A'M = BB

ce cpii fait qu’à la place de la proportion

P ; Q : : aa' : bb'

on peut écrire celle-ci

C’e.st-à-dii'e , tjiie la rémiUante des deux foreex parallèles P et Q coupe la droite qui joint leurs.

poinb- d applica^on en deux segmem réciproquemexit pivportionneh à ces forces : théorème déjà connu , niais qxie j’ai cru devoir vous représenter de nouveau , à cause de l’originalité et de la simplicité de sa tlémonstration.

10. Lorsqu’on sait ainsi trouver le centre de gravité d’une droite, .on pçut trouver facilement, celui d’un assemblage quelconque de droites.

Soit, pare.xemple, à trouver le centre de gravité du contour d’un triangle ABC ( fig. 1 1 . )

Soient d’abord a, h et c, les milieux des côtés BC , AC et AB ; ces points seront les centres de gravité des côtés dont ils sont les milieux et, par conséquent , on peut les considérer comme points d’application de trois forces parallèles entre elles et à la pesanteur terrestre , et égales l’une au poids de la droite AC, l’autre au poids de la droite BA, la troisième au poids de la droite BC. Les deux premières appliquées en h et en a ont une résultante ('■gale à leur somme et qui doit passer jwr un point d de la droite ba tel que les longueurs ad et hd soient en raison inverse de leur grandeur et, j\Tr ' conséfpient , de» poids des côtés AC et BC , ou en raison inverse des longueurs de ces mêmes côtés , en sorte qu’on doit avoir

hd \ ad ; i BC ; AC ; bc ; «r,

vu <jue bc est évidemment la moitié de BC, ainsi que ac est la moitié de AC.

84 MECARlQVIi.

.11 suit delà qu’on trouvei-a facilement ce point d : pour cela il ne faut que mener la droite cd qui partage en deux parties égales l’angle bca; l’endroit d où cette droite rencontre le côté ba donnera évidemment la proportion suivante ;

bd \ ad \\ be \ ac ,

et, par conséquent, sera le ^int cherché.

Maintenant il faudra composer la force applicpiée en d avec celle appliquée en c qui est le poids du côté AB : mais, sans aller plus loin, on voit que la résidtante aura son point d.’application quelque part sur la droite cd et cela, comme vous l’allez voir, nous suffit.

En effet , si nous avions mené du point h la ligne he qui partage en deux parties égales l’angle abc , nous aurions pu démontrer , comme tout à l’heure , que la résultante cherchée doit aussi pas.ser «pielque part par cette ligne; elle devra donc avoir son point d’application à la fois sur ces deux droites, et , jwr conséquent , à leur rencontre. Donc le point d’application de la résultante de toutes les forces de la pesanteur qui agissent sur le contour du t riangle donné , ou , en d’autres termes , le centre «le gravité de ce contour , se trouvent en O au point de rencontre des deux droites cd et be.

Or , si vous y prêtez quelque attention , il vous sera facile de voir que ce point O est le centre du cercle inscrit .au triangle abc : delà résullc le iiiéorcnie .suivant ;

Digilized by LiOOgle

TBOISIÉME LEÇOX. 85

II. Si dam un triangle ASC guelcongue , rom inucricez un autiv triangle abc dont les sommets soient re/tpectivement les milieux des côtés du premier , le centre du cercle inscrit dans ce dernier triangle sera le centre de gravité du triangle ABC.

Vous trouveriez p.ar des voies de composition semblables le centre de gravité du contour d’un polygone quelconque , et il ne vous sera pas dillicile de tirer de ce que nous avons dit cette autre conclusion ;

III. Si à tous les milieux des côtés supposés pesam d’un polggone , on applique des forces parallèles et respectivement proportionnelles aux poids ou aux longueurs des côtés par le milieu desquelles elles passent, 'le centre de ces forces parallèles sera le centre de gravité du contour du polggone.

IV. 11 est visible que le centre de gravité de la ciixonfércnce df un cercle est le centre même du cercle ;

Celui du contour d’une ellipse est aussi éridetnment placé à la rmicontre du grand et du petit axe de V ellipse. C’est ce qu’on appelé le centre de l’ellipse.

