AB AB

Puis divisant par R et multipliant par AB il vient

AB X MR' = AM' X BM' X MQ'

Equation qui n’est autre chose que l’équation (i) laquelle est vraie puiscjue elle dérive d’une considération de géométrie indépendante de la mécanique. Ainsi donc les rapjx)rts obtenus jwur

et — satisfont à l’équation de condition et

donnent l’équilibre.

Si nous voulons exprimer le tliéoréme indiqué par ces rapjjorts , observons qu’oTi en tire

-IL A et ^ -

hc ah ne ah.

ou

hc

ha

Ce qui veut dire que chaque force doit être

a34 MÉCANIQUE.

proportionnelle à celui des côtés du triangle ahe auquel elle est perpendiculaire.

Ainsi : pour que trois fotxes soient en équilibre autour d’un point , il faut qu’en construisant un triangle dont les ttvis côtés soient peipendiculaires aux trois forces , chacun de ces côtés représente la force à laquelle il est petpendiculaire.

n ne vous sera pas diflicile de trouver par la même méthode le théorème analc^ue, relatif à l’équilibre de quatre forces agissant dans l’esjwce sur un même jxiint : je me contenterai de vous énoncer ici ce théorème :

, Si quatre foixes sont données en direction , et qu’on mène quatre plans ixspectivement perpendiculaires à chacune d’ elles , on formera un tétraèdtx ; et pour que l’équilibre ait lieu entre ces quatre forces , il faudra que chacune d’elles soit représentée par celle des faces du iitraèire d laquelle elle est perpendiculaire.

Je n’ai pas cherché dans ce qui précède à établir l’équilibre en cherchant à rendre négative la somme P/» 4" Q? 4“ bi’; en effet il est facile de voir que si pour une position de IM' j’aA ais eu l’inégalité

P X MP' 4-Q X MQ' — R X MR' < O , en prenant sur le prolongement de MM' le point M" à la 'même distance de M que !\I' le piuduit Vp 4“ Q? 4" br serait devenu alors

P X MF' 4- Q X MQ"— R X MR" ou —P X MF — Q X MQ' 4- R X MR'

SEPTifeME LEÇON. 335

quaiililé qui serait alura évidemineDt positive; ainsi pour cette position l’équation de condition ne serait pas remplie et l’équilibi-e n’aurait pas lieu ; le cas que nous venons de traiter est donc un de ceux dans lestpiels on doit absolument étabbr la condition + Py + F'/'.... = O.

'J. Voici lui autre exemple dans lequel on peut employer la condition P.^ -j- V'.p' = o ou < o.

Soit ime force P , ( Planche 9 , fig. a ) poussant un poûit contre un plan BB' immobile et au travers ducpiel il ne peut passer : cherchons la grandeur et la direction qu'il faut donner à la force P pour qu’il y ait équilibre.

D’abord il est évident que la force doit •pousser dans le sens AM , c’est-à-<lire du dehors au dedans du plan, sans quoi elle entraînerait avec elle le j)oint M dans l’espace.

Supposons ensuite, pour nous conformer à ce que nous avons dit plus liant , que le point M prenne un petit mouvement , et menons par sa position primitive la di oile NN' perpendiciüaire à la force P.

11 est visible que ]X»ur toutes les positions M' que })Ourra prendre le ]X)int M dans l’angle NMB' , la projection p sera prise en sens contraire de P et ainsi on aura pour ces jxisitions. :

sur la droite MN on aura P . p = o.

Mais dans l’angle NMB , ce sera diiTéreut , et pour

aSG MKCANIQtJE.

toutes les ]X)sitions M" prises dans cet angle, oti voit (pie la projection p sera de niènie signe <pie P, et par cons(kpient on aura toujours

Ainsi tant (pie l’angle NMB existera , ré(iuilibre ne pourra avoir lieu; mais s’il est nul, alors jiour tous les points où l’on pourrait placer le jxiint M on aurait P.p' = o ou < o et i’tVpiilibre serait établi.

