Mouffes et Palans
ensemble de plusieurs poi même chape. Ces poulies différents (fig. 162)011 le mf
Considérons deux moufl fixée en un point A (fig, i relié au premier par une co le poids R. Celte corde est 1 mités D à la chape fixe et s'e les poulies des deux mou appliquée à son extrémité
Un ensemble de deux r nomme un palan.
POULIES a6i
Nous avons vu dans la théorie de la poulie que la tension de la corde est partout la même et, par suite, égale à P dans le cas présent.
Or, si on coupait les six brins qui supportent le moufle inférieur en M' M" M"' M'^ M^ et W il faudrait pour maintenir le moufle en équilibre appliquer en ces points 6 forces égales aux tensions de ces brins c'est-à-dire égales à P.
Ces 6 forces égales à P, que nous supposerons parallèles, ont une résultante égale à leur somme et qui maintient en équilibre la force R, on a donc
d'où P = 5-
La puissance est donc égale au quotient de la résistance par le nombre des poulies.
D'une façon générale, s'il y a 2/1 poulies dans les deux moufles, on a
242*. Travail dans le palan, — P étant la puissance, R la résistance et in le nombre des cordons, on a dans le cas de l'équilibre
Or, tandis que la résistance, ou poids à soulever R, se déplace
de a, le point d'application de la puissance P se déplace de
•2/ia. Le travail de la puissance est P X 2wa et le travail de la
résistance est Ra. Or, on a, puisque P=: — ,
'in
P X an a = Ra .
Le travail moteur est donc égal au travail résistant.
26a COURS DE STATIQUE
243. Treuil. — On nomme treuil une machine simple formée d'un cylindre appelé arbre terminé à ses deux extrémités par deux autres cylindres de même axe que lui et d'un rayon moindre nommés tourillons. Les tourillons reposent sur deux supports ou coussinets. Une corde destinée à supporter le poids à soulever est attachée à Tun des points de Tarbre sur lequel elle peut s'enrouler. La puissance est appliquée à la machine, soit au moyen d'une ou plusieurs barres fixées normalement au cylindre, soit à Taide d'une roue d'un rayon plus grand que celui du cylindre, soit encore à l'aide d'une manivelle fixée à l'une des extrémités de l'arbre. Supposons (fig. i64) le
CD
treuil en équilibre ; il est sollicité par deux forces : la puissance P agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe AB tangentiellement à la circonférence de centre B décrite par son point d'application N, et la résistance R appliquée en T et dirigée tangentiellement à l'arbre.
Désignons par b le rayon BN de la manivelle et par r le rayon IT de l'arbre. Écrivons que la somme algébrique des moments des forces par rapport à l'axe AB est nul, et nous avons
Pxè— RXr=o; (i)
d'où nous tirons
On voit ainsi que dans un treuil en équilibre^ la puissance est égale à la résistance multipliée par le rapport du rayon de l'arbre au rayon de la circonférence que décrit le point d'application de la puissance.
Ici encore la puissance est plus petite que la résistance.
244*. Travail dans le treuil. — Soient P la puissance et R la résistance. Si le treuil tourne autour de son axe d'un angle a, le point d'application de la puissance décrit un arc égal à bcL et le travail de la puissance est P X b<x. Mais pendant ce temps, l'arbre ayant tourné de l'angle a il s'est enroulé sur lui une longueur de corde égale à ra et le poids R s'est élevé de ra. Le travail de la résistance est donc Rra.
Gomme il y a équilibre, on a d'après la relation (i)
PX^ = RXr
ou, en multipliant les deux membres par cl,
P X *a = R X ra.
Ce qui exprime que le travail moteur est égal au travail résistant.
I 3. — Frottement. Applications
245. Déûnition. — Lorsqu'un corps repose sur une surface quelconque et qu'on cherche à le faire glisser sur cette surface, on reconnaît que Ton éprouve une certaine difficulté à le déplacer. Cette résistance que
Ton éprouve estdiie à ce que l'on nomme \e frottement; elle provient surtout de ce que les aspérités que présentent toujours les surfaces les mieux polies s'engagent les unes dans les autres.
246. Lois du frottement au départ. — Les lois du frottement ont été étudiées par Coulomb en 1781. Sur
une table horizontale (fig. i65) reposait une boîte creuse ayant la forme d'un parallélépipède dans laquelle on pouvait mettre des charges différentes. En un point A de la boîte était attachée une corde qui, passant sur une poulie B, supportait à son autre extrémité un plateau G dans lequel on pouvait mettre des poids Q. La tension tout le long de la corde étant la même, tout se passait comme si Ton tirait la boîte au point A avec une force Q suivant la direction AB.
Les forces qui agissent sur la boîte sont donc : La force Q qui tend à déplacer le corps de gauche à droite, le poids P de la boite et de sa charge qui maintient la boîte en contact avec la table, et enfin la réaction de la table sur la base du corps.
Coulomb faisait varier la force Q en augmentant les poids mis dans le plateau C jusqu'à ce que la boîte se mette en mouvement. Appelons F la limite de la force Q, c'est-à-dire la valeur de cette force au moment où le mouvement a lieu.
Fig. i65,
Dans Texpérience de Coulomb :
lorsque Q< F le corps ne bouge pas ; lorsque Q>F le corps se met en mouvement.
Coulomb observa en faisant varier P, que F est pro-
F portionnel à P, ç'est-à-dire que le rapport -p est constant. Ce rapport constant entre F et P se nomme le coefficient de frottement au départ.
Coulomb changea de boîte et refît son expérience pour différentes surfaces et il constata que le frottement est indépendant de l'étendue des surfaces en contact et qu'il ne dépend que de la nature des corps qui frottent et de leur état de polissage.
