P' ; Q' BF ; AF

Ainsi dans le cas dont nous parlons , pour que les forces P et Q soient en équilibre il faut que leurs deux composantes P' et Q' soient en raison inverse des longueurs des bras du levier compris entre ce point d’appui et leurs points d’application respectifs.

Mais lorsque le levier n’est qu’appuyé sur un corps résistant, alors il faut une condition de j)lus : c’est que le levier ne glisse jias sur le jxiûit d’apjmi : or , c’est ce qui ne peut se faire qu’autant que les deux forces f el f se détruisent i-éciproquemeut ; ainsi dans ce cas il faut encore que les deux conqx)santes de P et de Q prallèles au levier soient ^ales entre elles.

3. Telle est toute la théorie du levier lorsqu’on y fait abstraction du frottement et du poids de ses parties ; mais lorstpi’on y introduit ces diverses considérations , la question se complique davantage.

Prenons d’aboicl le cas du levier traversé par im axe. Soit donc (jJanclie lo, fig. 3)a«'a" la coupe de l’axe du levier que nous supposons cylin-

a68 MÉCAMQUE.

drique ; pour loger ce cylindre , on en a foré un autie creux d’un diamètre tant soit peu plus grand dans le corps du levier , en sorte qu’on peut supposer le mouvement du levier très à peu près concentrique avec son axe de rotation. Soient ensuite P et Q les forces qui tendent à se faire équilibre au moyen du levier 5 en vertu de ce que nous avons vu si elles étaient d’elles-mêmes en équilibre, on aurait

P ; Q :: BP : af

d’après cela il est aisé de voir que leur résultante passerait par le point F , et serait par conséquent normale en a à la surface de l’axe, de plus elle serait égale à P -|- Q.

Soit maintenant 0 le rapport du frottement à la j)i ession pour les deux surfaces de contact , nous aurons pour la valeur /* de la résistance due au frottement

Cherchons ensuite de (;ombien nous devrions augmenter les forces P et Q pour que l’une ou l’autre lut prête à emporter le mouvement , et commençons jKir la Ibrce Q , P i-estaul la même.

Imaginons que le système ait pris un petit mouvement. L’are décrit ]>ar la force du liollemeut sera jjar exemple aa -, celui décrit j)ar la force Q , sera dans la meme circonstance BB' ; désignant

donc par d la quantité dont on doit augmenter Q pour être près de rompre l’équilibre, nous aurons

d. X BB' = f X aa'. (V. la fin de la leçon 8*.)

d’où d = f. X gg,-

soit maintenant p le rayon de l’axe , on aura en vertu de la similitude des triangles Faa' , FBB' ,

aa' P

BF — m

ce qui donne

et comme /*est ^al à 0. (P -j-Q^ 0“ trouve enfin

d = 0 x(P + Q)Xp^

d’une autre part Q est égal à P X pg- ainsi cette valeur de d devient

FA d- FB ^ P FB~ ^ FB.

Ffii

et enfin la valeur de la force qui est prête à l’emjKirter sur la force P sera '

ayO MÉCANIQt'E.

Q4-rf = PX~+0XpX^XP FA X FB +0 X (9 X AB. „

FB*-

c’est l’expression de la force qui , quoique faisant équilibre à P, ne peut plus être augmentée sans produire de mouvement.

Appliquons cela à un exemple ; supposons que AF = 4 mètres , que BF = a mètres ; que le rayon de l’a.xe ou p soit d’un décimètre , que cet axe soit en acier et le corp du levier en cuivre,

auquel cas nous aurons 0 = — ; admettons que la

force P soit de 5o kilc^rammes, nous aimons pour Q -j- rf, la valeur suivante :

4Xa + ^

X 5o kilogr.

ou loi kil. 0^5.

Ainsi dans ce cas la force P retiendra un effort de loi kil. 075, au lieu de 100, qu’elle aurait seulement pu balancer, dans le cas où il n’y aurait pas eu de frottement.

