BC = 4AC

il résultera delà , que AB sera éiçal à SAC; d’où il suit, que le rappirl de Q à R sera le même que de i à 5, en soiie ipie la force eliercliée Q sera le cinquième de la force donnée R.

D’une autre part , la distance BC sera ^ isLblement les ipiatre cinquièmes de AB, d’où il suit facilement que la force P doit être aussi les quatre cinquièmes de la force R.

Remarquez eu jiassant que ces deux forces ainsi déterminée , satisfont à la condition que leur somme soit t^ale à leur résidlante , car la somme de P et de Q se conqxisc évidemment de quatre ciiKpiième de R pins un cinquième 'de R, en un total des cinq cinquième de R , ce ipii équivaut à R tout entier. Ceci jæut vous servir de conlirmalion jxiur la légilimiïé de notre calcul.

3. Une chose bien remarquable, c’est que dans tout ce que nous avons dit jus(|u’à présent, nous n’avons tenu aucun compte tle la direction commune de nos foires : en effet, elle n’entre pour rien dans la détermination du point C, détermination (|ui ne dé]>end que de la longueur de AB et des wileurs de P et de Q', en sorte que ce |ioint

C sera toujours le même tpielque soit la (lii'ection des forces P et Q , pourvu que les forces P et Q conservent la même valeur et que les ]X)Lnts A et B ne changent point.

D’une autre part on voit cpie la valeur de la résultante ne changera ]>as non plus , puisqu’elle est toujours égale à P -)- Q ; donc :

Si l’on fait varier ar'bit rai rement la direction commune de deux force» parallèle» , en conservant pourtant la position de leurs points d’application et leurs valeurs , la résultante de ces deux forces, en suivant leur nouvelle direction , lut changera pas de valeur et ne cessera pas de paiser par un point constant.

4- Ce théorème se généralise d’une manière facile, et se change alors en un principe tièsimportant que nous allons reconnaitre.

Soient A , A' , A" , A'"... etc. les dilférens points d’iui coqw ou système solide , auquel on siqipose

appliquées des forces P, P', P", P'" parallèles

entre elles, d’une grandeur donnée et tirant dans le même sens.

Nous avons vu dans la leçon précédente que toutes ces forces avaient une résultante unique , qu’on obtenait en déterminant :

d’abord la résidtante R de P et P' , ensuite la résultante R' de R et P" , puis la résultante R" de R' et P"' , et ainsi de suite , à la fin de quoi on trouve celle (pii re[îréscntc toutes les forces du .svstèmc.

Supposons maintenant , »jue i l’on change la direction coinnuuie de toutes ces forces en conservant leurs valeurs et la jiosition de leurs points d’application , et voyons ce cpii en résultera.

D’abord la résultante R de P et P' conservera la valeur P -}* comme auparavant , et son point d’application ne changera pas , en sorte qii’elle ne subira d’autre inûuence que de prendre la nouvelle

direction des forces P , P' , P" Au lieu de

. l’ancienne.

Il en sera de même de la résultante R' de R et P''. EUe conservera aiLssi sa valeur et son point d’application , en prenant seidement la nouvelle direction. La même cho.sc aut\a lieu pour toutcg les i-ésultantes successives et aussi jwur la résultante totale du sj'stême , en sorte que celle-ci pissera jiar le même point d’application que dans le cas de la direction primitive, et conservera la même valeur , qui est

P -)- P' -(■ P" ■+• P ” Seulement sa direction'

sera changée, puisqu’elle sera parallèle à la nouvelle direction que, nous avons supposée aux forces. Donc ;

Quelque soient les di/ections successives d’un système parallèle de forces tirant dans le même sens Icji différons points d’un corps solide , pourvu que ces points ne changent pas leur position respective et que les forces conservent la même valeur, il y aura dans le système un point invariable par lequel passera toujours la résultante de toutes ces forces ; cette résultante en outre , sgt% toujours parallèle à lad irection commune des forces et égale à leur somme.

Ce [xiint iiivariahie s’apjx’lle centre des forces parallèles : nous verrons l»ientôl le rôle ini]<i>rtanl qu’il joue ilans la science de l’équilibre des corps solides.

5. Il nous sera facile iiiainleuaut de nous l'endre compte de la manière dont la pesanteur a-'il sur les corj)s, et de voir comment on peut en apprécier l’effet.

Tout le monde sait qu’en enlevant un coq>s de la surliice de la terre et en l’abandonnant ensuite à lui-même sans appui, il prend de suite un uiouvemeut vers cette surface en suivant une ligne qui jouit de la propriété d’être perjxîndiculaire à la surface di's eaux .donnantes , la{(uelle prolongée suin.samment jrasserait par le centre de la terre, et qu’oii distingue le nom de verticale.

