AR = P'R

PREMIÈnE LEÇOX. 2Q

. C’est-à-cliie , que le triangle ARP' doit èti-e isostvle.

D’aprt"S cela , il faut que l'angle AP'I» soit égal à l’angle RAP' ; mais comme l’angle AP'R est ég;J aussi à l’angle QAP' , il est AisiLl® encore que l’angle P'AR sera égal à l’angle P'AQ.

^ ous voyez donc , que , quand tine force tend une corde au moyen d’un anneau pissé dans celte corde et d’un cordon attaché à l’anneau , la direction de ce cordon doit coiqier eu deux l’angie formé jiar les deux segmcns ite la corde.

^'ous observerez maintenant que plus l’angle QAB sera grand et -dus les côtés AU et AQ s’allongeront ; d’où il suit , que les forces Q et R pour faire équilibre à la force P , devront être d’autant plus grandes que l’angle des deux scgniens de la corde sera plus giand , et qu’il faudra qu’elles soient ■ infinies pour le cas où la corde serait absolument droite ; en d’autres termes :

/,« temion d’une corde qu une foixe tire par son milieu , sera d’autant plus grande qm l’angle formé par les deux iegmens sera plus considérahle , cl elle devient infinie quand la corde est ahsolument droite.

Il résulte delà , qu’une corde tout-à-fait tendue se briserait à l’instant sous l’action de la plus petite force rpii la tirerait perpendicidairenient à sa direction longitudinale , si elle ne pouvait prendre à l’instant la forme d’une ligne brisée.

Or , (juelque soit la matière dont la corde est

3o MÉCANIQUE,

faite , elle jouit toujours et jusqu’à un certain point de la faculté de s’allonger encore malgré la tension longitudinale cpi’elle peut a\oii’ subi ; aussi les forces qui la tii-ent dans un sens jxjrpendiculaire à sa. direction , n’exercent pas de suite leur influenc'e pour la rompre ; elles commencent par l’inlléchir , et cela a lieu d’autant plus facilement que la corde est plus longue et plus élastique , deux circonstances faciles à explicpier ; car quand la corde est longue , elle j)eut faire ( fig. y ) un trajet ]3A assez considérable , sans que l’angle QAR diminue l^aucoup , et , "(«r consé(|uent , sans (pie la force P cesse d’exercer une grande influence sur la résistance longitudinale de la œrde et , (piand l’élasticité est considérable , rallongement prcxluit jiar cette influence est , toutes choses égales , plus facile à obtenir.

C’est à cette cause que se doit la facilité avec laquelle une main faible et délicate infléchit les cordes d’une liarpe pour les faire vibrer. Ces œrdes à mesure (pi’elles augmentent de diamètre et, jiar œnséquent, de résistance longitudinale, augmentent aussi de longueur , ce qui ramène la résistance à la flexion à jieu près à la même l'ideur.

On voit encore dans rinslrument que vous œnnaisscz le jilus , le violon , un exemple de ce (|ue peut une très-jX’tile forœ ])our infléchir une corde tri^S-tenduc ; les trois jircmières cordes du \iolon sont dans ce cas cl il est jiroliablc , à eu

PREMIÈRE LEÇÜÎC. 3 1

juger d’apirs ki résistance (ju’on éprouve à soulever le chevalet , cju’elle équivaut à la force de plus d’un homme ; cependant vous savez comment on les met en mou\ ement ; quelques crins attachés à une baguette cui'viligne , et enduits d’un peu de colophane , sont promenés par le joueur sur la corde qu’il veut faire vibrer , dans une direction à peu près perjjendiculaire à sa longueur ; la légère adhérence de la colophane pour la corde , suïlit seule alors pour attirer la corde dans le sens du mouvement de l’arehet et pour la mettre en vibration.

