Q NS

C'esl-à-dire que, ]X)ur qu’il y ait équilibre entre les jxùds P et Q , il faut qu’ils soient projxirtiounels, chacun à la longueur de la portion du plan incliné sur lequel il se trouve comprise entre l’arête coninmne aii.v deu.x plans et un plan horizontal donné.

Si l’on supjwse un des plans inclinés Aerticaux, alors on retrouve le théorème déjà connu : car dans ce cas, la longueur du plan vertical devient la hauteur de l'autre plan et le jioids du corp rpii glLsse le long de ce plan est la véritable expression de la force tangentielle destinée à soutenir l’autre corps.

On trouve donc, comme nous le savons déjà, que la force nécessaire pour retenir sur un plan incliné un corps psant en le tirant ])arallèlemcnl au plan , doit être égale au poids de ce torj)s , mullijilié p;ir le raj)i)ort de la hauteur tiu jtlan incliné à sa longueur.

^.îc ne puis (pic conseiller à ceux <pn s’occu|H;nt

de mécanique de faire souvent des applications de la méthode que je viens d’employer aux cliirérenles questions de statique qui ]x)urront se présenter : indépendamment de la facilité qui en résulte pour tous les cas, il en est plusieurs qui demanderaient, pour être démontrés par >uie autre méthode, des élémeus de calcul auxquels il est bon de recourir le moins possible. Ceci a 'd’ailleurs l’avantage delà clarté , et se lie à un autre principe trèsimportant que nous oonnaîlrons plus tard.

ï8. Sur t'équilibre d’un corjts placé »ur un plan ou bien sur une surface et sollicité par des fotvet quelconques , mais en aqant ègprd au frottement.

Nous avons vu que jx)ur qu’un corps fût en équilibre sur une surface en vertu de l’action d’un certain nombre de forces quelconques , il fallait que toutes ces forces fussent su,sceptibles d’une ré*sulfante unique normale à la surfac-e et passant par le jwint de contact du coiqvs et de la surface. En suivant exactement la marche que nous avons employée pour arriver a ce résultat, on tiouvera .'listimcnt’ la modification qu’on doit y apporter pour le rendre applicable au cas où il y aurait du^frollement entre les deux surfaces. • •

Soit d’abord f le rapport entre la pression et le frottement jiour ces deux surfaces et soient P, P', P" , P'".... les différentes forces qui agissent sur le

. • Ql’ATIUtMr Lt^ox. l4g

système , on pourra , comme nous le savons, remplacer toutes ces forces .par un groupe de forces jiarallcles au plan tangent aux deux surlaces et par un second groufxi <le forces {wssant par ce point de contact et susceptibles d’avoir luie résultante imique R. Le pieniier groupe ne protluira évidemment pas de frottement , puLscjuil ne protluit pas de pression : iwiir estimer celui produit par la force R, soit A l’angle ll)rmé |)ar la direction de R et la normale aux deux surlaccs au point de contact ; la force R se décomposera en deux autres , l’une dirigée suivant la normale et égale à K. Cos A , l’autre située dans le plan tangent et égale à R. sin A. Celle-ci ne produit pas de flottement, mais l’autre en produit un égal à

f. R. Cos A

Tant que ce frottement sera plus grand que la force R. sin A, la force R aura tout son effet détruit, puisque sa composante normale au point de contact R. Cos A sera détmite pai’ la résistance de la surface de contact et (pie* sa comjxisaiite parallèle à cette surliicesera plus faibleque le frottement : il ne restera donc plus tpie le groupe dp forces parallèles au plan tangent au point de contact, et en raisonnant exactem«it comme nous l’avons fait ( jxtges 1 1 4 et 1 1 5 ) on verra que ce groupe doit être eu écpiilibre de luimême : ce qui Veut dire que le système entier doit se réduire à la force uniipie R'. Seulement au lieu d’être nécessairement normale à la surface, i^

i5o :>iki..\mqj;k.

suflit quelle fasse avec celle norraale un angle A

tel que l’on ait *

f. R. Gos A > R. sin A ou . f. > lang A

ce qui veut dire en d’autres termes :

Un corps sollicité par des foixes qui le pressent contre une surfitce imnwbile , sera en équilibre quand ces forces se réduiront à une force unique , passant par le point d’appui du corps et formant dans cet endroit avec la normale à cette surface un angle tel que sa tangente trigonométrique soit moindre que le rapport du frottement à la pression pour les deux swfaces qu’on considère.

