BD

(AH4-AH')AB=2AB —3^- ad X BD=3(AB*— BD )=aAD*. .

et {jar conséquent nous donne

ah + Air = ^ = -AD.4I

Mais si vous vous rappelez que l’on a aAD = — AB.

Vous verrez facilement que cela se réduit à

Ail 4- A'ir = — . Al).

C’est-à-dire, que si P on projette le chemin parcouru par le point d’application de la force P, sur la direction de cette force, la quantité dont ce mouoement aura permis au cordon de s’allonger en dehors des points E F, sera égale à cette projection multipliée par la force P et divisée par la tension du cordon.

Il est à observer que si le chemin paisx)uru par

le point A , au lieu d’ètre effectué dans le sens de

l’action de la résultante des tensions du cordon

EAF, l’avait été dans un sens contraire, le cordon

se serait raccourci en dedans des points E et F,

en sorte que son allon}»ement aurait été négatif :

poiur obtenir ce résultat , il faudrait donc admettre

que — X AD fût négatif , ce qui exige que AD t

soit alors négatif : ainsi quand la jirojection de l’espace jiarcouru sur la force sera mesuré dans le sens opposé à la direction d’action de la force, il faudra considérer cette projection comme affectée du signe — , qui indique qu’elle devra être retranchée, ainsi que tous ses multiples, des quantités avec lesquelles elle devrait s’ajouter dans l’iiypolhèse contraire.

Tout cela posé, voyons quel sera l’allongement total du cordon , ou en d’autres termes quelle sera

aiG MKCAMQt’E.

la quantité dont la l'orce i aura avancé dans le sens de son action , par suite du mouvement liypothélique dont nous avons ]v\rlé : pour cela désignons comme tantôt par P, P', P".... etc. les résultantes de la tension du cordon aux divers }H)ints du système, par p , , p” , Les projec-

tions sur ces forces des espaces parcourus par leurs }K)ints d’application dans le petit mouvement imprimé , il est V isiLle que rallongement total du cordon du côté du jwint d’application de la force qui produit la tension t, sera la somme de tous les allongemens jwrticls , obtenus dans ce mouveament

ou P.p + P'./ +P''.p"

en ayant soin de prendre comme positives celles des quantités p , p' , p" .... qui seront mesurées

dans le sens de l’action des forces P, P, P" et

de prendre les autres comme négatives.

D’après cela il est clair que si la somme des quantités Vp, P'p,.... [est nulle ou négative le mouvement n’aura pu être le résultat de l’action du cordon et par conséquent non plus de celle des forces qu’il représente, car comme nous l’avons dit ( 3 ) il serait absurde d’imaginer que la force qui produit la tension du cordon , en tirant un de aes points pût faire marcher ce point en sens contraire de son action , ou le laisser immobile ; le moua ement dont nous avons parlé est donc impossible sans admettre des forces propres et inhércntes au

Diqiü d by GoOglc

système , ce qui ii'eiilre jws dans notre hypollièse.

Or , si tous les mouvemens que l’on peut imaginer avoir lieu dans le système produisent le mènie lèsultat, c’est-à-ilire, s’ils rendent nulle ou négative la quantité V.p -j- -p 4" 1^’^ p” ...... , il

iàudra paiement reconnaître qu’ils ne peuvent

avoir lieu eu vertu des tbrces P, P', P" Ainsi

le corps ne ]X)urra se muu\ oir d’aucune manière , et il sera en équilibre.

Donc : pour savoir si lui corps ou un système . de corps est en équilibre en vertu de l’action d’uu nombre quelconque de forces agissant sur quelques-uns de ses points, faites prendre à ce corps tous les mouvemens infiniment petits ipii conviennent à sa constitution , projetez sur les forces les esjiaces parcourus par leurs points d’application , en prenant comme positives celles de ces projections prises dans le sens des forces , et les autres comme négatives ; multipliez chaque force jiar la projection L'urrespondaute , donnez à ce produit le même signe qu’à la projection, et si la sonune de ces produits est nulle on négative pour toutes les hypothèses de mouvement , l’équUibre aura lieu.