Nous verrons ailleurs le moyen de trouA cr le centre de gravité de quelques autres courbes^ ou portions de courbes.

Du centre de gravité des surfaces.

J I . Pour comprendre ce que veut dire une

86 MÉt:\MQUE.

surface pesante , il faut la regarder aussi comme d’une certaine épaisseur , ou composée d’une midtitude de jx'tiLs solides égaux et juxtaposés; chacun de ces petits solides étant supposé homogène avec les autres, représente une force proportionnelle à son volume. D’une autre part en r^ardant la surface comme composée de plusieurs 'rangées rectilignes de ces molécules , on réduit la difficulté à chercher les centres de gravité de ces lignes et à composer leurs poids comme des forces parallèles appliquées à ces centres de gravité. C’est ce cpie nous allons voir de suite. Mais d’abord nous nous occuperons de surfaces symétriques.

I. Ijo centre de gravité d’un parallélogramme rectangle ABCD , se trouve évidemment en O, point d’intersection des deux diagonales duparallélogran\me.

Cela résulte, indépendamment de toute autre considération, de ce que toute droite parallèle à un des côtés d,u parallélogramme rectangle et passant par le point O , partage cette figure en deux parties rigoureusement symélriqiies. Ainsi il n’y a pas de raison pour que ce centre soit plutôt en »n, par exemple, qu’en m' , ces deux points étant placés d’une manière symétrique par rapport au parallélogramme.

Par conséquent , il ne sera ni en m ni en »j'; ce raisonnement pouvant se faire pour tous les points qui ne sont pas le point O , il en rési Jte que celui-

ci doit être le centre de gravité, puisque ce centie de gravité ne ^uL être nidle part ailleurs.

centre de gravité d’un carré se détermine évidemment de la même manière.

II. Ls centre de graeité de la surface d’un cercla est au centre de ce cetxle.

Cela dérive encore de ce que cette surlace est coupée en deux parties absolument symétriques par chacun de ses diamètres, en sorte que par le raisonnement de l’article précédent, on prouve que son centre de gravité doit être à la fois sur tous ses diamètres. Or , vous savez que le centre du cercle est le seul point qui jouisse de cette propriété j U est donc le centre de gravité demandé.

III. Le centre de gravité de la surface d’une ellipse est placé à la rencontre de scs deux axes.

Parce que l’ellipse est symétrique par rapport à cliacim de ces deux axes.

IV. En général , toute figure qui peut être divisée eti deux portions symétriques par une droite quelconque a son centre de gravité sur cette droite.

Cela résulte de ce que le raisonnement que nous avons déjà employé peut s’appliquer à toutes ces ligures. Delà vient tout naturellement le théorème suivant ;

• V . Tout polygone régulier a pour centre de gravité de son aite le centre du cetxle inscrit ou celui du cercle circonscrit à ce polygone.

U est facile , eu effet , de voir que ce centre jouit

(le la proj)riété de se trouver sur toutes les droites qui coupent le jx)lygone en deux portions synié- Iriques.

VI. 11 eu est de iiièine des polyèdres réguliers , ' puLs(pi’i]s sont syiuétricpies , au moins par rapport à trois plans passant jwr le centre de la sphère circonscrite ; ce point doit ■ être le centre de gravité de leur surface , comme il est aussi le centre de gravité de la surface de la sphère.

1 3. Passons maintenant aux figures irr(^ulières mais planes , et choisissons d’abord le triangle , auquel , (X)mme la géométrie vous l’a appris , j)eu- •venl se rapjxirter toutes les surfaces planes ou courbes.

