TP

tie I par rapport à un axe J7x' parallèle à sa grande dimension. Pour cela, découpons le rectangle en un grand nombre de petits morceaux de surface w, co', Cl)"... ; les distances à Taxe xjf de tous ces petits morceaux sont égales à la distance y du rectangle à xx\ D'ailleurs, on a

I = <o 2/^ + 0)' 2/2 + co"2/2+ ,

l=sy\

s représentant la somme des aires des petits morceaux, c'est-à-dire la surface du rectangle AA'.

Le moment d'inertie d'un rectangle infiniment aplati par rapport à un axe parallèle^ est égal au produit de sa surface par le carré de sa distance à l'axe.

Ce raisonnement suppose que la hautfsur du rectangle soit assez petite pour qu'il puisse être confondu avec une droite.

MOMEflTS D'IKEBTIE DES AIRES PLANES lOg

197. Axe parallèle a l'n côté et passant par le CENTRE DE GRAVITÉ. — Ceci posé, considérons un rectangle quelconque ABCD(fig. 133); soit AB = «, sa largeur, BD = 6 sa hauteur et cherchons son moment d'inertie par rapport à ^

l'axe xjc' passant par son centre de gravité O et I

parallèle à sa base. Menons Oy perpendiculaire à Ox.

Découpons le rectan- -3 gle en un grand nombre de petits rectangles par des parallèles à O^. Soit M>[' l'un de ces rectangles d'ordonnée y, de largeur a et de hauteur Aï/. La surface de ce petit rectangle esta.\j/, de sorte que son moment d'inertie est, d'après le lemme précédent, oy* iy.

Le moment d'inertie de la surface ABCD est (n''194) la somme des moments d'inertie de tous les rectangles tels que MM', en lesquels on peut le décomposer par des parallèles à sa base. On a donc :

I = Uni \ ay^ Ay

quand ^y tend vers zéro. La somme N s'étend depuis le premier petit rectangle CD d'ordonnée — — jusqu'au dernier AB d'ordonnée -t- — .

Cette somme est une intégrale prise dans des

BouBLET. Cours de statique, ii. 14

aïo

limites qui sont les valeurs extrêmes de y, c'est-à-dire de a —

On a donc

ay^ dyy

■=(i-ri=T(-^)-f(-T)=

ou :

qui est le moment d'inertie cherché»

Le moment (Tinertie d'un rectangle par rapport à une parallèle à sa base menée par le centre de gravité est le douzième du produit de sa base par le cube de sa hauteur:

198. Axe quelconque parallèle a un coté. — Soit le rectangle ABCD (fig. 124), de largeur a et de hau-

aj*

Fig. 124.

leur 6, dont on cherche le moment d'inertie par rapport à Taxe xxf parallèle à CD situé à une distance d du centre de gravité O.

Menons par un axe XX' parallèle à xs/* On a

(n* 195), I désignant le moment d'inertie par rapport à xx' et r le moment par rapport XX' :

I = r + Sd\

Mais, comme nous venons de le voir,

et d'ailleurs S =aè.

Donc

I = -^ + abd\