Or si l’angle NMB est nul , la droite PM est peqxüidiculaire au plan. Ainsi pour que l’équilibre ait lieu en \ertu de l’action d’une force qui presse un point matériel contre un plan, il faut que cette force soit perpendiculaire au plan ; quant à sa valeur elle est arbitraire, puisque la œudition V.p = O ou < O , sera remplie cjuelle que soit la v aleur de P.

Vous voyez donc (ju’avec un |)cu d’attention ou parv ient facilement à éluder ce grand nombi'e de conditions qu’on croirait au premiei- asjiect impossible à satisfaire ; du reste il me sulllt ici d’avoir démontré les moyens d’applicpier le princijKi et de vous avoir fait connaîtie le princijxi lui-mcnie : je n’insisterai pas davantage pour le monieut sur luie tlu;orie <pii , quoique simple en ell(?-mème , doit vous jvaraitre assez conqdiq née, et nous jxisserons de suite à une con.séqucuce simple cl Icconde (|u’oii ])cut en tirer et qui renferme l’étpûlibi'c

SEPTIÈME I.EÇON. 2 Î7

général de toutes les inacliiues qui sont soumises à deux forces (jui tendent t\ réagir l’une sur l’autre.

8. Une niacliine n’est autre chose qu’un corjjs ou système de c-orps , au moyen desquels deux ou plusieura forces se transmettent leur tendance d’action , de manière à ce que le mouvement du point d’application de l’une d’elles ne puisse se faire sans entraîner le mouvement des points d’application des autres forces , et cela dans des directions et des vitesses dépendantes de la nature du système , ou , en d’autres termes , de la disposition de la machine.

C’est ainsi, par exemple, qu’un plan incliné est une machine ; qu’une Ixilance , un levier , etc. sont des machines ; et en effet vous voyez dans ces appareils au moins deux forces qui réagissent l’une sur l’autre , et teiulent réciprwpiemeiit à entraîner ciiacune le point d’apjilication de l’autre suivant une direction ojiposée à l’action de celte dernière.

Prescjue toujours les machines sont destinées à transmettre l’action d’un moteur ipielconque à un système de points auxquels est attachée une ré.sislance, ou force qui s’oppose au mouvement qu’on voudrait imprimer à ce système : (piehpielbis aussi les machines servent seulement à coirserver l’cipiilihre , mais ce cas est moins Impicnt ; cejx;i.danl nous dev ons le traiter le premier , car il

a38 MÉCANIQUE.

nous aide à limiter . ensuite l’autre ; en voici la

raison :

Sup|)ose& ime force P qui agit au moyen d’une machine sur la force Q appliquée comme P en un piint quelcoii([ue de cette machine. Si l’équilibre a lieu , il n’y aura jjas de mouvement , et dans ce cas il existera entre P et Q une certaine relation ou rapport que nous indiquerons ainsi :

m étant une valeur qui dépend de la maclûne.

Supposons maintenant qu’à lu place de la force Q , on place une force plus grande , il est visible que l’équilibre sera rompu , et le mouvement aura lieu de luanière à faire marcher le jx>int d’application de la force Q dans le sens de cette force; si au contraiie, au. lieu de Q , nous mettons une force plus jietite , le mouvement aura encore lieu , mais en sens contraire de celui dont nous venons de parler. Il résulte de là que dans le premier cas le mouvement sera dû à la force Q , et dans le second à la force P.

Donc cetto dernièrv ne peut ptvdttii'e de moucement dam lu machine qti autant quelle agira nur une fo!X3 Q' plus petite que celle Q à laquelle ellu pourrait faire équilibre au moyen de la mach ine.

Et encore faut-il déduire de l’action effective de la force P toutes les jiertes d’intensité produites jwr les résistances inerU*s qu’elle doit vaincre et (jui sont en pure perte pour l’effet de la machme.