Vous remarquerez que la valeur dont on peut augmenter Q est eu raison directe de p et de 0 ; ainsi plus le rayon de l’axe et le rapport de la

NEUVIÈME leçon. 2^ I

pression au frottement sera considérable et plus la quantité qu’on pourra ajouter à Q sans rompre l’équilibre sera considérable. Or si l’on voulait produire du mouvement , il faudrait surmonter toute cette augmentation de résistance; donc dans ce cas , il y a avantage à former le moindre diantre , possible à l’axe , et à choisir les surfaces qui donnent le moins de frottement: ceci vous expbque pourquoi l’on cherche à rendre les pivots les moins épais et les mieux polis possible. On ne peut cependant pas dépasser de certaines bmites en diminuant le diamètre de l’axe, vu qu’il lui faut toujours avoir assez de force pour supporter sans se briser l’action de la résultante P -j- Q.

Lorsque au lieu de tourner sur un axe fixe, le levier est simplement appuyé sur une surface par une, partie quelconque de celles qui lui appartient, l’équilibre devient encore facile à établir. Nous n’avons qu’à imaginer en effet que toutes les forces puissent se réduire à ime seule passant par le point de contact : alors celle-ci se décomposera en deux autres , l’une parallèle à la surface de contact, l’autre perpendiculaire. Celle-ci sera détruite, mais elle produira un frottement qui s’opposera à l'acticm de l’autre , et si ce frottement est plus grand que la composante parallèle à la surface de contact, l’équilibre aura évidemment lieu , sinon il sera détruit : c’est une condition' facile à vérifier. Mais en général il se fera que les forces ne se réduiront

aya MECANIQVE.

pas à une telle composante et alors l’équilibre sera détmif par un mouvement de rotation du levier sur la surface d’appui. Les considérations sur lesquelles se fondent ces résultats tenant à des propriétés particulières des surfaces, je ne les exposerai pas ici. (*)

4. Enfin s’il était question d’iui levier pesant , on n’aurait qu’à comprendra dans les élémens de calcul que nous avons employés les poids des deux bras du levier en les considérant chacun coirane luie force; ce qui n’augmenterait pas la difficulté.

5. Le levier est un des instrumens dont les modifications utiles aux arts sont les plus nombreuses. On le divise en trois espèces qui du reste sont soumises cliaciuie aux mêmes lois d’équilibre. On appelle levier du premier genre celui dans lequel la résistance et la puissance sont des deux côtés du point d’appui ( fig. 4 > planche 10); levier du .second genre, celui dans lequel la puissance et la résistance sont du même côté du point d’appui (fig. 5, planche 10), la puissance étant plus éloignée que la résistance de ce point ; et enfin levier du troisième genre ( fig. 6, planche 10) celui où la puissance est entre la résistance et le point d’appui.

Dans le premitM- genre, la puissance et la résistance peuvent avoir indistinctement l’avantage ; dans le second , l’avantage est toujours du côté de

(•) Voyer la note à la fin de la leçon..

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NF.UVIKME LEÇON. 273

la puissance , el dans la troisième au contraire toujours du côté de la résistance.

Ou peut compter parmi les leviers du premier f'eure le levier ordinaire (fig. 4)» ^^s tenailles ( lig. 7 ), les pinces (fig. 8 ), etc. On voit par conséquent que ces deux instrumens auront d’autant plus de force que la mâchoire sera plus courte que les bras.

Le loquet d’une porte est un levier du second genre (fig. 9) : le point d’appui est l’axe du loquet; le point d’application de la puissance est la pomme ou le bouton qui sert à le soulever et la /csistance est le ressort qui le presse pour l’empêcher de se d^ager.

Les pincettes dont on se sert ordinairement pour les cheminées sont des leviers du troisième genre (planche lo, fig. 10). Le |X)int d’appui est le gond de la pincette, la résistance est l’objet qu’on veut saisir par son moyen, tandis que la puissance est produite par la force musculaire de la main appliquée à la naissance des branches. Quelques leviers prennent leur point d’appui sur l’objet même qu’on veut soumettre à leur action comme la pince du charron ( fig. 1 1 ) et la clef du dentiste.

Quelques autres sont une combinaison du levier et du coin. Tels sont : le ciseau du tourneur , lequel n’est autre chose qu’un levier du premier genre tenniné par un coin D ( fig. 1 2 ) ; les ciseaux qui sont aussi un levier du premier genre armé d’un

double coin aigu ( fîg. 1 3 ) ; la plane des charrons qui n’est qu’un levier «lu second genre dont les poignées servent tour à tour de jxiint d’application «le la puissance et de point d’appui , et au moyen duquel on poi’te l’action d’im œin sur la résistance. On doit aussi «xinsidérer comme une combinaison analt^ue de coins et de leviers, les tondeuses «lont ou se sert dans les fabriques de drap , ( fig. 1 5 ) et qui ne sont autre chose que des leviers du troisième genre, où le point «l’appui est pla<» dans le ressort «pii lie les deux lames.