On fait d’ailleurs plus d’iuie application utile de ce que nous venons de dire ]x)ur roidir fortement des conlages qu’une action longitudinale ne pourrait tendre qu’inqMrfailemenl ; ainsi, ]>ar exemple , si l’on vçut assujétir solidement deux pieux A , B , ( lig.*8 ) de manière à enqxîcher leur écartement , on fait circider un cable autour de ces deux pieux , eu le tendant aussi fortement que • possible; puis ensuite, au moyen d’un cordage de moindre dimension , on rapproche autant que possible les points G et D ; il doit maintenant vous être facile de vous expliquer comment de celte manière on donne au cordage une tension capable de résister aux elfoiis considéraljles qui p)urraient tendre à écarter les pieiix A et B, puisqu’au moyen de cet aj)j)arcil on a d’abord allongé et en outre frt'sfortement tendu les dciu. cables, et , }iar consé-

queiit , déli uil nue }»i aiuJe jiarlle de leur élaslkité , ce qui rend la tension çt , piir conséquent , la résistance de ces cables à jx:u-{)iès insurnionliible pour d(;s forces (jui , auparavant , auraient pu l’acilenient lis ^aiucre.

C'est sur une < onsidératil)n iuialogue que siî fonde riiabitude de mettre en porte ù faux les barres île métal que l’on \ eut briseï' ; iei la barre ne ]xnivant llécbir que }>eu, se ti-ouve dans le nièna: cas que le lil intlexdJe dont nous a\ons parlé et se rompra plus facilement sous l’influence irune pression donné*e.

11 est visible que si la corde AP ( fi};. 7 ) au lieu de tenir à la corde IIAQ jxir un anneau ou un nœud coidanl y était jmr un nœud, le

prineijxî de la composition des forces s’y ajqiliquerait encore et que les conséquences en seraient les mêmes ; sindement, les tedsions des coi-dons A(^ et AR pourraient être difléienles , et il est facile de voir ( fig. 9 ) que dans œcas, celle qui s’a[)procbera la plus de la coide tendue |xu- la , force P , sera celle qui sujqxirtera la tension la plus considérable.

On sei-t lie ce moyen comme de l’autre jxmr tendre et solidifier des systèmes funiculaires, et il vous sera maintenant facile <le yous rendre raison des cas dans lesquels xous It's trouverez employés; mais une chose digne de remarque c’est l’emploi lait des princi})es dont je viens de vous entretenir,

jKir un insecte aiufuel on lait rarement attention autrement que jxmr le détruire ; si vous avez obser\é une araignée; quand elle prépire la toile qui doit lui servir à prendre les animaiLX dont elle se nourrit , ■n ous l’aurez \ u , sans y l’aire jieut-èlre réflexion , employer par instinct tous les procédés qui viennent d’être exjxisés.

D’abord elle s’assure ordinairement trois lils princi}wu.x •, après les avoir redoublé dans leur longueur et les avoir tendu autant que possible , elle augmente encore cette tension par trois auti-es fds au moyen des<}uels elle infléchit les pi-emiers; puis, jvar trois nouveaux lils elle augmente encore la tension de ccs tlerniers , et par suite celle des trois autres ; enfin , dans l’hexagone ainsi formé , elle établit une série de rayons convergens , rpii , en rendant un peu infléchis les côtés de l’hexagone , augmentent encore leur tension, et par suite celle de tout le système, et c’est sur ce réticule ainsi hâti, qu’elle traîne de fil en fil la spirale qui achève la contexture d’un ouvrage dont l’extrême ténuité résiste à l’action des vents et de la pluie et aux chocs produits par les animaux qui viennent s’y engager.

Au reste, nous reviendrons plus tard sur les combinaisons, plus ou moins variées des systèmes, où des forces sont mises en é(|uilibre par des assemblages de cordons. Nous allons ]iasser maintenant à la comjxjsilion des forces dans l’esjjace ,

34 MÉCAJÜQIJK.

lors<|u'i‘llfs a-jissciit autour d'un inôiiio jM)inl maliTud , cl nous |•cll•ouv^!l•ons un tlicorciiie analogue à celui (lu ])arallclograininc des li)rces cl aussi ini- |xtrtanl |(ar scs noml)rcuscs apjilicalions.

(■J. Soicnl f lig. I 1 ) trois forces O , P , Q , aj>pli- (piik-s au point inat(iricl M et repicsr‘iit(X‘s en grandeur cl en (Ureclion par les droites MO, MP et MQ.