Digilized by Googlr

SEPTIÈME I.EÇON. ü3<)

Cette observation donne de suite la mesure de la résistance qu’on peut mettre en mouvement au moyen d’une machine quelconque , et , combinée avec le principe des vitesses virtuelles, nous donne le moyen d’arriver à un résultat de la plus haute importance dans la mécanique, et qui, trop ignoré des artistes mécaniciens et des hommes à projets , a fait naître une foule de recherches inutiles et ruineuses pour ceux qui les ont entreprises.

Pour le reconnaître, cherchons d’abord les conditions d’équilibie des forces P et Q au moyen de la machine :

La première eondition , c’est que le point d’application de la force P ne peut se mouvoir sans communiquer un mouvement au point d’application de la force Q. Sup|X)sons donc que le premier parcoure par un petit mouvement de la machine un espace j> , le second parcourra en nahne temps un espace y : pour que l’équilibre ait lieu, il faudra, d’après ce <pie nous connaissons, que l’on ait P-i» + Q- ? = O

Ce qui exige :

D’abord , que P .p et Q . y soient de signes contraires , ou , en d’autres termes , que si le point d’application de la force P marche dans le «ms de cette force, l’autre marche dans le sens' oppost; à la force Q.

Ensuite que les ^ aleiu’s absolues de P . p et de Q . q soient ^ales : or p est l’espace parcouru par le point d’application de, la force P , pendant uii

a4o MÉCANIQUE.

ceilain tems , et q est celui parcouru par le point d’application de la force Q dans le même tems, en sorte que p est la vitesse de la force P, et y la v itesse de la force Q (*) ; donc jxmr l’équibre il liiut que les protluits tle ces deux forces cliacune par les vitesses qu’elles peuvent prendre en même tems par la constitution de la machine soient égaux.

A plus forte raison cela aura-t-il lieu en cas de mouvement : nous avons vu en effet cpie la force P ne jieut , au moyen de la machine , faire mouvoir qu’une force Q' plus petite que Q ; or si ce mouvement a lieu , les v itesses de la force motriœ et de la résistance Q' seront encore et y, lesquelles quantités satisfont à la eondition

Pp = Q? >

et en désignant jvar d la différence entre Q et Q' on aura

et aussi

Ainsi la résislance mise en mouvement jvir la force P, étant multipliée par sa vitesse y, didërera du produit de la force P ])ar sa jiropre vitesse d’une quantité ^ale à d.q. A la vérité la quantité d est aussi jietitc qu’on voudra, car sa plus }ielite

(”) En disant vite.sse d’anc force, je sous-entends ici celle de l'un de ses points d'application.

SEPTIÈME I.EÇON. a 4 '

■valeur produit la rupture de l'équilibre : mais enlin elle existe et cela suflit [xmr contluie le théorème suivant :

Si, au moyen d’une fnachine , on veut au moyen d’une force P animée d’mus vUettse V, faire mottvoir une résistance Q ; le mouvetnent pourra toujours avoir lieu ,■ mais la %'itesse acr/uisc par la force Q étant , ce qu’on pourra obtenir tout au plus c’est que le produit Q.\' soit égal au produit

C’est là le principe appelé des forces vives, j«rce qu’on nonune forces vives, le produit d’une force par sa vitesse : exprimé d’une autre manière, il indirpie qu’une petite force n’en jvciit faire mouvoiiune grande qu’en verlu d’une grande vitesse de sa part et d’une petite vitesse imprimée à la grande force : ensorte que par exemple , si, par le moyen d’une machine, on voulait enlever avec une force de 3 livres une résistance de 3o , il faudrait donner à la force de 3 livres une vitesse décuple de celle de la force de trente, ou bien si la vitesse de la force de 3 livres était aussi donné, il faudrait disjK)s<;r la machine de manière à ne <lonner à la force de 3o livres, qu’un dixième de la vitesse accordé à la l'orce de 3 livres.

C’est dans ce princijK! (jiie .sc trouve la démonstration de l’erreur de ceux tpii, n’ayant jamais a|>|)rofondi la science de la méciuiique, s’imaginent, au nipyen d’uue foule d’organes niécaiiiipies sur-

Digilized by Goc^le

l\l MÉCAMQIE.

iiuiiiéi-ail’es niulliplier, (^nniiie ils le disent la foi*ce. Vous \ oyez qu'on ne jxîut gagner sur la force qu’eu j)crdant sur la vitesse, et (|u’ainsi cetle prétendue acfpiisition de puissance est imaginaire.