Ce qui résulte delà , c’est que quand on introduit la condition du frottement, au lieu d’une seule position d’é([uilibre entre plusieurs forces il y en a une infinité ; on voit dans le cas que nous traitons (pi’il suflit que la résultante passe dans l’intérieiu" d’un cône droit ayant [xjur axe la normale dont nous avons jwrié et pour angle Ai centre le double de l’angle dont la tangente est ^ale à f , ce qui, indépendamment de son utilité, est en soi-même im intéressant théorème. Il est si facile de démontrer que si la résultante tombe hors de ce cône , l’équilibre serait détruit, que je ne crois |ias devoir m’y arrêter.

QUATRIÈME LEÇOI». I 5 I

, De Vadhérenee.

’ Comme on pourrait s’e'tonncr de ce que nous n’avons pas parlé de l’adhéreticc dans le cours de cette leçon, nous dirons ici quelques mots de cette force dont les effets se compliquent ordinairenient avec ceux du frottement , et les inodiilent quelquefois d’une manière remarquable.

Nous avons parlé de la force qui attire les unes vers les autres les molécules de la matière, et nous avons vu que cette force agissait en raison inverse du carré de la distance ; bien que cette loi fasse assez rapidement décroître l’action de l’abstration , cependant elle reste encore sensible dans certains cas à des distances fixes , surtout lorsqu’on peut mettre en présence un grand nombre de molécules C’est lè l’origine du phénomène de l’adhérence et de beaucoup d’autres qui peuvent se rapportera lui, comme, par exemple, l’affinité capillaire à laquelle on doit l’absorption’ de l’eau par le sucre et les éponges.

On rend le phénomène de l’adhérence sensible en plaçant l’une sur Vautre deux surfaces planes ou sphériques, mais qui se touchent dans le plus grand nombre de pointe po.ssiblc ; on les lai.ssc quelque tems en contact en les pre,ssant l’une contre l'autre et alors si on veut les séparer on éprouve une résistance qui est quelquefois très-considérable et qui augmente avec la durée du contact. Un corps liquide interposé' produit une résistance plus forte encore, probablement en augmentant le nombre de points où l’affinité se fait sentir.

Il y a, du reste, quelque chose qui au premier coupd’oeil paraît* étrange dans ce phénomène , c’est que le mouvement de séparation dans le sens normal aux surfaces peut être quelquefois très-grand, tandis qu’une très-petite force peut les séparer enles fai.sant glisser l’une sur l’autre. Cependant cela est très-simple à concevoir.

En effet (fig. 9), considérons les deux surfaces en contact MM”M’ et min”m' et sur l'une de ces deux surfaces les molécules ni, ni et m" , dont les deux premières sont situées aux limites de la surface , et la troisième est placée arbitrairpincnt- Il est facile de voir que si l’on veut séparer les deux surfaces en les écartant ruiic de l'autre, il faudra vaincre l’attraction des trois

MHCAiMQl K.

molécules m, m' et m” pour les positions avoisinantes de la surface a|)posi'e : en sorh^ cpie la résistance sera proportionnelle au nombre îles points de contact, ou pour mieux dire, au nombre des points pour lesquels rallraclion à distance est sensible.

Si au contraire on voulait faire glisser les surfaces ruiie sur l’antre, en voit que la inolecule /«” c'tunt sollicitée de la même manière à droite et à gauclic ii’opposcra aucune re'sistance au inouvcinent. Eu sorte qu'il n’y aura que les mole'cules extrêmes//! et.///' qui poniTonl entrer pour quelque chose dans la résistance au glissement. Or, il est facile de voir que celle re'sistance peut être coiiside'rée comme h peu près nulle à cati.se du petit nombre de mole'cules qui agissent alors.