Cepbénomêne (|u’on nomme chiite des corjis, est la con.sétpience d’une propriété île la matièri; qu’on apjielle alfunté et attraction , lorsqu’on la considère entre des molécides, et jxsanleur dans le cas dont nous parlons.

Il parait que les molécules s’attirent en raison directe de leurs masses et inverse du carié de la distance; en sorte que (lig. 7) deux molécules M et M' dont les masses seraient représentées par m et ni' et la distance des centres par AB seraient attirées l’une vei-s l’autre par une force projwrtion-

ncllc à

TROISIK.ME I.ECON. 7 3

Celte loi s’étend jusqu’à la terre elle-nième; eu sorte que la terre se comporte à l’égard des niolé- «ules des corjw qui se trouvent à sa surface, de la même manière que le ferait luie molécule simple •.et liomc^ène mais d’une grosseur immense , et que chaque molécule se trou\ e attirée vers la terre par une force proportionnelle à la masse et inverse du carré de sa distance au c'cutre de la terre. (")

Mais lorsqu’on considère deux molécxiles homogènes et de même masse , assez proches l’une de l’autre , on peut considérer les distances de ces molécules au centre de la tene comme égales, et, en vertu de leur grand éloignement du centre tle la terre , on peut regarder comme parallèles les directions des forces qui les tirent vers ce centre : de telle façon qu’on en conclut , jx)ur les corps qui sont à la surface de la terre, qu’on |)eut considérer toutes les molécules qui les composent comme sollicitées par des forces égales et jKu-allèles tirant toutes dans iu\ même sens , lequel est normal à la surface du globe terrestre. C’est là ce qui constitue l’état d’un corps soumis à la pesanteur terrestre, car on nonune pesanteur cette force d’attraction exercée jwr le globe sur les molécules.

Or, un tel état est analogue à celui que nous avons traité au commencement de cette leçon ,

(®) Voir 1.1 note à Ja fm <lo l.i leçon.

lO

7 4 MliCAMQUE.

ainsi lions en pourruiis tirer les eonsiVpiences suivantes :

I. Toutes les forces de la pesanteur qui agissent sur les nwlécules d'un corps , ont utie résultante unique.

IJ. Cette résultante est égale à la somme des forces qui agissent séparément sur tes molécules : par conséquent , elle est proportionnelle au nombre des molécules et par suite , à la masse du corps.

III. Cette résultante se nomme le poids du corpst ainsi le poids d’un corps , toutes choses égales d'ailleurs , est proportionnel à sa masse.

Voilà encore un résultat de la plus grande utilité, car- vous voyez qu’il |)eut servir à estimer les niasses relatives des eorjis lionw^èncs, ce qui , comme nous l’avons vu, est d’une lia'ute imjiorlance dans la mesure tles l'orces qui mettent les corps en mouvement : en voici un autre qui u’est }ias moins iiiqxiifant. ^ /

G. .Nous avons vu que dans tout système de points sollicités |)ar des fqrces parallèles, il y a un jioint fixe par lef[uel la résultante de ces forces passe toujoui’s, (pielque soit la direction des forces, jiourvu qu’elles con.serv eut leur parallélisme et leurs valeurs, et que les points d’application ne changent point leur position récipi’oijue. Ce point est ce que nous avons appelé centre des forces parallèles.

Or , que l’on change la direction des forces en laissant le corps immohile ou qu’on fasse mouvoir

TUOISliiME LEÇON. v ç5

le ct)rps en conservant la «IntTlion et les points d’application' des f'mces , il est visible qne les c-onséquences seront toujours les mêmes; en sorte que quelque soit la position du corps et du centre des forces parallèles, la résultante de ces ilernières ne cessera pas «le pisser par le centre.

Celte obscrv ation est |)arfaitement ajiplicable aux ’ corps soumis à l’action de la pesanteur ; car il est visible que quel«|ue soit la position d'un corps pesant, toutes les forces qui sollicitent les molécules ne cesseront pas «l’être parallèles et égales entre ell«iSj tandis «pie les positions réciprixjues de leurs points d’application ne changeront |>as.

Ainsi : quel(j:te soit la position qaon donne à un corps à la surface delà terre ^ la résultante des pesanteurs de ses molécules passera toujours par un même point, lequel sera lié au corps par des rapports invariables do position.

Ce point «pii n’est autre chose que le centre «les forces parallèle» «le la pesanteur, prend «lans c«; cas ]>iirticulier le nom de centre de yravité.