I.a cause de cette erreur vient de ce que beaucouj) considèrent comme analogues les phénomènes d’équilibre et ceux du mouvement ; ils font ainsi aljstraction de la vitesse, et par conséquent du tems. Or le tems est un véritable agent mécanique : c’est même un des élémens qui se {«ye , témoin le prix de la journée d'ouvrier : ainsi sans même passer jvar les réflexions que je viens de vous présenter, la seule omission d’un élément aussi iiiqwrlant dans le calcul tl’une force niécaniipie aurait suHit pour vous faire concevoir l’absurdité des conclusions qu’on en aurait tiré : aussi tout ce qui résulte de CCS prétendues inventions relatives à l’augmentalion de l’effet des forces motrices, ce sont des accumulations de roues, de leviers, d’engrenages, qui .sans produii-e aucun efl’ct a\ antageux sur la valeur l’ationelle de l’effet produit , aiigmenlent les déjienses d’exécution et l’étendue des emplaceinens , en même tems qu’ils multiplient les frottemens , les cliocs , les vibrations , et toutes ces causes de «lestruction de la foi-ce motrice (fui bien loin d’accroître fiar là une énei'gie finit par perdre toute ("elle qu’elle f)oss(îdait en l’employant en pure perte à détruire des obstacles que l’ineptie du constructeur a placé devant elle comme à plaisir.

SEPTii-ME LEÇON. a.j.l

.le lerminerai donc celle leçon en vous reconi-

mandant de ne jamais |)erdre de vue ce que je vieiïs de ^ous démoiilrei- :

Ce f^ui sa ÿaijne en force se perd an vitesse , et ce qui se pagne en vitesse se petd en fotxe.

Indépeudaiiuuent île cela rap})elle7,-vous encore ; que toute complicalioii d’organes mécaniques ne peut altérer ce résultat que d’une juanière délavorable, quelque soit d’ailleui-s la jjerféction de ces organes, en produisant des causes de déperdition de forces motrices par les froltemens et autres circonstances et qu’en conséquence, quelque soit une machine , jamais le produit de la force motrice par sa vitesse ne peut être rendu entièrement par celui de la force et de la vitesse obtenues , et que la perle est généralement parlant d'autant plus grande que la complication de la machine est plus grande.

Enün , que toutes les défectuosités d’exécution en produisîint des chocs , des à-coups , des Irotlemens plus durs, augiùenleut encore les déperditions de forces vives : en sorte que deux machines seiiddables construites ]jardeux dilférens ouvriers j>euveiil avoir de telles différences que l’une ne puisse étiv comjjarée à l’autre.

Voilà les motifs sur lesquels on jx;ut établir «jue les vi-aies perfections d’une machine consi.stent dans sa sbnplicité et les soins ap[x)i lés à la construction et à l’assemblage de ses pièces.

MKCAMQLE.

liülTIËMC; LEÇON.

Des moniüHH : leur (Ujinition ; quelques Ihéorêmes sur les forces parallèles; autre démonstration du principe général d' équilibra entre deux fotxes parallèles, agissant sur une machine quelconque.

I . On appelle monuml d’une ibrce par rapport à un jjoint , le produit de la Ibrce par la longueur de la pei’jxindicidaire menée du point sur la force. L’emploi de ces produits ou moniens , change les théorèmes de composition des Ibrces , en d’autres expi iniés d’une manière plus concise , aussi facile à concevoir et à retenir , et plus générale.

Le théorème sur le([uel est l»ase toute la théorie des momens jxmr les corps solides est celui-ci : La moment de la lèsultunte de deuv forces est égal à la sommes des momens des composantes.

Soit ( fig. Il , planche 9 ) P et Ç deux fl)rces cl il leur résultante ; o étant le point d’après lecjuel on veut prendre les momeiLs de ces i’orccs, aljai-rsons les pcrjK’iidiculaires op , oq , or, les momens clierchés .seront

P X op , O X 0/ , l'i X or.