Soit donc ( fig. i3 ) un triangle quelconque ABC dont on veut œniiaître le centre de gravité. Rien ne nous empêche de concevoir sa surface comme composée d’une infinité de petites droites matérielles parallèles à sa base AB et très-prcxîhes les unes des autres. Or , chacune d’elles aura son rentre de gravité au milieu de sa longueur , et tous milieux seront évidemment situés sur une même droite Cr , allant du sommet C du triangle au milieu c de la base opjjosée. Ainsi le système des forces de la pesanteur est remplacé, dans re cas , par une série de forces cbacune égale au jjoids d’une des lignes matérielles dont nous avons jiarlé, et ayant tout(,>s leurs jwints d’application sur la droite Ce ; or , il est \Tsiblc que dans cet état de

TROISIÈME I.EÇON. 89

clioses la résultante de toutes ces forces passera par un des points de cette droite et conune son point d’application n’est autre chose que le centre de gravité de la surface du triangle , il en résulte que :

I. Le centre de gravité d’un triangle ABC se tteuve toujours sur la droite qui joint le milieu d^un de ses côtés avec le sommet' opposé. .

On obtiendra donc ce point en menant outre la droite Ce , une autre droite Aa , du sommet A au milieu a du côté opposé ; cette droite coupera la première en un point O , qui sera le centre de gravité du triangle.

Menons maintenant la ligne ae ; elle sera évidenmient parallèle à AC, et, par conséquent, les triangles ACO , acO sont semblables , d’où il suit que l’on aura la proportion

AO ■, aO ; 1 CO ; cO ■ ■ AC ; ac , et fjar conséquent

AO -|- aO i aO ; ; CO + i i AC-|-ac | ac.

Mais les triangles ABC , aBc étant semblables et de plus le côté aB étant la moitié du côté AB , ou doit avoir encore

AC ; ac BC ; AC ; 2 ; i.

d’où l’on tire

AC -\-ac \ ac \\ 2 -|- i i 3 ; i

Digilized by Goc^le

go MErAMQUE.

et par conséfpuMit an lieu de la projKjrtioii

AO-(-aO «0 ; ; (X) -f- c(J ; tO +

il vient , en oliservant (pic

AO -1- rtO = Aa , CO -|- CO = Ce ,

Art ; aO ! ! Cf cO ; ; 3 ; i ,

d'où il suit (pie la ligue (O est le tiers de la ligne Cf ; en d’autres termes :

II. Le centre de. gravité O d’un triangle quelconque ABC SC tmuve au tiers de la ligne Ce qui joint le milieu de sa base à soti sommet , en partant de cette base , et aux deux tiers de cette même droite en partant du sommet.

11 est visible en outre (pie le poids du triangle est proportionnel à sa surface.

11 vous sera facile de voir (pie ce point serait le même que le jxiint d’application de la ril-sultante de trois forces égaltîs et jianillèles , aj)pli(piées au.v somniets des angles A, B et C ; en ell’et, le centra des deux premières serait évidemment au milieu de la droite AB, et, par con.s(>(juenl , il resterait deux forces au lieu des trois ; l’une appliipée en c et égale à la somme de (^lles qui étaient appli- (piées en A et en B et , par consé-quent , double de celle appliquée en C. Il est clair ainsi que la résultante coupera la ligue Cf en O, au tiers de sa longueur , ce qui nous donne le meme jxiint O, que nous avons déjà trouvé ; ainsi :

TROISIÈME l.EÇON. QI

III. 1 Àt centre de yracité d’un triamjle e»l le même tjue celui de trois cotys sphériques égatix attachés chacun au sommet d’un de ses angles.

1 3. Les ti'ois llu’orênies qui précèdeiil , outre rinlérôt ((u’ofFre leur énoncé , ont pour vous l’avantage de vous donner le moyen de trouver le centre de gravité d’une siuTace ]X)lYgonale ou polyédrique quelconque: vous n’avez en effet alors, qii’â diviser le jxvljgone ou les diverses faces du polyèdre en triangles , puis à déterminer, jiour cliacim de ces triangles, .son centre de gravité et son jxiids. Iæ problème se lédiiira alors à trouver le jK)int d’application de la résultante de tous ces poiils , ce qui sc li:ra comme nous l’avons déjà vu.