C'a>in]H)Süns d’abord les dciL\ forces 0 et P eu une seide. Pour cela , dans le plan de t'es forces lorinons le jKiralbdograinine MOll'P ; la diagonale MU' de et; j>arallt*lograinine représentera eu grandeur et en diieclioii une force U' tjiii peut être substituée à l’assemblage des forces P et O ; eu sorte «pie nous u’auroiis plus <|u’à considérer les deux foi-ces IV et Q.

Or , la résidtante de ces deux forces peut s’obtenir facilement; pour tx*la , fonnous encore le |>arallélog ranime MIVUQ, sa tliagonale MR représenteia en grandeur et en direction la ré*sultante U des trois forces O, P, <).

Or , vous voyez facilement que celle diagonale , est précisément celle du parallélipipède construit sur les trois lignes AO , AP et AQ , car RR' menée ]iarallèlement à MQ par le bout IV de la base du parallélipi|jcde est visiblement une arête de te parellélipi|x;de , et de jilus il a été pris égal à AQ , à eaitse du ]>arallélogranime MRIVQ, en sorte que le jMiinl R est sûrement le sommet de l’angle du paralléli]>ij)cde ojijiosé à l’angle A ,

PREMIÈRE I.EÇOX. 3,">

<!l par suite, la li^iie AK est la dias^oiiale de

ce jxirallélipijjède. Delà résulte le tliéorèine suivant :

Si trois l'orees quelconques sont représentées en i^randeur et en direction par trois dioites jiassant jjar le jwint d’application :

I”. Ces trois forces auront une résultante unique;

2®. Celte résultante sera représentée en (jrandeur et en direction par la diagonale d’un parallélipipède construit sur les trois longueurs données , prises pour arêtes ;

3®. Cette résultante ne sera jamais nulle tant que les trois composantes seront dans des plans différons ; d’où il suit, que trois forces ne jieuvent jamais se faire équilibre que lorscpi’elles sont dans un même plan •,

4°. puisqu’on peut toujours opposer à celte

résultante une force égale et directement opposée ijui la détruise , trois forces quelconques , appliquées au même point datis l’espace , peuvent toujours être mises en équilibie par une quatrième force , que vous savez maintenant déterminer.

Si l’on supposait au lieu de trois forces, quatre ou plus de forces applifjuées au même point, on voit,. en supposant que ce soient, par exemple, les force P, Q, R, S, T, U, qu’on jxiurra d’alx)rd réduire ces trois forces P , Q et R en une seide P', puis les trois forces P' , S et T aussi en une seide Q' , puis enlin les deux forces Q' et U' encore en une seide , U' , qui sera la résultiuile totale du système. Ainsi :

I”. Tant de fotxes qtion eoudra appliquées en un même point peuvent toujours se l'éduire à une seule qui sera la résultante totale du système.

2®. Il est toujours possible de trouver une fotxe qui fasse équilibre à toutes ces fotves et on la détermine en construisant la résultante , dont la fotxe chetxhée devra avoir la ditvction et la yrandeur.

3”. Pour que des fotxes en nombre quelconque se fassent équilibre autour d’un point en vertu de leurs actions réciproques, il faudra que leur résultante soit nulle , ce qu’il est facile de vérifier.

4". Enfin , le théorème du parallélipi|iède des forces peut servir à décomposer une force donnée en trois autres quand les directions de celles-ci sont donnéc*s ; il ne faut pour cela que mener par l’extrémité de la droite tpii représente la force donnée en grandeur et en direction trois plans parallèles, l’un aux forces O et P, l’autre aux forces P et Q , le troisième aux forces O et Q. Le premier coupera la direction de la force Q en un fKiint dont la distance au point M représentera la valeur de cette forc'e , les deux autres détermineront de la même manière les grandeurs respectives lies forces O et P : tout cela peut , pour le moment , vous paraître un jieu dillicile, mais avec im peu de réflexion, il .vous sera aisé d’en concevoir clairement la raison , et une foide de circonstances vous en feront connaître l’importance plies lard.