HülTlic.ME M^ON. 245

Maiiitenanl soit R — AR , Q = AQ, et menons HQ; HQ sera jKu allèle à la direction de la foi-ceP, et t^al à celte force.

D’après ada les niomens des forces pourront être aussi exprimés par les trois (juantités suivantes :

QR X oji, AQ X oj) , AR X or.

Meiious à présent les droites oA , oR et oQ, nous aurons formé trois triangles oRA, oRQ, oQA , et les sujKjrlicies de ces triangles pourront être représentées par les valeui's suivantes :

Surface oRA = — AR X ur. '

Surface oQA = — .\Q X oy.

Surface o RQ = — RQ X {oji pb) =

= — RQXap-1- * RQ X pb.

üi-, — RQ X pb est é^al à la sui lace du triangle RAQ, d’oi'i il suit que

Surface oRQ= 4 RQ X op -|- surface RAQ.

Eu ajoulazit les deux Iriangh» oR() et oQ.\ on a la surface quadi angulaire alîQA; de même en ajoutant le triangle ARQ au triangle oRA, on a

246 MÊCANIQL'E.

encore cette surface. Ainsi, la somme des deux premiers triangles est égale à celle des deux seconds, œ qui s’exprime ainsi ;

Sui face oRA -j- surface ARQ =

= simlace oQA + surface oRQ.

ou — AR X or surface ARQ =

= — RQ X ou RQ X -{■ surlàce ARQ ,

ou bien en retranchant de part et d’autre la surface commune ARQ et en multipliant les restes par 2 ,

AR X or = AQ X oy + RQ X op

ce qui équivaut à

R X or = P X 0^ Q X oy

C’est-à-dire cpie le moment de la résultante des forces P et Q par rapport au point o, est ^al à la somme des momeus de ses composantes par rapport au même point.

D’après cela il est facile de trouver le moment de la résultante de tant de forces qu’on voudra appliquées à un même point ou à un système plus compliqué.

Soient P, P', P", P"' ..etc. toutes ccs foiœs.

Désignons par p, p’ , p" , les distances de ces forces à lui point O par rapport auquel on cherche le

HUITIÈME LEÇON. 1^'j

moment de la résultante. Ceux des comptantes

seront P.p, P'p', et si nous nommons R' 1»

résultante des deux forces P et P', nous aurons

r étant la distance de la force R' au point o.

Désignons maintenant par R'' la résultante de R' et de P" et pr r" sa distance au point o , on aura

Ainsi le moment de la résultante des trois forces

P, P', P" est égal à la somme des momens de

ces forces.

En raisonnant ainsi on trouve enfln, R étant

la résultante de toutes les forces P , P', P", V"

du système et /• sa distance au jioint o,

C’est-à-dire , que le moment de la résultante de forces (pii agissent sur un système plan est égal à la somme des momens de ces forces.

11 faut observer, ipiand on veut employer la somme des momens d’un système de forces pour déterminer sa résultante de prendre avec des signes contraires , les momens des forces (pii tendent à faire tourner le corp en sens opposé autour du point pr rajiprt auquel les momens sont pris , et avec des

a48 mw:amqi;e.

signes semblables ceux des forces qui tendent

à faire tourner le corps dans un même sens.

a. Delà dérive une construction bien simple pour trouver la résidtante de plusieurs fl)rces agissant sur un système solide plan. Prenotis sur le plan trf)is points O, o' o" (fig. 4> plimehe 9) et calculons pour ces trois points la somme des mo mens des coinjiosantes nous tiouverons

r, >•', /•" éUint les distances de la résultante R au |X)int o , o' , o" et K , K', K" les sommes des moniens des forces P, P', P"....„pir rapport aux mêmes ]xjints o, o\ o" .