Outre L'es combinaisons du levier et du coin , 6n employé encore fréquemment dans les besoins de la vie des comlnnaisons de leviers entre eux : en voici un exemple très-familier.

I.x)rsqu’on veut soulever l’essieu d’une voiture pour en enlever la roue ou la grais.ser afin de diminuer le frottement de l’essieu , on se sert à cet effet d’un instrument composé de plusieurs leviei's et que dans quel«pies pys on nomme cheval. II consiste d’abord ( fig. 1 6 ) , en une espèce de chevalet ad qui sert de point d’appui à un levier ae auquel s’applicpe la force motrice ; ce dernier porte un axe b auquel est attaché le levier droit be pr une de ses extrémités , taudis que l’autre porte à terre en c. Lorsqu’on veut se servir de cet instrument, on glisse le levier bc sous l’essieu de la roue f, puis on l’enlève au moyen du levier ae : ainsi vous voyez «pie l’effort produit pr une

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NEUTIKME LEÇON. 275

petite force en e |jeut vaincre une grande résistance en /■, vu que l’arc décrit par la force e pourra être i-endu Irès^and pour un très-petit trajet pai-couru par le point d’appui de l’e.ssieu. On a soin de disposer le point. de manière à ce qu’on puisse lui donner une position j>assant à gauche de la verticale qui passe par le point a, parce que lorsque l’on I a donné cette position au système , l’équilibre continue à subsister de lui même.

6. lies considérations relatives à l’équilibre de plusieurs leviers combûiés sont au reste très-fréquentes et très-importantes. On en fait en Allemagne un fréquent emploi pour transmettre le mouvement aux pistons des pompes dans les mines à travers des sinuosités inévitables : la machine de Marly n’était autre chose qu’un appareil de ce genre, et vous en pouvez voir un semblable qui sert à puiser les eaux thermales de Chaud fontaine.

Les leviers font encore partie intégrante de plusieurs machines : ainsi dans les machines à vapeur le balancier, le {larallélogramine directeur «le la tige du piston, la manivelle du vcdant sont des leviers ou «les conïbinaisons de leviers.

La théorie de l’équilibre des vofitcs se rajqwrte aussi au levier. On a remarqué que lorsqu’une vcaite se rompt , et qu’elle nmverse ses piédroits fg , he ( (ig. 1 7 ) elle ne tombe pas tout entière ou absolument démolie , mais elle se divise en un certain nombre de segmens fa, ab , bc , cd , d» ,

qui tendent à réagir les uns sur les autres au moyen des arêtes f,a,b,c,d^e, de leurs plans de rnptui^e. On peut donc c-onsidérer l’équilibre du système de la figure l comme se rapportant à celui de sept leviers ou barres iuilexibics fg ,ga, ab, bc, cd y de y eh y jointes ou articulées bout à bout et sollicitées chacune par un jwids qui sera celui du st^ment de voûte correspondant. L’équilibre de ces leviers sera facile à établir en raison de leur symétrie et on trouvera aisément les forces latérales qu’il faut opposer au mouvement des points e et/" jjour arrêter le mouvement du reste.

Tout cela exige que l’on coiuiaisse les points de rupture pour une voûte donnée ; or il existe pour résoudre celte question des procédés plus ou moins compliqués qui , quoique peu exacts’en théorie , ont cependant assez d’exactitude pour la pratique. Le ^ meilleur serait de réunir en tables les expériences nombreuses faites à ce sujet , et de les compléter jKir d’autres expériences et ce travail utile, mais dispendieux sera jjeul-ètre un jour exécuté par les ordres d’un gouvernement auquel les dépenses ne coûtent jamais quand il s’agit de faire avancer les sciences. Au reste , la lecbeicbe analytique de ces ])oints de rupture peut s’elTecluer d’une manière aisée à concevoir quoique dilficile dans son exécution : on admet un certain nombre de ruptures bypotliéliques ; on calcule l’cirort exercé en e et en /■; puis en flusant varier les points de rupture

on cherche celles de leurs posilioiàs qui correspondent à la plus grande actiou horizontale : alors on considère ces positions conune celles oi\ la rupture se ferait véritablement et la pression horizontale qui en résulte conmie la véritable.

