HM
la somme 2 s'étendant à toutes les portions d'aire iù en lesquelles on suppose que la surface a été décomposée. En remplaçant HM par sa valeur (2) on a, pour le moment I, l'expression suivante :
I = lim y a>(jcosç — x^moY
ou
I = lim \ a)j2 cos'3-f"li™ / œa;^ sin^ç — lim > acoorjcoso sino.
La première somme développée s'écrit :
ojj2 cos^ ç =: io;y2 cos* cp + ui'y'^ cos^ (p + w'y^ cos^o + . . . ,
ti), 0)', tù"... étant les divers éléments de la surface S et y, y' y" ,.. leurs distances respectives à Ox. Dans cette somme, on peut mettre cos^ 9 en facteur et elle s'écrit :
De même, dans la seconde somme on peut mettre sin^ cp en facteur et dans la dernière acos cpsin cp . On a donc :
I ziz A cos'^ o -f- B sin^ cp — 2 G coso sin o, (3)
• en posant, pour abréger l'écriture,
A = lim > wj2, Bz=lim > lùX-y C = lini > t3ixy.
Les trois quantités A, B, G, ne dépendent pas de cp, elles ne dépendent que de la forme et de l'étendue de la surface S et de la position du point O ; ce sont donc trois constantes que l'on peut calculer. Les deux premières ont d'ailleurs des significations simples : A c'est le moment d'inertie de la surface S par rapport à Ox et B celui par rapport à Oy.'
Pour avoir le moment d'inertie de la surface S par rapport à un axe arbitraire z'z passant par O, il suffit donc de calculer, une fois pour toutes, les trois constantes A, B et G et d'appliquer la formule (3). En faisant varier cp, on pourra étudier la variation correspondante de L Pour faire commodément cette étude, nous ferons d'abord une simplification importante de la formule (3) en choisissant convenablement les axes 0^ et Oy,
2i3*. Axes principaux d'inertie. — Gonsidérons deux nouveaux axes rectangulaires OX, OY (fig. i38) obtenus en faisant tourner les axes 0.r, Oy d'un angle a dans le sens positif. Nous pouvons toujours supposer que a est plus petit que 90°, car si on trace deux droites quelconques rectangulaires passant par O il y a toujours un des quatre rayons ainsi obtenus qui fait avec Ox un angle aigu et il suffit de le nommer OX.
BouRLET. Cours de statique, 11. i5
ia6 COiRS DE STATIQVE
Soit f l'angle X0= ; on a :
sin 9 = «il (4^ + ,)' = Bip i cos>+ COK^ sii. a.
En portant ces valeurs de cosç et s!n 9 dans la Tormule (ï), développant les calculs et ordonnant, on obtient :
I = A, cobH + B, BÎn'l— uCi coB -If fim-}., (4)
en posant, pour abréger,
A, = Acos^i + Bsin^j — îCcoa:. sin 1, Bj = Asiu'a + Bcos^i+ :<Ccosi sin a, C,— (A — B)eosa siiia+ C (cos^a — sin' i).
Dans celte formule [',) A,, Bi, Ci et '^ jouent respectivement par rapport aux axes 0\, OY les rôles que jouaient A, B, G et o, dans la l'oniiule ('i), par rapport aux axes O.c et Oy. En particulier, A, et B, sont évidemment les moments d'inertie de la surface S pur rapport à OX et OY puisque ce sont les valeurs particulières de 1 pour i ^ o et ■} ^ yo".
Ceci posé, choisissons l'angle a, qui jusqu'ici n'a pas été fixé, de façon que Ci soit nul. Ceci est possible, car en égalant iCi à zéro on a l'équation :
2 (A — B) cos a sina + -2 C (cos^ a — sin^ a) == O.
qui s'écrit :
(A — B) sin 10L -{- iC cos la = O.
•on en tire :
SlUIOL 2C ,-.
tg2a= = 13 T"- i^)
° cos 2a B — A
11 existe toujours un angle et un seul, compris entre o^ et 189°
•2C qui a pour tangente un nombre donné à l'avance, -r^ r- par
exemple ; en en prenant la moitié nous trouvons ainsi une valeur et une seule pour a, comprise entre o^ et 90^, qui annule Ci. a étant ainsi choisi, la formule (4) qui donne I se réduit à la forme plus simple :
I = Aj cos2 if +Bi sin2 il. (6)
En résumé :
Etant donné une surface quelconque et un point O dans son plan, il existe toujours deux axes rectangulaires OX, OY passant par O, appelés axes principaux d'inertie relatifs au point O, tels que le moment d'inertie I de la sur/ace par rapport à un axe passant par O et faisant avec OX l'angle •>{> soit donné par la formule simple :
I =L A, cos» ^ -f B^ sin? 6, (6)
dans laquelle Aj, Bj sont les moments d'inertie principaux relatifs aux axes principaux OX, OY.
2W .Ellipse d'inertie. — Pour étudier facilement au moyen de la formule (6) la variation de I quand ^ varie, nous emploierons une représentation géométrique qui peut être très utile dans la pratique.