Menez ensuite les lignes parallèles d’une direction arbitraire : puis prenez oa=K, o'a'=K', o"a"=K", et formez les triangles o'Ba', o'a'B', la droite qui joint les sommets B et B' de ces deux triangles, est la direction de la résultante cbercliée R : pour a voir sa grandeur , al.aisscz d’un des trois points, le point o' ]iar exemple la jxirpendiculaire o' sur BB' et vous aurez

3. Cette expression du théorème des momens a Heu également dans l’espaœ : seulement alors on prend les momens ]iar rapport à un axe : dans ce cas on décompose la force P dont on veut avoir le

HUITIÈME I.EÇOH. 349

moment en deux autres P' et P" , l’une paraU^ à l’axe , l'autre perpendiculaire à cet axe , et toutes deux situées avec la force P dans un même plan parallèle à l’axe. Alors on dit que le moment de la force P par rapport à cet axe est ^al au produit de la composante P" , multipliée par la distance de l’axe au plan.

U n’entre pas dans notre plan de développer ici les théorèmes relatifs à la compositicm des momens dans l’espace : voici seulement leur résumé le plus utile.

4. I. Si l’on décompose de la manière précédemment indiquée toutes les forces d’un système , on aura à leur place un gioupe de forces, les unes parallèles à l’axe , les autres perpendiculaires à cet axe : la somme des momens de ces dernières sera le mmnent du système par rapport à l’axe.

II. Pour que le système soit en équilibre, il faut que , les forces étant ainsi décomposées par rapport à un axe quelconque , la somme des foi-ces parallèles à l’axe soit nulle et que le moment total du système soit aussi nul.

III. Enfiu il suffit que ces conditions aient été vérifiées par rapport à trois axes perpendiculaires entre eux pour que l’équilibre soit démontré. Ces théorèmes vous suffisent pour trouver de suite les conditions -d’équilibre d’un système solide libre : mais comme nous n’aurous pas lieu de nous en servir , nous n’en parlerons pas davantage ici ^

;i5o MÉCANIQUE.

nous réservant d’y revenir plus tard en les considérant sous un autre point df vue

5. Voici néanmoins deux théorémie qu’on a coutume de rapporter à la théorie des momens quoiqu’ils n’en dépendent véritablement pas. Us sont relatifs à la détermination du centre des forces parallèles pour un système solide quelconque.

Soient, fig. 5 , une droite DE et plusieurs forces P, P', P".... parallèles à celte droite,* appliquées aux points A , A', A”.... et tirant dans le même sens.

Soit en outre R la résultante de ces forces et G le point par lequel passe cette résultante ; la distance du point G à la droite DE sera égale à celle d’un point quelconque D de celte dernière à la force B. La même chose aura lieu par rapport aux autres foices , en sorte que r, p, p', j!' .... i-eprésentant les distances des points G, A, A', A", à la droite GD , les momens de toutes ces forces par rapport au point D seront R.r , V.p , P'.p'... etc. Or on doit avoir le moment de la résultante égal à la somme de ceux des composantes; donc

Mais le centre des forces parallèles ne change pas lorsqu’on change seulement la direction des forces : si donc nous tournons toutes les forces à angles droits sur leur première direction le point G l'estera toujours où il est , et l’ériuation q[ue nous venons de trouver ne cessera pas d’avoir lieu.

Ainsi lorsqu’on a plusieurs forces jxîrpendiculaires à une droite, la distance du centre de ces forces à la droite est égale à la somme des produits des forces par les distances respectives de leurs points d’application à la droite , le tout divisé par la ré~ sultante de ces foi'ces, laquelle est ^ale à leur somme.

Nommons donc y, y' , y"..... les distances des points d’un système à une droite horizontale , x , J , x" .... les distances de ces mêmes points à une

droite verticale, et P, P’ , P" les forces ap|di-

quées à ces points parallèlement et dans le même sens d’action; désignons en outre par X et Y les distances du centre des forces parallèles aux deux droites verticale et horizontale dont nous avons parlé, nous aurons

et Y = P-.y + P-y +

Cette formule vous donne donc le moyen d« trouver le centre des forces parallèles d’un système plan à deux droites, et par conséquent de le déterminer complètement.

