V.pJr P'-/ + P"./' = O

en ayant soin de faire entrer comme m^atils les espaces pareourus en sens contraire de l'action des forcx’s , et comme positifs ceux parcourus diuis le sens de ces mômes forces. Le princi|)e est le môme que pour deux forces ; seulement sou appliixition , sans être plus dillicile , est jilus compliquée et demande plus d’attention.

1 1 . linliii il se présente enexire une autre con- .sidéialion fort imjHirtante , c’est celle qui est rcla-

a6a MWIANIQliE.

live à l’influence du frollemeiit dans réquilibre des machines; cetUe influence, qui est à ravaulaye de l’équilihi'e , est loujoui's au désavantage de la force qui veut produire du mouvement. C’est ce qui vous doit être facile à concevoir, en réfléchissant que le frotleineut est une force ({ui ne se développe que par la tendance au mouvement , et qui doit toujours être vaincue par l’action rpii tend à produire le glissement des surfaces l’une sur l’autre. Or cette action est ici celle de la force motrice.

Dans inie macliine , les pièces composantes réagissent les unes sur les autres par les points de contact de leurs surfaces , et ces points de contact sont toujours rigoureusement coiuius : on peut par des décompositions fort simples estimer les pressions exercées sur ces surfaces, et j«r suite les frotleraens et leur direction. Lorsqu’on voudi-a ensuite connaitre l’influence de ces frottemens sur l’équilihitî, on donnera un petit mouvement à toute la machine, et dans cette hypothèse on estimera les vitesses de chaque point frottant ; puis on midtipliera ces vitesses chacune par la quantité de frottement correspondante ; ou fera la somme de ces produits cjui seront tous uégatifs , et on l’ajoutera à la quantité P./> -f" et

l’on aura la quantité qu’il faut rendre nulle ou négative fOur trouver la condition d’équilihre.

Désignons donc par — K cette sonnne des nio-

HÜITtÈME LEÇON. a63

mens virtuels des frottemens : K étant un nombre positif, nous aurons pour condition

P. P -f- F. y + F', p"... — K = O ou < O

Si l’on voulait établir l’équation d’équilibre sans frottemens, jl faudrait écrire

Dans ce cas on voit que la «piantité précédente sera toujours négative ; ainsi lorsque l’on a trouvé les conditions de l’équilibre pour une machine sans frottement et qu’on en a déduit les relations entre les forces, si l’on vient à introduire la condition «le frottement, l’équilibre aiu-a encore lieu.

Il y a même plus : si l’on prend parmi toutes

les forces P, P', P" , une de celles, la force

P , par exemple j pour laquelle la «piantité Pp soit positive , on pourra , sans rendre positive la somme des prcxluits P. p , P'.p' , P". p" , et — K , augmenter la force P de valeur-, ainsi, en laissant toutes les autres forces dans l’état d’équilibre sans frottement , la force P pourra , sans rompre l’équilibre avec IVottcment , prendre une valeur plus grande que sa valeur primitive, jK)ur toute ten- «laiice au mouvement de la niacliiiie , en vertu de laquelle ce point d’application de la force P se mouvrait dans le sens de <^tte force. Or celte tendance correspond au cas où l’on voudrait que la forc-e P agît de manière à produire du mouve-

a64 MÉCÀTtlQDE.

ment et à rompre l’ctpilibre. Ainsi, après avoir délemiiné la grandeur de la force P dans le cas du non frottement, si l’on veut que cette force l’emporte ou soit tout pi-ès de l’emporter sur les autres , il fairdra lui donner la plus grande des valeurs qui donnent le signe négatif à la qirantité V.p .p' -\-V .p" — K , ou , eji d’autres termes ,

la valeur P -j- rf qui satisfait à l’équation

(P + rf ).;» + F. p' 4- V'.p''.... — K = O

on P.p + V'.p' 4- P"./' -\-d.p — K = o

et comme

on doit avoir

ce qui correspond à dire que la forte augmentative d et les forces du frottement , considérées comme forces actives, doivent se faire équilibre 'pour le mouvement qu’on veut faire prendre à la macbine. Ce théorème très-simple sera développé plus tard dans beaucoup d’applications. Il me suflil pour le moment de voirs avoir fait envi.sager sous un point de vue général, que tout ce qui peut entrer dans l’équilibre des machines quelles qu’elles soient, peut être soumis aune recherche mathématique , exacte et rigoureuse.

by

L)u levier : ses diverses modifications : vi^uilibrc des voiites , détermination de la résistance des barres de diverses substances : tables y relatives.

I . Le levier est la plus simple et l’une des plus usitées parmi les machines élémentaires. 11 se compose unkjuement ( planche i o , fig. i ) d’une tige AFB de bois ou de métal , droite ou courbe , rendue fixe à un de ses points F , soit au moyen d’un axe «pi la traverse , soit par xm appui quelconrpe pris sur lui coi-ps solide hors de la base.

Dans cet état on doit imaginer deu.x forces P et Q , applicpiées à ses extrémités A et B ; l’une sera si l’on veut une force produite par lui mo- , teur quelcontpe , l’autre une résistance qui s’opjxxse à l’action de ce moteur.

Pour trouver les conditions d’écpiilibre il faudra d’abord donner im petit mouvement au levier , puis voir les espaces parcourus par les forces ou du moins par leurs points d’application , et appliquer ce que nous avons dit à ce sujet dans les deux leçons précédentes.

aGG MÉCANIQUE.

Mais , d’après la manière même dont nous avons posé la définition du levier , il se présente deux hypothèses de mouvement : l’une dans le cas où le levier peut glisser sur son point d’appui , l’autre oii ce point d’appui est absolument fixe et traverse le levier à la manière d’un axe : voici comme on doit traiter successivement les deux cas.

a. Supposons d’abord le levier fixé par un axe en F. Dans ce cas il ne pourra prendre qu’un mouvement de rotation autour de l’axe. Décomposons chaque force P et Q en deux autres , P' et Q' et Z’ , P' et Q' étant perpendiculaires au levier , et f ei. f dirigées dans le sens de ce levier que je suppose ici rectiligne.

Les deux forces f et f sont détruites par la résistance du point d’appui, et conséquemment n’entrent pour rien dans l’équilibre ; aûisi on n’aura qu’à considérer les forces Q' et P' , les seules qui puissent y influer pour quelque chose.

Faisons décrire un très-|jetit mouvement au levier : le point F restant fixe , les points A et B viendront se placer en A' et B', conservant leurs distances respectives avec le point F , en sorte que les espaces parcourus par les points d’application des forces P' et Q' seront AA' , et BB'. D’après cela nous devrons avoir pour l’équilibre