Cepemlaut il y a une re'sistance sensible quoique faible, . mais elle est duc au frottement.

Soit en effet F la force d’adhcrcucc , le rapport du frottement h la pi cssion pour la surface dont il s’agit , on aura ifvidcmment h vaincre pour les faire glisser rime sur l’antre la force f. F en outre de la force d’adliêrcnee des molécules placées sur la limite des surfaces en contact. C’est cette force f. F, qui forme en grande partie la petite w'sistance au gli.ssement.

Il est assez remarquable que les deux quantités f et F varient en sens inverse l’une de l’antre. En effet, lorsque le poli des surfaces augmente , y diminue , mais F qui est la cobe'sion , augmente. La meme chose a lieu lorsqu’on enduit les surfaces ; en sorte que le produit f. F varie ))cii. Cependant on sent combien il est important d'avoir egard h ce que nous vcflons de dire quand on veut e'valuer avec précision la quantité /"pour des surfaces et des enduits donnes. C’est ce qui m’a engage' à reprendre les e:^pe'ricnees de Coulomb sur le frottement pour les surfaces polies : mais mon travail n’étant pas encore terminé, j’ai cru devoir donner ici un extrait de celui de ce savlint célèbre ; d’autant plus que l’adhérence entre pour peu de chose dans la plupart des organes mécaniques.

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CINQUIÊIME LEÇON.

Du coin : théorème fondamental eur V équilibre de trait force* dant P espace. Application à l’équilibre du coin. Usage du coin : ds l’équilibre du coin eu égard au frottement : applicatiotu de ce cas.

I. Le coin n'est antre cliose qu’un prisme triangulaire ABCDEF , planche VI fig. i , avant pour base un triangle isoscèle allongé ABE. On appelle tète du coin la face rectangulaire ABCD , correspondant au petit côté AB du triangle isoscèle ; faces du coin les deux autres faces rectangulaires du prisme; tranchant du coin l’arrête du prisme opposé à la tête.

Il y a encore quelquefois une autre forme pour le coin ( fig. 2 ) ; il est alors fait en façon de pyramide allongré dont l’ime des faces , la plus petite, est un polygone équilatéral, et dont les autres sont des ti iangles isoscèles ; ce polygone équilatéral est alors la tète du coin , et le sommet de la pyramide opposé à ce jwlygone en est la pointe.

Lorsqu’on veut se servir du coin , on en ajipuye

1 5 I MKT.ANIQL’E.

It‘ Irandianl ou la pointe Sur le corps clans lecjuel on A eut le faire' pénétrer , puis , à l’aide d’une force; c|uelronque, on en presse la tète contre ce corps, alors le coin entre avec plus ou moins de facilité , selon sa forme et la résistance qu’il éprouve. Nous allons déterminer les rapports qui existent entre ces résistances et la pression.

2. Pour cela supposons (fig. 3 ) cpie le coin ABC ait pénétré dans un corps solide en vertu d’ime action de pression R exercée sur .sa tête en AB : il éprouvera en D et E, de la part des surfaces qu’il a écartées, des résistanex» que nous pouvons supposer, inclinées d’une manière cjuelconque par rapport aux surfaces de œntact. Ainsi on poiu’ra considérer le coin comme un système libre (“) soumis à l’action de trois forces P , Q , R , les deux premières étant

(®) Voyez la 4'- leçon. (Parag. i et 2 ) ; puisque les re'sistances naissent de l'action de* surfaces résistantes , on peut concevoir des forces qui détruiraient ces réïistances , en sorte qu'au lieu de la surface qui produit la résistance P par exemple , on peut supposer d'abord la surface , puis deux forces égales à son action , l’une P et l’autre — P qui se détruisent, et cela ne change rien h l'état du système. Mais d’autre part l’action de la surface étant équivalente à P , détruit la force — P en sorte que tout est comme s’il n’y avait ni la force — P ni la surface , mais seulement la force P.

Notez du reste que cette abstraction de la surface résistante ne peut se faire qu’en supposant l’équilibre. S’il y avait possibilité de mouvement, il faudrait bien s’en garder.