Vous |X)uvez aussi , quoique à la v érité approximativement , iléterniiner le centre de gravité d’une surlace quelconque , courbe -ou plane et limitée par des lignes ipielconques , en la supjjosant décomposée en un nondire très-grand de très-petits triangles, et en clicrcliant le centre de gravité, de la même manière <pie pour un poljgone ou un ivolyèdre; le résultat olrtenu sera d’autant plus approchant de la vérité »pie vous aurez pris les triangles plùs nombreu.x et plus petits.

Au reste , il y a pour obtenir plus d’e.xactitude, des méthodes très-élégantes et très-générales , dont je tâcherai , dans une de nos prochaines leçons , île vous donner rpielque idée , quoique , à projiremenl jxirlei- , elles sortent un (>eu du plan que je me suis tracé.

C)a MÉCANIQUE.

Je pusse aux centres de gravité des corps solides, c-es points étant véi itableinent ceux qui jouent le rôle le pins im|H)rlant dans les machines. Comnicnrons [wr les wntres de gravité des corps solides (jiii ont un ou jdnsicurs plans de syinétrie.

i/\. Tout coijjx solide qui peitl êtiv coupé par tm pl.ui , de manière à ce que les deux parties résul- Ituites soient absolument symétriques par rapport à ce plan , a son centre de gravité sur ce plan. •

(ie tliéorème se démontre facilement ; car si \ons snpjwsez le centre de gravité quelque part liors de ce plan , vous voyez facilement qu’il n’y a ]>as de laisoii ]K)ur qu’il soit plutôt d’un côté <lu jilan que de l’autre, à cause de la symétrie des jtarties du corps par rapport à ce plan. Or, comme il ne jieut être dans deu.x endroits à la fois , il Y a donc absurdité à le supposer hors du plan et, par consé(|uent , il faut de nécessité qu’il soit sur ce plan.

Il y a encore un autre moyen de prouver ce princijie ; en ell’et , le centre de gravité de cbacmie des deux moitiés, du corps doit être placé par rapport au plan, de la même manière que l’autre, mais syniétriquemcnt , c’est-à-dire , que tous deux doivent se trouver sur une même droite jxîrj)endiculaire au plan coiuxuit , et à des distances égales de ce jilan , ou du point dans lequel il est coupé par la pi^rjvendiculaire. Le poids total du corps sera donc la résultante de deux j>oids égaux

ap{)liqiiés aux deux exlrèinilés d’iiiie droite que le plan de symétrie coupe en deux jiarties égales : il est visible que le point d’application de la résultante sera au milieu de la droite et , par conséquent , dans l’endroit où elle coupe le plan de symétrie. Ce point d’application n’étant autre chose que le centre de gravité , on voit donc , coumie nous l’avons dit, que ce point est sur le plan de symétrie.

11 résulte delà plusieurs conséquences immédiatement applicables à une classe nombreuse de corps , et qui dispensent de toutes reclieicbes compliquées, jxmr la détermination" du centre de gravité de ces corps. En effet , si un corps a trois plans de symétrie , son centre de gravité est à l’intersection de ces trois plans ; s’il n’en a que deux , son centre de gravité doit être sur la droite conmuuie à ces deux plans, et il ne faudra plus qu’une seide condition pour le" déterminer : s’il n’en a qu’un , le centre de gravité sera sur ce plan , et il faudra alors deiLX conditions de plus pour le détemiiner ; ce qui néannioins est plus simple encore que le cas général.

i5. Les polyèdres réguliers et la sphère sont dans le premier cas ; chacun de ces tnrps a au moins trois plans de symétrie passant par le centre de la sphère circonscrite , et la sphère en a une infinité qui tous passent par son centre ; en sorte que ;

g4 MÉCAMQUF..

I. Im ventru de (jrnrité d’un corps spUérùjue est le même que le centre de fujure de la sphère.

I. es venins de gracttè du tétraèdre réyu/ior , du cube, de i'octaèdn , du dudecaèdn td de l’ icosaèdre réguliers , sont placés aux centres des sphères ci/'conscrites à ces polgèdres.

II. Le vetitre de gravité d'un parallélipipède rectangle se trouve à V intersection des trois plans menés par les milieux des trois antes d’un même angle trièdn , perpendiculairement à ces arêtes :

Gir ces pLnns sont ohaciui un des plans de symétrie du parallélipipède.