-ii8 COUSS DE STATIQ
Sur l'axe 0: ((ig. l'ifji), portons, à par OJ el OJ' égaux tous deux ù l'inverse
Kig. i3i,.
d'inertie de la surface S par ra[
La formule (6) s'écrit alors
A, (OJccsil^+B, (OJsi
Désignons par X el Y les coordonné* axes OX et OY ; on a :
X = OJcos^, Y =
D'autre part, si on désigne par A et B les positions de J quand Oz coïncide avec OX et OY ; et par a et ^ les longueurs OA et OB, les moments d'inertie de la surface par rapport à OX et OY sont :
L'égalité (7) s'écrit alors :
Sous cette forme on voit que le lieu géométrique du point J de coordonnées X et Y est un ellipse d'axes OX et OY. C'est ce qu'on appelle V ellipse d'inertie.
On arrive donc à la conclusion finale que voici : Étant donnés une surface quelconque S et un point O dans son plan, soient OX et OY les axes principaux d'inertie relatifs au point O (fig. 139), on trace l'ellipse d'inertie dont les axes sont, en position, OX et OY et en demi' grandeur les inverses des racines carrées des moments d'inertie principaux par rapport à OX et OY. Pour avoir le moment d'inertie de S par rapport à un axe quelconque z'z passant par 0, il suffit de prendre l'un de ses points d'intersection J avec l'ellipse, de mesurer OJ et
de calculer le carré de son inverse, -—2 , qui est le moment cherché.
215*. Cas particulier, — Dans le cas particulier où les deux moments d'inertie principaux sont égaux, on a a = è et l'ellipse d'inertie devient un cercle de rayon a. Dans ce cas tous les moments d'inertie par rapport à tous les axes passant par O
sont égaux à -5 ; on peut dire qu'ils sont tous principaux.
D'ailleurs, dans ce cas, la quantité Gj du N° 213* est identiquement nulle quel que soit a, car on a :
A = B et C = o.
'i3o COURS DE STATIQUE
216*. Exemples. — Dans la pratique il suffit de connaître l'ellipse d'inertie d'une surface par rapport à son centre de gravité ; car, dès iqu'on connaît ses moments d'inertie par rapport à tous les axes passant par le centre de gravité, il suffît d'appliquer le théorème du N^195 pour en déduire les moments par rapport à des axes quelconques.
Toute la difficulté revient à déterminer les axes principaux pour le centre de gravité.
Lorsque la surface a un axe de symétrie la chose est facile car cet axe est évidemment principal, par raison de symétriç.
En voici des exemples :
i^ Les axes principaux d'inertie d'un rectangle par rapport à son centre de gravité sont parallèles aux côtés du rectangle. Gomme on connaît (N° 197) les moments d'inertie par rapport à ces axes, l'ellipse d'inertie est facile à tracer.
'1^ Dans le cas particulier du carré, les deux moments principaux sont égaux ; d(mc l'ellipse devient un cercle (N** 215*) et les moments d'inertie par rapport à tous les axes passant par le centre sont égaux.
3° Dans le cas d'un cercle, l'ellipse d'inertie relative au centre est évidemment un cercle.
217. Construction graphique du moment d'inertie d'une surface quelconque, — Lorsqu'une surface a une forme quelconque, il est quelquefois très difficile de calculer son moment d'inertie. On peut alors avoir recours à une construction graphique.
Considérons une surface S (fîg. i4o) de forme absolument quelconque dont il s'agit de trouver le moment d'inertie par rapport à l'axe xx\ Menons un axe Oy perpendiculaire à xx' et une droite zz' parallèle à xx/ à une distance OA égale à Vanité de distance mesurée à l'échelle de la surface donnée S. Menons une parallèle à xx' qui coupe la surface aux points M et P. De P abaissons la perpendiculaire PP' sur zz' et joignons OP^; cette droite prolongée rencontre
MP en un point P,.
Menons P^P',, perpendiculaire à zz' et joignons OP'j, que nous prolongerons jusqu'à sa rencontre en p avec MP.
De même de M abaissons la perpendi- (îulaire MM' sur zz' et menons OM' qui prolongée rencontre MP au point M, ; menons MjM/ perpendiculaire à zz' et joignons OM/ qui coupe en jn la droite MP.
Nous obtenons ainsi deux points ni etp sur MP.
En recommençant cette construction pour un grand nombre de parallèles à xx^ coupant la surface, on trouve sur chacune d'elles deux points ; en joignant ces points on obtient un contour fermé qui limite une nouvelle surface S^.
Nous allons montrer que le moment d'inertie de la surface S est égal à Taire de la surface S,.
'■il,
a3a COL'RS DE STATIQUE
En effet, imaginons que Ton découpe la surface S en bandes très petites MP parallèles à Ox. Le moment d*inertie de la bande MP, par exemple, par rapport à xj/, est le produit de la surface de la bande par le carré de sa distance à .r.r'. On aura donc, en posant OH = ^ eten appelant Ay Tépaisseur de la bande MP, pour le moment d'inertie de la bande :
MP. Ay. y'et le moment dlnertie de la surface S sera :
I = /t,/iVMP. Ay.y^
Les deux triangles semblables M^P^O et MT'O donnent :