Il est visible que l’érpiilibre au contraire n’àura |>as lieu si pour un seul de ces mouvemens la quantité Vp -|- Vp' -f V'p" }ieut être positive , et s’il y en a plusieurs dans ce cas , on sent que le mouvement que prendi-a le coips correspondra à

2a8 MÉCANIQUE.

celui des changenieiis d’état qui donnera la plus

grande valeur jx)ssible à "H ^ "p”

Ce principe que nous venons de développer , est connu sous le nom de princijie de vitesses virtuelles : sa découverte est due à Galilée , l’un de ces hommes illustres, nés pour éclairer le monde et pour servir de victime au fanastime et à l’ignorance. II fut d’abord vu |>ar lui sous nn autre jour , puis dévelop|)é par ses successeurs et enfin pir Lagrange qui le donna sons la forme et presqn’avec la même démonstration que je viens de vous làire connaître.

I^es esjiaces P , p' , p" sont nommes vitesses

virtuelles , jjarce rpi’elles sont censées représenter l’effet obtenu par chaque force , en vertu de son action combinée avec celle du système en général.

Ce principe vous paraîtra sans doute au premier as}>ect bien obscur et compliqué , et ce qui semble surtout difficile , c’est de trouver le moyen de le mettre en pratique.

Du reste , il vous est facile de sentir que la nature du système n’altère en rien sa généralité ; aussi est-il propre à trouver l’équilibre des corps solides comme des corps liquides ^ des points isolés comme des svsléines les j>lus compliqués de solides réagissans les uns sur les autres ; et c’est cette généralité qui en fait un moyen si précieux de solution des problèmes mécanif[nes et surtout le rend si propre à traiter de l’équilibre des machines

SEPTIÈME lÆÇOK. . 3 3J)

pour lesquelles il fournit les procédés les plus simples et les plus courts pour év aluer les relations entre les forces qui tendent à faire mouvoir ces machines ou les tenir en repos pr leur destruction réciproque.

Quant à l’application , il ne faut pas la croire en général fort mal-aisée : pour les corps solides surtout elle se réduit à mi ptit nombre de formules ou de raisonnemens fort simples , et qu’un peu d’habitude fait aisément trouver en cas de besoin.

Pour vous familiariser avec ces ajjplications , je vais ici vous donner quelques exemples :

6. (liierchons l’équilibre de trois forces P, Q, H appliquées sur. un pinl matériel uniipie M, et einplovou5 pour cela le principe ci-dessus. (Planchet)

lig. I.)

Supjiosons que le point M ait pris un petit mouvement , et soit* venu se placer en M' : abaissons du ptiiiit M' des perpndiculaires sur les droites MP, MQ, et MR, puis pr le jxnnt M, menons la droite AB prpndiculaii-e aussi à MR , nous aurons un triangle ABM' dont les trois côtés seront prpndiculaii-es à trois ilroites fixes, et |jar consi';- «pient qui sera .semblable à tout autre triangle ahc qui jouirait de la même propriété.

Maintenant observons que les droites MP' , MQ' , MU' sont les projections du mouvement décrit MM' siir les forces P, Q , R : en sorte que si on désigne \Mv P , q et r, les vitesses virtuelles du point M

33o mécahique.

par rapport aux forces P, Q , R, on aura p = MP', y = MQ' et r= —

Or, pour que l’équilibre ait lieu entre les trois forces P, Q , R , il faut, d’après ce que nous venons de dire , que l’on ait pour toutes les positions possibles qu’on voudrait donner au point M V.p Q.y + R.r = o ce qui revient à écrire

P X MP' + Q X MQ' — R X MR' = o à cause de MP' =p , MQ'= y , et MR' = r.

Maintenant si l’on considère les trois triangles AMM', BMM' et ABM', et si l’on observe (jue MP' est la hauteur du premier , MQ' celle du second et MR' celle du troisième , on aura pour les surfaces de ces trois triangles les expressions suivantes : ^

ABM' = -i-. AB X MR'