6. Si y,y' , y".... X, x', x"...,, sont les distances des molécules d’un corps auk deux axes, et P, F , P" leurs masses ou leur pesanteur , alors la

a5a MÉCANIQUE.

formule donne les distances ar et y du centre de gravité, qui dans ce cas n’est que celui des forces parallèles : c’est ce qu’on e.\prime en disant que la dUUtnco du ceni/v de gravité d'un système plan d une droite , est égale à la sonune des produits ' des distances des molécules du cotps à cette d> oite , multipliée chacune par sa masse respective , divisée par la somme des molécules ou la nutsse entière du corps:

En étendant oes tliéorèines à trois dimensions, on trouve des expressions analogues cpie voici :

I. La distance du centie des forces parallèles d'un système d un plan donné est égale au quotient de la somme des produits de ces forces par les distasues de leurs points d'application à çe plan , divisée par la somme des forces.

IL Iai distance du centre de gravité d'un corps d un plan est égale à la somme des produits des masses des molécules de ce corps, multipliée par leurs distances d ce plan , divisée par la somme de ces masses ou la masse totale du corps.

III. Ce dernier théorème peut encore s’énoncer ainsi : Le monumt du centre de gravité d'un corps par rapport d un plan est égal à la somme des momens par rapport à ce même plan des masses moléculaires qui composent le corps.

7. Nous allons passer maintenant à la démonstration du théorême'que nous avons déjà démontré dans la leçon précédente , mais que nous allons

, conclure Ici directement de ce que nous avons exposé sur la théorie des moinens.

Soient donc ( planche 9 fig. 6 ) deux points A et B d’une machine, auxquels points sont appliquées deux forces P et Q , agissant dans le sens de la pesanteur , ou plutôt deux poids P et Q. En vertu de leur liaison établie par la machine, l’un des jioids ne pourra prendre un mouvement sans que l’autre en prenne un aussi, et si l’un des deux points d’application se meut dans le sens BB', l’autre se mouvra dans un autre sens AA' déterminé pr la nature de la machine.

Cela posé, cherchons la hauteur du centre de gravité des deux poids au dessus d’un plan hori- • zontal fixe, lequel seraévidemmentperpendiculaire à la direction des forces P et Q ; d’ahord pour la position primitive des points A et B, et ensuite pour celle correspondante aux points A' et B'.

Désignons pr x et y les hauteurs des piuts A et B au dessus du plan fixe , pr X celle du centre de gravité des deux pids dans cette position : désignons en outre pr x' et ]/ les hauteurs des pints A' et B' , et pr X' celle du centre de gravité des pids P et Q, dans cette autre |X)sition, nous aurons :

a54 MÉCANIQUE. .

d’où l’on conclut en retranchant l’une de oes équations de l’autre

P.x’+Qy P-^ + Qy

et X' — X =

c’est l’expression de la quantité dont le centre de gravité sera monté on descendu par le mouvement des points A et B pour se placer eu A' et B'.

Mais d’une part si l’on considère qu’au lieu des forces P et Q on peut placer leur somme à leur centre de gravité sans cesser d’obtenir le même effet sur la machine, et si de l’autre ou se rappelle ce fpie nous avons déjà dit , qu’une force ne peut obtenir d’effet perpendiculaire à sa direction, on verra facilement qu’aucun mouvement ne peut avoir lieu en vertu de l’action de la résultante des deux poids ou de l’action de ces deux poids euxmémes sur la machine , si cette machine est construite de manière à ce que le centre de gravité des deux jwids ne puisse ni monter ni descendre dans les diverses positions de la machine : et par conséquent l’équilibre sera établi.

Or si l’on veut chercher à quoi cette condition répond , il faudra observer que dans l’équation

HUITIÈME LEÇON. a55

on doit indiquer que X' ne peut être ni plus grand ni plus petit que X , en d’autres termes que X' doit être égal à X , d’où il suit

or cette dernière équation équivaut à P (x'-x) = Q (y-y).

Cette équation ne peut avoir lieu :