En d'autres termes, si on pose
ir=/; (0
f qui est le coefficient de frottement, est un nombre qui ne dépend pas de l'étendue des surfaces en contact, mais seulement de leur nature.
Interprétons maintenant l'expérience précédente. Considérons un moment de l'expérience de Coulomb
où l'on a
Ily a alors équilibre et, comme la relation (i) donne
on peut écrire
Le corps est soumis aux deux forces P, Q, et à la réaction R de la table sur le corps. Cette réaction est égale et opposée à la résultante des forces P et Q puisqu'il y' a équilibre. Cette réaction OR que nous
transportons en peut se décomposer en deux forces. Tune ON normale aux surfaces en contact, Tautre OT parallèle au plan de ces surfaces et qui s'oppose au mouvement.
Les forces N et P étant directement opposées ainsi que les forces T et Q, il ne peut y avoir équilibre que si on a : N= P et T= Q.
La réaction R a donc deux composantes, Tune N normale aux surfaces en contact et égale à la charge du corps sur le plan, l'autre T appelée composante tangentielle ou force de frottement^ située dans le plan de contact et égale à la force avec laquelle on tire le corps.
Puisque T= Q, Tinégalité (2) peut s'écrire
T<Vf
ou, puisque N=P,
T<N/'; d'où on tire
Ceci conduit à la conclusion suivante :
Pour qu'un corps reposant sur un plan, soit en équilibre^ il faut que la réaction du plan que Von cal*culerait en supposant Véquilibre possible soit telle que le rapport de la composante tangentielle à la composante normale^ soit inférieur ou au plus égal au coefficient de frottement.
Si ce rapport est plus petit que le coefficient de frottement^ il ne peut pas y avoir de mouvement.
S'il est égal au coefficient de frottement^ on est à la limite de Véquilibre ; c'est le moment où, le mouvement peut commencer.
Il faut donc toujours distinguer deux cas :
I ® -rT-<f; équ ilibre .
2® -—-== f; limite de V équilibre,
ri
Nous supposons implicitement dans cet énoncé que toutes les forces qui agissent sur le corps ont une résultante unique de telle sorte qu'on puisse admettre qu'il existe une réaction unique ég-ale et directement opposée à cette résultante.
La condition nécessaire que nous venons d'énoncer est évidemment suffisante, car si elle est remplie on est dans les conditions de l'expérience de Coulomb et il y a équilibre.
247. Angle de frottement. — Soit cp l'angle RON que fait la réaction OR avec la normale ON au plan, à la limite de l'équilibre.
Le triangle rectangle RON (fig. i65) donne
RN
Or, RN = T et ON = N. On a donc
= tg ¥,
d'ailleurs, puisqu'on est à la limite de l'équilibre
on en conclut
tg? = A
■i68 COUKS DE STATIQUE
L'angle œ défini par cette égalité est ce qu'on appelle l'angle de frottement.
L'angle de frottement est donc l'angle de la véacn tion avec la normale
pour lequel le glissement prend naissance.
Considérons un corps C, reposant sur — jp un plan IIH'(fig. i66), et en équilibre. Soit OR la réaction du plan IIH' ; dêcomposons-là en deux forces ON et OT, l'une normale au plan, l'autre tangentielle. On a dans le triangle rectangle ROM
lï— tga,
Fig. 1
en appelant a l'angle RON.
Le corps étant en équilibre, on a
et, par d'où
iéquent,
tga^tg?
Ceci permet d'énoncer les lois de l'équilibre avec frottement d'une nouvelle manière.
Un corps reposant sur un plan sera en équilibre si l'angle que forme la réaction avec la normale au plan est inférieur ou au plus égal à l'angle de frottement.
Pour que le mouvement soit possible, il faut que les deux angles soient égaux.
248. Application. — Équilibre (Vun corps pesant reposant sur un plan incliné en tenant compte du frottement du corps sur le plan.
Considérons (fig. 167) un corps pesant, de centre de gravité G et de poids P, reposant sur un plan incliné d'un angle a sur riiorizon. Le corps est soumis à deuxforces, la force P et la réaction du plan. Il y aura équilibre si ces deux forces sont égales et directement opposées. La réaction est donc appliquée au point I où la verticale du poids P rencontre le plan incliné et elle est directement opposée au poids P. Soit IR cette réaction.
L'angle iNlR qu elle fait avec la normale IN est égal
à Tangle BAH ou a, car ces deux angles ont leurs côtés perpendiculaires.
D'après ce qui précède (n"247) pour qu il y ait équilibre, il faut et il suffit que Ton ait :
Fig. 167.
<p étant l'angle de frottement.
Donc pour qu'un corps reposant sur un plan incliné soit en équilibre, il faut et il suffit que ^inclinaison du plan soit plus petite que V angle de frottement du corps sur le plan.
On a déduit de là un procédé simple pour mesurer les coefficients de frottement des diverses substances les unes sur les autres.
On prend un plan formé de Tune des substances qu'on soumet à Texpérience. Ce plan tourne autour d'une charnière A et on règle son inclinaison, à Taide d'une vis qui le traverse et s'appuie sur le plan horizontal Ail (fig. i68). On le rend d'abord presque horizontal et on y place le corps dont on veut trouver le coefficient de frottement; puis on tournera vis lentement jusqu'à ce que le corps glisse.
A ce moment précis, on mesure l'angle d'inclinaison a et on calcule tg a; on a ainsi le coefficient cherché.
On a fait des expériences sur toutes les substances connues et on a déterminé leurs coefficients de frottement qui ont été rassemblés dans des tables spéciales. Voici quelques valeurs du coefficient/':
Fig. i68.