Ainsi tout corps soliile a un centre de gravité, et le poids d’un corps passe toujours par ce centre de gravité. Ce résultat est imputant à observer, ])iiis«ju’on voit «pi’ainsi on p«uii'ra «le suite estimer 1«? jx»i«ls d’un œrps au moyen «le la résistance «ju’on «loit applifjuer à son œnlre «le gravité jx)ur l’emjK‘« licr «l’olanr à la pesanteur.

D’une autre part , «m voit rpic tout corps dont

■j6 .'nÉLAMQlÆ.

le centre de gravité est fixe, est. en é({iiilibre de liii-mème s’il n’est soumis qu’aux forces de la pesanteur : en effet alors la résultante de toutes ces forces est détruite par l’immobilité du centre de gravité par lequel elle passe, et son effet étant nul de cette manière, l’équilibre doit avoir lieu.

Enfin on sent (jue lorsqu’on aura à considérer l’équilibre d’un corps pesant soumis à des forces quelcoiupies. Usera facUe de .ramener les recherches d’équilibre aux cas des systèmes sans pesanteur ; pour cela on déterminera le centre de gravité du corps , puis on appli<juera à ce point , dans la direction d’action de la pesanteur, une force égale au poids du corjw : on pourra ensuite faire entrer cette force comme les autres dans les conditions de l’équilibre et se dispenser par là d’avoir ^ard aux actions partielles exercées j»r la {pesanteur sur chaque molécule.

7. Vous voyez donc qu’il importe de trouver des moyens de déterminer, jxjur des corjvs d’une ligure donnée, le centre de gravité. C’est ce dont nous allons nous occuper ; nous trouverons chemin faisant plusieurs pi-opriétés de ce point remarquable.

Remarquons d’abord que si on suppose im corps composé de plusieiu-s parties , cliacune formera un corj3S à part «jui aura aussi son centre de gravité et son pfûds; en sorte que l’ensemble des forces de la pesanteur pourra être considéré comme représenté psir un (Xîrlain nombre de forces pîflrallèles entre elles.

proporlionnelles ù ces diflëi’eiis poids et appliquées nu\ différens centres de gravité , dont nous avons parlé. Il est visible que dans ce cas, la l'ésullante de toutes ces foi ces sera le poids total du corps et leur centre sera le centre de gravité : de sorte que vous voyez facilement comment on peut déterminer le centre de gravité et le poids d’un corps quand on connaît ces deux choses pour chacune de ses parties :

. ce théorème nous servira plus tard.

D’une autre part il est visible que pour les corps IioiiK^ènes, les poids sont proportiomiels aux masses et, jwr conséquent, aux volumes; d’où il suit que les forces parallèles dont nous avons parlé ci-dessus ne dépendent, pour leur valeur, cpie du volume des parties composantes du corps , et , pour leur point d’application , que de la forme de ces parties ; ce ipii fait que le centre de ces forces ou le centre de gravité ne dépend vraiment que de la forme du corps, tandis <pie la résultante ou le poids de ce airps dépend unicpiement de son volume.

Maintenant si vous vous reportez au théorème du numéro i , il vous sera facile de voir que le point (1 n’étant déterminé que par le rapport des forces P’et Q, il serait toujours le même, si au lieu de ces forces on avait les forces de aP et aQ, 3P et 3Q , etc. , puisfjue l’on a .

P ; Q : ; aP ; aQ ; : 3P ; .3Q

Ce raisonnement peut d’ailleurs s’appliquer làcilciiient à lui système quelconque de ^xiints et de

^8 • M^XANIQVK.

forces , en sorte , par exemple , que si au lieu ( n“. 4 )

des forces P, P', P" , on avait les forces aP,

aF, aP" , 3P, 3P' , 3F' les points d’ap-

plication restant loujoiii-s les mêmes et les forces restant parallèles , on voit clairement que le centre de ces forces parallèles ne serait pas changé.

Il résulte delà que si, sans changer la forme d’un corps, on changeait seidement sa nature, les jK)ids de ses molécules variei’aient , niais leurs points d’application restant les mêmes et leur rajiport étant toujours le même aussi , le centre de gravité ne changerait pas de place; d’où il suit, que la poei- . tio7i du centre de yrarilé d’un corps homoyènn quelconque dépend, comme nous l’avons déjà dit , de sa forme et point du tout de sa nature.

8. Tout cela fait qu’on jxnit considérer la question de la détermination du centre de gravité d’un corps homogène comme un vrai prohlêine de géométrie dans lequel il n’y a que des foraies déterminées à considérer.

C’est ce que nous allons voi r encore' plus cia irenient en traitant successivement de la recherche du centre de gravité des lignes, des surfaces et des solides : (|uoique nous ne puissions considérer ici que des cas particuliei’s , néanmoins ce (|ue nous en ferons suflira ]>our jeter de la lumière sur les aperçus généraux que je viens de vous donner.