Il est d’ailleurs aisé de voir que ce point d’intersection se trou \e placé à la rencontre des trois diagonales «lu j>arallélipi[)ède , ce qui l’ournit im autre énoncé du théorème précédent.

III. ün verra facilement de même que le centre de gravité de tout prisme droit , dont la base est un polygone régulier , est placé sur la ligsw qui joint les centres des cercles citxonscriies aux deux bases , et sur le plan de symétrie mené perpendi~ culairement à une des arêtes du prisme par le milieu du cette arête : ce t/iti équivaut à dire qu il est au milieu de la droite qui Joint les centres.

Il est bon d’observer que tout prisme droit régidier est inscriptible dans une sphère , et que la droite «pii joint les centres des cercles circonscrits aux Ijases , ainsi «jue le plan de symétrie dont nous avons parlé j)assent par le centre de et>He sphère ; donc :

TROISIÈME leçon. qS

IV. Tout prisme droit régulier inscrit darts une sphère a so?i centre de gravité au centre de la sphère , tliéorèiue qui s’applique évidemment au |jarallélipipède rectangle.

11 est facile «le voir que le cylindre droit à bases circulaires rentre dans le cas des prismes droits réguliers , puisqu’un cercle n’est autre chose qu’un polygone d’une infinité de côtés. Ainsi il a aussi jiour centre de gravité^ le centre de la sphère qui peut lui être circonscrite.

i6. Parmi les solides qui ont deiLX. plans de symétrie , on en trouve plusieurs qui sont d’un grand u.sage dans les arts ; tels sont les corps hémisphériques ou les demi houles , les cônes droits , et les pyramides droites. Tous ces corps ont deux plans de sjmélrie au moins passant tous par une droile pcrjx'ndiculaire à la hase du cône ou du cylindre , ou au grand cercle de la demi sphèie , et rpii coupe cette hase ou ce grand cercle dans son centre de gravité. 11 ne reste plus alors qu’à chercher sur cette droite la position du centre de gravité du corps ; c’est ce que nous verrons ailleurs : mais le problème est déjà deveiju beaucoup plus sinqile.

Mais il y a une classe entière de corps (pii s’y trouvent compris , ce sont les corps de révolution ; les corps do révolution , comme vous le sa^•cz , peuvent être considérés comme engendrés par le mouvement d’mie figure arbitraire Iracc'e sur un

9^ .tlh.UA\(Ql^fî. •

])Ian qii’on assujettit à se niomoir autour cj’uiie droite fixe. I.«'i |>ortioii d’espace que celte figme occupe dans ses positions successives autour de la droite forme le corps. Un jeu dont s’amusent les enfans peint assez bien cette génération : si vous prenez une large pièce de monnaie, et qu’après l’avoir mise dans un j)lan vertical en l’appuvant sur une table bien unie et en la .soutenant avec un doigt , vous lui donnez avec l'autre main , au moyen d’un choc sur un de ses bords un mouvement rapide de rotation, ( pl. a fig. i5) ce mouvement s’effectue autour d’un axe vertical, et s’il est très-vif, bientôt, au lieu de la pièce de monnaie plate , vous ajvercevez une véritable sphère qui se meut avec des vites.ses et des directions V ariables sur la talvle : cette sphère , si elle était autre chose qu’une illusion d’optique, serait le véi’itable corps de révolution, engendré par le limbe circulaire de la pièce de monnaie.

Tous les corps façonnés sur le tour , les parties principales des vases , des lampes de suspension , des balustrades; une foule d’objets employés dans le^ machines sont des corps de révolution. Ils ont tous évidemment une infinité de plans de svmétrie, qui passent par l’axe de révolution , ou en d’autres termes , cpii sont les diverses positions du plan générateur. Il r ésulte delà , que leur centre de gravité est sur cet axe.

11 est bien clair qrre quand même ces corps de

THOISIÈiMK tE^’OS. g"J

révolution ne seraient pas pleins , si leur vide représente une surfaee de révolution ayant le nièiiie axe de rotation que la première, le centre de gravité se trouv'cra toujours sur cet axe.

