OM OP ■" A'E

d'où

on tire

Cette valeur

portée dans Té

galité (i)

donne

i.ax*

dy,

et, en simplifiant,

Le moment d'inertie d'un triangle par rapport a une parallèle a sa hase menée par le centre de gravité est égal au produit de sa hase par le cube de sa hauteur^ divisé par 36.

201. Axe quelconque parallèle a la base. — Soit le triangle ABC (fig. 127) de base a et de hauteur h

MOMENTS D'INERTIE DES AIRES PLANES ai5

dont on cherche le moment d'inertie par rapport à l'axe xx' parallèle à BG et à une distance d du centre de gravité O.

Menons par O un axe XX' parallèle à xx , on a (n" 195), en désignant par I et I' les moments d'inertie par

rapport aux axes xx" a 1

et XX', ^ 1— ^

l=V+SdK Fig- "1-

Mais I' =

ah*

comme nous venons de le voir et,

202- ApplicatioDS. — Connaissant le moment d'inertie d'un triangle ou d'un rectangle ' par rapport à un axe, on peut trouver

— -g facilement les moments d'inertie de ■ 1 surfaces composées de triangles ou de rectangles.

Moment d'inertie du simple T. — Soit un simple T (fig. laS). Son moment d'inertie par rapport à Taxe xjf sera Fif. laS. égal à la somme des moments d'inertie des deux rectangles ABCD et EFGH (n" 194). Or, l'axe xx' passant par leurs centres

ai6 COURS DE STATIQUE

de gravité, on a, (n**197).

203. Moment d'inertie du double T. — Soit le double T (fig 129). Son moment d'inertie par rapport à Taxe xx' est égal à la somme des moments d'inertie des trois rectangles ABCD, EFGH, KLMN. Ceci donne :

*<hTi

ai ..

aJx

26'a'« aW

204. Moment d'inertie polaire. — Etant donnée une surface plane S et un Fig. 129. point O (fig. i3o) dans son plan, à

l'intérieur ou à l'extérieur de la surface, imaginons qu'on décompose cette surface en un grand nombre de petits morceaux. Soit o> la surface d'un morceau assez petit pour pouvoir être confondu avec un point ; appelons /• la distance OM et formons le produit cj/*'^:

le moment d'inertie polaire de la surface S par rapport au point est la limite de la somme de tous les produits de la forme w/-^ relatifs à tous les morceaux qui composent la surface S, lorsque les surfaces w des morceaux tendent vers zéro.

On a donc, en désignant par J ce moment d'inertie polaire,

Fig-. i3o.

J = lim \ w/'*.

MOMENTS D'INERTIE DE.S AIRES PLANES ai;

205. Théorème. — Le moment d'inertie polaire d'une surface par rapport à un point est la somme des moments d'inertie de la même surface par rapport à dettx axes rectangulaires passant par ce point.

Considérons une surface S (fig. i3i], un point O et deux axes rectangulaires passant par O. Prenons une portion m très petite de la surface S, réduite à un point M; menons les per- Fig. iii.

pendiculaires MP, MQ sur les

axes et soient j; et y les coordonnées du point M, on a PM=i/, QM=j:.

Dans le triangle rectangle OMP on a ÔM'=OP'+'PM%

Le moment d'inertie 1^ de la surface S par rapport à l'axe xx' est

1 Vu. WV^ = lim Vwî/'.

De même, le moment d'inertie Ij, de la surface S lar rapport à l'axe yy' est

Faisons la somme, il vient :

1^ ^ lim

= lim y MX^ + lim \ (■>?/*, Ix H- Ij = liin V w {x^ + y^) ,

I^ -^ I^ ^ lim

2i8 COURS DE STATIQUE

Mais lim N o>. OM^ est, par définition, le moment d'inertie polaire J par rapport au point 0, par suite

ce qu'il fallait démontrer.

206. Moment d* inertie polaire d'un cercle par rapport à son centre, — Considérons un cercle de centre O et de rayon R et cherchons son moment d'inertie polaire par rapport à O (fig. iSa).

Pour cela, imaginons que Ton découpe

le cercle en des anneaux très étroits

ayant pour centre le point O et prenons

un de ces anneaux que nous considére-

Fig. i3^. rons comme assez étroit pour que son

épaisseur soit négligeable ; tous les points

de l'anneau sont alors à une même distance x du

centre.