11 faudra évidemment faire entrer dans cette rechercbe la condition que le plan de rupture doit être une face de joint , et faire attention à la force d’adliérence exercée par le mortier ou le ciment entre les faces qui se touchent : cette dernière force a été l’objet de plusieurs recherches que je regrette de ne pouvoir consigner ici , à cause de leur trop grande étendue.

11 faut enfin pour achever la solution de ce problème , faire la recherche de la force équilibrante : lorsque le pont n’a qu’une arche, le poids des deux culées seul doit maintenir la voûte et il faudra que ce poids midtiplié par la moitié de l’épaisseur horizontale de chaque culée et divisé par sa hauteur fasse é<|uilibre de chaque côté à la pression latérale exercée.

Le poids d'un mur multiplié par sa demi largeur s’appelle le moment de stabilité du mur par rapport à l’arète extérieure autour de laquelle il pourrait tourner : ainsi ce que nous venons de dire signifie (jue le moment de stabilité des culées par rapport à cette arête doit être ^al au moment de la |K)ussée par rapport à cette même arête.

Si au lieu d’une seule arche il y en avait plu-

MÉCANIQLK.

sieurs on peut à volonté rendre cliaque piédroit capable d’é<|uilibrer la portion de voûte correspondante, ou bien l'ejeter toutes les poussées sur les culées des deux bouts : dans ce dernier cas il suflit que les culées intei'inédiaii'cs soient assez fortes pour ne pas s’écraser sous le poids de la voûte.

Une des applications les plus intéressantes de la théorie du levier est encore l’appréciation des formes et de la disposition la plus avantageuse à donner aux solides destinés à supporter des fardeaux quelconques : toute lu théorie des résistances des bois , des pierres , de la fonte , ressort de celle du levier.

Supjmsons en effet une solive de bois ou de fonte ( planche g , fig. g ) aj>puyée sur deux points fixes F et F' , et sollicitée à se rompre par l'action d’un poids P appliqué en B : on pourra concevoir , au lieu des appuis F et F' deux forces f f dirigées en sens contraire de P et disposées de manière à lui faire équilibre : on pourra également supposer au point où la rupture devra s’exercer, qu’à la place de la force on a substitué un point fixe , en sorte que la pièce sera à peu près dans le cas d’un morceau de bois qu’on veut casser en l’appuyant sur un obstacle solide , à peu près comme font les ouvriers en appuyant sur leur genou , le morceau qu’ils ont l’intention de briser.

■ Dans cette hypothèse , ce qui résiste à l’effet des deux forces /'et/' c’est l’adhérence des molécules de

^EUVI^;ME LEÇOX. 37g

la pièce : supposons que la rupture ait lieu , elle se fera sur une certaine surface passant , par exemple, par la droite BA : il aura fallu que les forces f et f aient rompu radhéreiice de tous les |x>ints de cette surface. Or il est facile, de voir que toutes ces adhérences partielles se composeront eu une seule qui sera parallèle à leur direction commune , et par conséquent perpendiculaire à la surface de rupture : en outre cette force sera proportionnelle à l’étendue de la surface , ou à la droite , AB , si la barre est un prisme rectangulaire droit, ou au moins un corps compris entre deux plans verticaux parallèles et deux surfaces dont les arêtes soient perpendiculaires à ces deux plans.

Dans ce cas la force d’adhérence pourra donc être représentée par une force proportionnelle à la longueur AB^ et passant par le milieu de cette droite , en soite que son moment par rapport au

point B sera égal à — 7ÂB X ÂB X K , K étant

luie constante qui dépend de l’adhérence des surfaces et par conséquent de la nature du corps. D’ime autre part les forces f ei f qui tendent à produire la rupture ont pour moment l’une aB X f, l’autre a'B X f* , fX comme f eXf sont les composantes de la force P , ces deux momens seront égaux , et chacun d’eux pourraêtre •

a8o MÊTANrQDE.

tance de la surface A la rupture fasse équilibre à l’action de la force qui tend à briser la barre , il faut évidemment que son moment soitt^al à celui de celle des deux foi-ces f e\. f qu’on >oudia choisir , . ainsi l’on devra avoir