C’est pour cela que les appareils destinés à .suspendre les corps de révolution , sont toujours disposés de manière à ce que le point d’appui soit sur le prolongement de l’axe de rotation. En effet , dans ce mode de suspension , l’action de la pesanteur place d’clle-même , pour produire l’équilibre , l’axe verticalement et par conséquent le corps dans une pf)sition symétrique par rapport à la verticale , ce qui est surtout utile quanti ce corjxs doit contenir un liquide qu’il importe fie ne pas laisser t'cliapper. Tel est le motle de suspension des lampes a.strales , des liLstres de tlié"àlres , des cloches, des alcarasaz.

Il y a des corps qui sont des combinaisons de figures de révolution et d’autres qui ont plus d’un plan de symétrie, et qu’on di.spose de manière à ce que tous les plans de symétrie jwis-sent pourtant par une même droite ; dans ce cas la droite commune contient visiblement le centre de gravité de l’ensemble. Telles sont quehptes lanternes , qui présentent l’assemblage d’une pyramide tronquée droite et de plusieurs corps de révolution qui la recouvrent ; telles sont encore les roues des voitures , qui , indépendamment du moyeu et du cercle formé par les jantes , ont encore une série de rayons , dont

y8 MECAÎÜQUE.

reiiseiiible est symétiiijiie jxir rajiporl à laAe de l’essieu qui , dans sa piirtie en contact avec le moyeu , est lui-même une surface de révolution du genre des cônes à base circulaire. Il résulte de cette disi»sition que la roue est toujours en équilibre autoui’ de l’essieu, et j>ar conséquent, son poids n’entre pour rien dans le mouvement horizontal de la voiture, et n’ajoute rien à l’effort «exigé du cheval. (®)

Il existe enfin des coiq» qui, sans être ni de révolution ni du genre des cônes ou des pyramides droites et régulières , ont encore deux plans de symétrie : telles sont , par exemple , les poires à jvoudre, et ces houleilles aplaties , oi-dinairement revetues d’osier ; tels sont en général tous les corps qui peuvent être confiés par des plans parallèles, de manière à présenter des sections semblables et

(*) Je ne crois pas avoir besoin d'observer que ce mouvement absolument horizontal ne se rencontre jamais sur nos routes , en sorte qu'il n'est possible de faire abstraction du poiils de la roue que jusqu'à certaine limite : c'est ce que nous verrons d'ailleurs plus tard : le cas dont nous parlons existe cependant réellement dans les chemins de fer bien construits : lorsque nous traiterons des dépenses de forces, nous examinerons avec soin la dépense inutile, occasionnée par les autres routes, non seulement par rapport au poids des roues, mais à celui de l'attirail ^entier d'un charriot ; de pareilles recherches sont ce qu'il y a de meilleur pour montrer les avantages de certaines constructions.

TROISIÈME LEÇON. f)9

jouissant de la propriété d’avoir deux axes de symétrie, dont les intersections se trouvent sur une niéi3e droite perpendiculaire au plan des sections, comme ces ellipsoïdes aplatis qui servent de boîtes à tabac pour les fumeurs ; les plats et les soupières elliptiques; les cbapes des poulies de marine, et un grand nombre d’objets dont nous faisons tous les jours usage.

Dans tous ces cas la recliei-cbe du centre de gravité se réduit à la détermination d’un point sur ime ligne donnée , ce qui diminue beaucoup la difficulté ; et la connaissance de la droite sur laquelle doit se trouver le centre de gravité suffit seule dans un grand nombre de circonstances.

16. Les corps qui n’ont qu’un seul plan de symétrie , comme les vaisseaux , les barques , les cliarriots , les brouettes , sont soumis à des o|)érations plus compliquées pour la détermination de leurs centres de gravité. Nous ne les examinerons pas en particidier , parce que celte reclierclie , quoique accidentellement plus simple que celle des corps irréguliers , rentre pourtant dans les mêmes principes.