Soit M une portion très petite de la surface de cet anneau, d'aire w ; pour avoir le moment d'inertie de

Panneau, il faut calculer > wx^, cette somme étant

étendue à tous les petits morceaux analogues à «o en lesquels on a découpé l'anneau. Or, on a

(oj;^:i=ojj;^-|-w'j;^ + (o"a;^+ ...,

to, (*)', (ù'\ ... étant les morceaux qui composent l'an-

neau et ceci s écrit :

La quantité entre parenthèse est la surface totale

FSTTr

de l'anneau et cette surface est 27a; Aj?, aitj? étant la longueur de Panneau et Aj? son épaisseur. Le moment d'inertie polaire de Panneau par rapport au point O est donc :

27tX àX. X^

ou :

T.'ÏZX^ LX,

Le moment d'inertie polaire 1 du cercle entier est égal à la somme des moments d'inertie de tous les anneaux

I = lim \ iTzx^ Ao;,

quand les accroissements Aj? tendent vers zéro.

y 27rj?^Aj? est une intégrale prise dans des limites

qui sont les valeurs extrêmes de Xy c'est-à-dire de o à R. On a donc

et, enfin,

1= / T.lZX^dXj

7cR^ étant la surface du cercle, on peut dire que : Le moment d'inertie polaire d'un cercle par rapport

à son centre est égal au produit de l'aire de ce cercle

par la moitié du carré de son rayon.

207. Moment d'inertie d'un cercle par rapport à un diamètre. — Soit un cercle O de rayon R et cherchons son moment d'inertie par rapport à un axe xx' passant

par son centre O (fig. i33). Menons Taxe yy' perpendiculaire à xaf au point O. Le moment d'iner- ^ tie du cercle par rapport à Taxe yy^ est le même que le moment d'inertie I du cercle par rapport à Taxe .rj/, par raison de symétrie.

Soit J le moment d'inertie polaire du cercle par rapport au centre, on a (n** 205)

Fig i33.

et de là on tire

Or, on a trouvé que

TZR'

on a donc, pour le moment d'inertie cherché.

:rR'

TzW étant la surface du cercle, on peut dire que : Le moment d'inertie d'un cercle par rapport à un

diamètre est égal au produit de Vaii*e de ce cercle

par le quart du carré de son rayon.

208. Moment d'inertie d'un cercle par rapport à une droite quelconque de son plan. — Soit un cercle

de centre et de rayon R (fig. i34) et cherchons son moment d'inertie par rapport à la droite x'x située à une distance d du centre 0. On a (n** 195), en désignant par I^ et Ij, les moments d'inertie du cercle par rapport à l'axe xx' et à Taxe parallèle yy^ passant par 0,

209. Applications, — Moment d'inertie d'un demicercle PAR RAPPORT AU DIAMÈTRE QUI LE LIMITE.

Considérons (fig. i33) le demi-cercle AMB. On a trouvé que le moment d'inertie du cercle entier par rapport à AB était

Or, les deux morceaux AMB et ANB étant égaux et placés d'une façon symétrique par rapport à AB, leurs moments d'inertie sont égaux. Gomme la somme de ces moments d'inertie est égale à I chacun est égal

à — .Le moment d'inertie cherché est donc égal à

On arriverait au même résultat en cherchant le moment d'inertie par rapport à l'axe yy' passant par et perpendiculaire à AB.

210. Moment d'inertie d'un cercle évidé. — Soient Rie rayon extérieur, /* le rayon intérieur (fig, 1 35) d'un

Fig. i35.

anneau circulaire. Le moment d'inertie de la surface couverte de hachures, par rapport à l'axe xx' passant

par 0, est la différence des moments d'inertie des cercles extérieur et intérieur. En effet, soit Ij le moment d'inertie du cercle intérieur supposé plein et soit Ig le moment d'inertie du cercle total ; le grand cercle étant la somme du petit cercle et de l'anneau, si 1 est le moment d'inertie de l'anneau, on a (n° 194).

De là, on tire

1 = -^ (r* — A = TT (r^ — A .

On remarquera que tc (R^ — r'^) est Taire de la surface considérée.