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TROISIÈME LÈÇO.V.

Dex centre» de yrarilé des lignes.

9. Vous ne jxnin iez i^uères vous faire une idée du centre de gravité d’une ligne droite ou courbe, en la consitlériuit sous le point de vue inatliéinatique : en effet , une telle ligne n’ayant ni épaisseur ni largeur ne peut avoir aucun jioids et , par const'quent , échappe aux notions que nous avons données plus haut ; il ne peut y avoir d’autre moyen d’expliipier ce qu’on entend par centre de gravité d’une ligne que de la supjxiser composée d’une infinité de molécules ou très-|)etiles sphèreh mises bout à bout ( fig. 8 ) , ayant des rayons égaux et dont les centres se trouvent sur la ligne dont il est question. On ^oit alors <pie cbaijue centre peut être regardé comme le point d’application d’une force parallèle à la pesanteur et égale au poids de la molécule. Le centre de ces foi-ces parallèles est alors le centre de gravité de la ligne.

Il suit delà, qu’on obtiendrait' d’une manière assez exacte le centre de gravité de toute ligne donnée regardt^e comme pesante , en divisant cette ligne en im très-^rand nombre de parties toutes égales entre elles , et en regardant chacun des jxiints de division comme le point d’application d’ime force d’une diretlion donnée et d’une même valeur pour toute l’étemluc de la ligne. C’est elléctivement le seul moyen qu’on puisse employer

8o mixamque.

dans un s'rand nombre de eirconslances ; mais commi' il n'est jamais d’une grande rigueui' , il est esseiiliel de connaître quelijucs -uns des cas où l’on peut procéder d’une manière jiairaileinent exacte à la détermination du centre de gratté d’une ligne.

Si la ligne est droite , comme AB , il est facile de voir <pie le centi'e de gi*avité ne peut etie plus proche de A «jue île B , en sorte qu’il doit se trouver a t*gale distance de ces deux jxunls et ^ 2»r conséquent , sur une droite CD, perpendiculaii-e ù la droite AB et passant par son milieu ; d’une autre part il est clair ipie ce centre de gravité ne pourra être situé dans aucun point de cette perpendierdaire pris hora de la droite AB-, car s’il se trouvait , par exemple , en D , on v oit qu’il n’y aurait pas de raison pour qu’il ne se trouvât ps aussi bien en D' , de l’autre côté et à la même disUince de la droite AB , les choses étant disjxiaées symétriquement de chaque côté de cette droite; ainsi donc , il devra n’ètre ni au dessus ni au dessous du point C ; il sera pr conséquent en C; donc :

I. Le centre de gravité d'une droite terminée à ses deux bouts et d'une longueur arbitraire est situé au milieu de cette droite’, et son poids est proportionnel à sa longueur.

C’est en s’appuyant sur cette propriété , que Stevens , im des géomètres distingués de notre

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TROISIÈME LEÇON. • 8l

j«ys , était parvenu à une démonstration fort ingénieuse, que voici, de la conqx)sition des forces |>aralièles.

Supposez une droite arbitraire AB , (fig. i o) soumise à l’action de la pesanteur : prenons un point quelconque C sur cette droite , nous l’aurons de cette manière divisée en deux parties AC et BG , dont chacune aura un poids projxirtionnel à sa • longueur ; cherclions où ces poids agissent : le jwids 1* de *AG aura visiblement son point d’application en A' milieu de AG , et le jwids Q de la droite BG en G' milieu de BC, ces deux poids étant du i-este projxirtionnels à leurs lignes respectives AC et BC ; en sorte que tout le système sera somnis à l’action de deux Ibrces , l’une proportionnelle à AG appliquée eu A' , l’autre à BG appliquée en B'. La résultante de ces deux forces sera évidemment le poidj de la ligne totale AB , et son point d’applicjftiou sera le centre de gravité de cette droite ; or , ce ‘centre de gravité , conmie nous le savons , est placé en M milieu de la droite AB , donc d’abord : la rùauUanle des foixes P et Q eM égale au poids de la somme des droites AC et BG , ou à la somme de leurs poids , c’est-à-ditx , à P -f- Q J ce qui est conforme à ce que vous avons déjà vu.

luisuite , . puisque AA' est la moitié de AC et que BB' est la moitié de BG , le rapjMirt de AA' à BB' doit être le même que de AG à BC , et paç ■ 1*.

con.st'({ueiil , de P à Q j d’où il suit que l’on doit avoir

P : Q : ; AA' : bb'.

Mais d’une autre |Kirl puisqu’on a aussi

A'C = — AC, et B'C = — BC on doit avoir encore

A'C + B'C ou A'B' = L (AC + BC) = — AB.‘

OU