AMM' =4- AM, X MF

BMM' = -^. BM' X MQ'.

D’une autre part il est visible que la somme des deux triangles AMM' et BMM' est égale à la superficie du triangle ABM' , ainsi l’on a :

ABM' = A^LM, + B.MM'

et j>ar txmséijuent

AB X MR' = AM' X MP' + BM' x MQ'. ( i ).

SEPTIÈME LEÇON. s3 1

Or , nous avons vu tout à l’heure que l’on avait P X MF + Q X MQ' — R X MR' = O , cela revient évidemment à

R X MR' = P X MP' + Q X MQ'. (2.) et divisant les deux membres de l’équation (i) par AB, et l’autre (2) pr R , on obtiendra à la place de ces deux écpiations , les deux suivantes ;

MR'=^^xMR'-f^^xMQ'.

et MR' = -^ X MF 4- X MQ'.

Les deux premiers membres de cette équation

étant les mêmes , les deux seconds membres doivent

être égaux , ainsi l’on doit avoir

AM' RM' P n

— XMF+ xMQ'= -+MP' + >- X MQ'

Cette dernière équation équivaut à celle-ci :

Or , en vertu de la similitude des triangles ABM' et abc , on a :

AM' ic BM' ac.

AB =.-* (5) ÂB = <«■

Eu mettant ces valeurs dans l’équation prétédcnle , on trouve à sa place

Dans cette condition il n’y a plus d’arbitraires que MQ' et MP' , puisque le triangle abc est invariable ; mais en revanche MP' et MQ' peuvent prendre une inflnilé de valeurs , {lar les variations du point M', et pour toutes l’équation doit être satisfaite.

Or , il est facile de voir que l’on peut prendre parmi ces variations de M' une infinité de positions |X)ur lesrpelles P'M , par exemple, soit nul, sans ipie pour cela MQ' le soit ; tlans ce cas il fiuulia donc que l’on ait

ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant ac Q

<in démontrerait de même que l’on doit avoir

iî. L

ab R.

Ainsi pour le cas jjarticiiliér que nous examinons , voilà deux é*quations qui doivent être né-* cessairement résolues : voyons si elles satisfont à l’équation de contlition (a).

Pour cela rappelons-nous les équations (3) et (4), elles nous donneront

P AM' Q RM'

R ÂB" R ÂÜT

il’où l'on lire

SF.PTIKMK f.EÇON.