan de la section moyenne et de la droite g^ g^ ; c'est donc le milieu de g^^ g^ et aussi le centre de gravité de la section moyenne. Donc :
Le centre de gravité d'un prisme est le centre de gravité de sa section moyenne par un plan parallèle aux deux bases et équidistant de ces deux bases.
Fig. 118.
I 5. — Moments d'inertie des aires planes.
193. DéSnition. — Etant donnés (fig. 119) une aire plane S et un axe xx- situé dans le plan de cette
ao3
aire, imaginons que Ton décompose celte aire en un très grand nombre de morceaux très petits. Prenons un de ces morceaux, supposé assez petit pour pouvoir être confondu avec un point M, et appelons (0 sa surface. Abaissons de M la perpendiculaire MM' sur xj/ et soit r la distance MM'.
Formons le produit ior^ et faisons la somme de tous les produits analogues pour tous les morceaux en lesquels nous avons décomposé la surface S. Soit
lo'f"
Fig. 119.
cette somme que nous désignerons par abréviation par la notation
(or
le signe ^ signifiant qu'il faut faire une somme d'un
très grand nombre de produits analogues à w/-. Pa?' définition^ Le moment d'inertie de la surface S
par rapport et Vaxe xx' est la limite de ^ co;*^ lorsque
tous les morceaux en lesquels on a décomposé la surface tendent tous vers zéro.
Le moment d'inertie d'une surface se rencontre dans Fétude de la résistance des matériaux.
194. Théorème» — Si on décompose une surface en plusieurs morceaux^ le moment d'inertie de la surface entière par rapport à un axe situé dans son plan est égal h la somme des moments d'inertie de chaque morceau.
ao4
En effet, considérons (fig. 120) une surface S et partageons-la en trois morceaux, par exemple. S,, Sj, S^. Soit x,xf un axe qui rencontre ou ne rencontre pas la
surface. Appelons I, I„ 1^, I3 les moment d'inertie des surfaces S, S^, S^, S3 par rapport à x,r^ et reportonsnous à la définition : on a
Fig. 120.
en décomposant chaque surface S^, S^, S3, en un grand nombre de morceaux w^, w^, CO3 à des distances 'V ''21 '*3 de Taxe xxf.
Pour avoir le moment d'inertie I de la surface S, il faut, par définition, décomposer la surface en un grand nombre de morceaux. Nous l'avons déjà fait en décomposant chaque surface S^, Sg, S„ et par conséquent les petits morceaux en lesquels la surface S se trouve décomposée sont la somme des morceaux en lesquels on a décomposé S^, Sjj, S3 ; on a par suite
Chaque partie de la parenthèse est le moment d'inertie d'un des morceaux S^, Sg, S3; on a donc
et le théorème est démontré.
195. Théorème. — Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe quelconque situé dans son plan est égal au montent d'inertie de la même surface par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son centre de gravité augmenté du produit de Caire de la surface par le carré de la distance des deux axes.
Considérons une surface S (fig. 121) et soit G son
Kig. i>..
centre de gravité. Soient deux axes rectangulaires yy' et xx' passant par G et un axe zz' parallèle à yy'. Prenons, dans la surface S, un petit morceau M de surface w et abaissons de M la perpendiculaire commune à yy' et zz' qui coupe yy' en H et zz' en K. ^oît I le moment d'inertie de S par rapport à yy' et r son moment d'inertie par rapport à s^',, on a, par définition (n° 193) :
= /t/»\ wSÎK*. (2)
3o6 COl'MS DE STATiQCE
Or le segment IIM est Fabscisse du point M et si jr, y sont les coordonnées de M par rapport aux axes xy et j^y , on a
MM=x.
Soit a la distance des deux axes j/tf' et zz\ on a, en vertu du théorème de Cbasles, en grandeur et en signe,
MK = HK--HM
ou MK = <ï — j".
Les relations (i) et [2] deviennent alors
I = //my,ca.r», (3)
r=z= lim \ <o [a — j")-, r = lim ^ jbia' — 2 ciwzx + cu^), l'=lim I > coff* — > 2ci)flrj-+ \ wx" 1 (4).
Le moment d'inertie V se compose de trois parties.
Etudions-les séparément :/i/i2 ^ wjt* est le moment
d'inertie I de la figure S par rapport à Taxe 7/y\
\ cofl* = wrï'+w'rt- -]-cu'«* +
w, co', w'', . . . étant les divers morceaux en lesquels on a décomposé S. En mettant a* en facteur ceci s'écrit:
lim > wa* =a'(w4-co'+ci>"+...)
OU
lim
Enfin
Démontrons que > wj7=o.
Imaginons qu'à chaque morceau M on applique un poids égal à la surface iù du morceau, la résultante de tous ces poids est le poids de la surface S qui est appliqué au centre de gravité G. Considérons un plan perpendiculaire au plan de la figure et passant par Taxe yy' et appliquons le théorème des moments (n** 59) par rapport à ce plan auquel nous supposerons les poids parallèles. Le moment du poids de M est <o X HM ou iùx^ en grandeur et en signe, car les moments des poids situés à droite de yy' doivent être pris avec le signe + et ceux des poids situés à gauche de yy^ avec le signe — . D'autre part, on a ^ = + HM si les points sont à droite et j; = — HM si les points sont à gauche.
y iùx est donc la somme des moments des poids
tels que w ; cette quantité est égale au moment du poids de la surface S. Or ce moment est nul ; car, Taxe y'y. passant par le centre de gravité G, la distance de G à Taxe est nulle.
rK
ao8 COURS DE STATIQUE
La relation (4) devient, finalement,
et le théorème est démontré.
196. Moment d'inertie du rectangle. — Lemme PRÉLiMOAiRE. — Considérons un rectangle très aplati AA' dont la hauteur est négligeable par rapport à la longueur (fig. 122), et cherchons son moment d'iner-
