CI.NQUIÊMi; LE^OX. lT

les résistances laléiulcs, l'aiilrc la {iression sur la tète (lu coin.

Il est d’abord utile d’observer (jue malgré (jue nous ayons dit que les pressions P , Q et R pouvaient avoir d(is directions arbitraires par rapjx>rt aux faces et à la tète du coin , ces pressions pouvant (Hre décomposées chacune en deux autres, l’une parallèle et l’autre normale à la face, on ne doit tenir compte que de ces dernières ; les autres n’exerceront aucune action sur le coin, puisqu’elles ne tendent <pi’à glisser sur les faces ; ainsi la irpiestion se réduit simplement à chercher l’é(juilibre eiilie trois forces normales aux faces du coin. C’est ce dont nous allons nous <x:cuper.

3. Une première condition est évidemment que ces trois forces jKissenl par un même point et soient comprises dans un même plan : vous concevez en effet que ré(juilibre ne saurait avoir lieu entre trois forces qui n’bnt pas un point de concours et qut; leur effet serait infailliblement de faire tourner le système dans un sens ou dans l’autie. Au r(?slc c’est ce qu’il est facile de démontrer, et c’est que nous allons faire généralement , vu <jue nous ain ons plusieurs fois liesoin de ce principe. En effet si le corps ou le système est en équiKbre en vertu de trois forces P,Q, R, il doit l’ètre encx)re en rendant deux de scs points fixes , et cela (juebjues soient ces points. Supjwsons donc qu’on ait rendu lixe.s deux d(» j)oints du système ci-dessus, et coniiiie

nous sommes maîlres de ehuisir , preuons l'im sur la direction de la force P , l’autre sur celle de la forc-e Q. Alors le corps sera seulement ILbi-e de tourner autour de la droite qui passe par les deu:i^ jx)ints fixes, comme autour d’un pivot.

Or, dans celle ]iy|X)llièse, les forces P et Q n’entrent pour rien dans l’é<juillLre puisfju’clles sont naturellement détruites par l’immobilité des points qu’on a rendu fixes sur leur dirc*ction. Ainsi il n’y aura plus à considérer que la force R.

Mais celle-ci ne jwuri a jamais produire l’équilibre à moins de passer par le pivot dont nous a%ons parlé, car ou voit très-bien qu’autremeiit elle ne pourra produire d’autre elfet que de faire tourner le eorps autour de ce pivot. Ainsi donc jx)ur que l’équilibre ait Heu , il laut que la direction de la force R pjisse par toute droite quelconque, menée pir deux jxîiuts arbitrairement choisis, sur les directions des forces P et Q.

Cela posé, prenons sur la direction de la force P un point a fixe, et sur celle de Q un poûit b mobile , la droite ab sera mobile , et décrira uu plan (jui eontiendi-a la direction de la Ibrce Q toute entière \ or d’aprw ce que nous venons de dire, celte droite devra toujours pa.sser jrar la direction de la force R , donc la force R doit être toute entière dans le plan décrit par cette droite, donc enfin la Ibree R et la force O doivent être <lans lui na'nne ])Iau.

aNQUIÈME LEÇON.

Si maiutenaiit nous concevons des lignes arbitraires tracées dans ce plan, il sera facile de démontrer, comme nous l’avons fait tout à l’heure (]ue ces droites devront toutes passer j)ar la direction de la force P, et qu’ainsi la force P doit se trouver dans le plan engendré par ces diverses lignes; donc la force P doit se trouver aussi tout entière dans le plan des forces R et Q.

Il résulte delà que pour que tiois forces soient en équüiLre autour d’un système libre , il faut qu’elles soient comprises dans un même jilau : c’est ce que nous venons de dire tout à l’heure. Voyons maintenant poür ce qui concerne leur concours.

Supposons (ju'on ait rendu fi.\e un jxiint de la diraction de la force R ; il est visible que pour «ju’il y ait tfiuililne , il laudra que la résultante des forces P et Q jwsse par ce point ; c’est ce qui se démontre coimne nous l’avons fait toi4t à l’heure : ce point éUint (pielconque, et la condition restant la même , on voit donc facilement que la résidtante des deux forces P et Q , doit passer par tous les jx)ints de la l'orce R , ce qui ne se peut , à moins que cette résultante ne se confonde avec la direction de R. .Vinsi R doit être opposée directement et égale à la résultante des forces P et Q , ce qui exige entre autres conditions qu’elle passe j«r le point de concoius des deux forces P et Q.

Avant que de jwsser à l’application de ceci à réquililjic du coin, pcrmcttez-moi de vous faire

l58 MÉCAMQCE.

observer que la marche (|iie nous venons de suivre jÆut être employée avec succès pour la démonstration de la plupart des théorèmes de slatitjue ; je crois du reste qu’elle n’a dii laisser aucun nuage dans votre conviction. Il est facile en effet de concevoir qu’on ait rendu fixe tel ou tel point d’un système en étjuilibre sans déranger cet équilibre, et sans changer le rapport des forces ejui le produisent. Tel est , par e.xemple , le cas crû un corps serait en équilibre en vertu de la pesanteur et du frottement sur un plan incliné ; vous sentez que vous pourriez enfoncer un clou dans le corps et le plan , sans déranger l’équilibre et sans changer les relations entre le poids du corps et le frottement ; tel est encore le cas où vous fixeriez, au moyen d’une fourchette , les bras d’une Ldance chaigée de poids égaux , vous ne changeriez rien aux relations des forces qui avaient mis le système entier en équilibre ; tout cela n'offrant pas de difficulté , je reviens à notre thewerne principal.

4- Puisque les trois forces P, Q et R sont renfermées dans un même plan , construisons l’intersection de cc plan avec le prisme , nous aurons ( fig. 4 ) ti iangle isoscèle ABC , semblable à la hase du prisme , et les trois forces P , Q , R , y seront figurées jjar trois droites OP , OQ , OR , perpendiculaires aux côtés de ce triangle et concourant en un même point O. D’une autre part, les lignes AB , AC et BC seront proportionnelles aux faces respectives du coin.

CINQUIÈME LEÇON. 1 5g

Or nous verrons plus tard que lorsque trois forces sont perpendiculaires aux côtés d’un triangle, pour qu’elles soient en équilibre il faut que chacune d’elles soit directement proportionnelle à la longueur du côté qui lui est perpendiculaire. Nous aurons donc entre nos trois forces la relation

P : Q : R ; : AC : BG ; ab.

C’est-à-dire que chaque force sefa représentée par la superficie de la face du coin à laquelle elle est normale; car nous venons de voir que nos lignes AC, BC et AB représentent chacune une de ces superficies.

5. Une première conséquence qui résulte de là, c’est que les forces P et Q sont égales. Ainsi les forces qu’on doit opposer pour empêcher le coin d’ohéir à l’impulsion R ou , en d’autres termes, l’action e.\ercée latéralement par les faces d’un coin isoscèle en vertu de la pression exercée sur sa tète , sont ^ales entre elles.

La seconde c’est que si la force R est représentée par la tète du coin , (*) les autres le sont par les faces , en sorte qu’en rendant le côté AB très-petit , on peut exercer , au moyen d’une petite force , deux actions latérales très-considérahles et séparer , par

(*) En d’autres termes, on a, C étant l’angle ÂCB,

P ou Q = R