P X AB = Q X BC
d’après quoi , si l’on connaissait AB , BC et Q , on connaîtrait P en vertu de l’équation suivante :
= QX
AB'
Sup]X)SOiis que I on ait deux poids connus l’un, de 5o kilogrammes et rautre de lo, et admettons que le jxiids glLsseur Q soit aussi de lo kilc^r. Suspendons d’abord le poids de lo kilc^rammes à la balance en A, et faisons marcher le jxiids Q jusqu’à ce qu’il lui fasse équilibre, ce qui arrivera, je suppose , quand il sera venu en D ; faisons une marque eu D , et écrivons que puisque l’équilibre a lieu en Q
Q ; lo k. ; BD ; AB.
Qétant aussi de lo kilogrammes, cela veut dire que AB = BC; plaçons ensuite en A le ]x»ids de cinquante kilogrammes, il faudra jx)ur lui faii-e équilibre faire glisser le poids Q jusqu’en E; marquons ce jjoiiit E sur le levier, nous aurons
5o k. 10 k. 1 BE ; AB
d’où BE = AB X — = 5 . AB
lO
tout cela étant fait, reprenons l’exprc.ssiou générale d’é*quilibre que nous avions tout à l’heure, savoir:
= Qx
BG
AB
qui devient
lo k. X
AB’
BC tombant entre BD et BE on aura
ÜIXIKME LEÇON.
BC = BD + a.
et P = lo k. -j- a', kil.
meltons cela dans l’expression de P on trouve
lo kil. -f- a' kil. =
lo k.
BD + g
"üiT"
= lü kil. -j- lo kil. = lo kil. + kil,
](Bli-E)
à cause que BD = AB et que AB = — (BE — BD) et par suite
kil. = lo kil. X
i (BE— BD)
C’est-à-dire que l’excès de P sur lo kil(^rainme.s sera égal à autant de lois lo kilc^ranmies que a contiendra de lois le cjuart de DE. Or a n’est autre cliose que la longueur CD : donc si on divise DE en f[uatre parties, et qu’on écrive sur les divisions à partir de D, les clnin-c's lo, 20, 3o, /\o, 5o , ce dernier étant en E, on aura les points où il faudra placer Q , pour faire é([uilibre à des poids P , de 10, 20 , 3o, 40 et 5o kilogrammes, et par conséquent {K)ur les peser.
Ensuite et par la même raison il faudra diviser chacune de ces divisions en dix pom’ avoir les
324 MÉnANIQI’E.
kili^ranimes simples , et la balance sera faite. On poiiira même |K»usser plus loin ces divisions et obtenir des indications correspondantes aux dixièmes , aux centièmes de kilogrammes -, mais il est aisé de voir combien de pareils instruments ne jouissent que d’une exactitude illusoire. En effet, iiidépcndaiimient de toutes les causes d’erreur signalées dans la balance simple, on trouve ici celles qui dépendent de l’incertitude des divisions, de la mobilité du poids constant dont le support ne peut indiquer que d’une façon bien peu précise la longueur du bras de levier variable; et enfin , ce qui est pis encore , l’impossibilité de vérilier l’instnament et de s’assurer de sa justesse; car quand même le poids constant serait rigoureusement étalonné , le moindre choc , la plus petite tendance à la fraude peuvent déranger la distance du point de suspension de la Iwlance à celui du corps à peser , et altérer par conséquent tous les rapports de longueur , si indisjiensables à conserver intacts jx)ur jxmvoir ajouter quelque foi aux résidtats des jiesées.
On a fait une modification intéressante de la balance romaine , afin de la rendre propre à l’estimation des pesanteurs spécifiques. Nous en parlerons plus tard , mais il semble que cet instrument plus commode qu’exact n’est guère propi-e à sa destination.
Il existe aussi une espèce particulière de ro-
maille dont je dois vous parler ici, {laree qu’elle est employée dans un grand nombre de fabriques. C'est la balance dont les iileurs de coton ou de laine se servent pour estimer ce qu’ils appellent le numéro de leur fil.
Il sera bon d’indiquer d’abord ce que c’est que le muiiéro d’uii fil. Si vous observez qu’un fil ]x;ut être considéré comme un cybndre à base circulaire , le carré de son diamètre multiplié par sa longueur pourra être considéré comme proportionnel à son volume et par conséquent à son jioids. L’estimation du diamètre étant impossible à cause du défaut de micromètres assez convenables , et surtout à cause du diamètre variable du fil , on conçoit qu’U a fallu recourir au poids du fil sur ime longueur donnée : ce poids divisé par la longueur étant proportionnel au carré du diamètre , U aurait fallu encore une extraction de racine quarrée pour déterminer ce dernier, et de pareilles opérations devenant gênantes par leur nombre cbez des fabricans déjà occupés d’une foule de détails , on s’en tient au rapport du poids sur une longueur donnée, à cette longueur. C’est ce qu’on appelle le numéro du fil , et pour déterminer ce numéro ou ce rapport , on se sert de l’appareil suivant fort commode , et dans lequel vous reconnaîtrez facilement une romaine dont le bras de levier seul varie, tandis que le poids constant luimême n’est que celui de l’indicaleur.
3a6 MÉCANIQtIF..
Imaginez ( planche 1 1 üg. 8 ) une roue ou poulie très-bien tournée , dont le centre est en C et autour de lacpielle est enroidé un fil dont l’extrémité b supjwrte un bassin de Liilitnce ordinaire. Imaginez que l’axe c de la poidie supporte une aiguille c d dont le poids est égal à Q et dont le centre de gravité est en g. Il est xisible que pour faire descendre le point b d’attache du bassin, il faudra soulever l’aiguille cd, ce qui ne jxjurra se faire sans faire monter en même tems le point centre de gravité de l’aiguiUe , et en même tems le poids de l’aiguille qu’on peirt supposer fixé à ce centre de gravité. Siqjposons qu’en mettant un écheveau de coton d’un poids inconnu P sur la balance, on ait fait monter l’aiguille jusqu’en cd : l’équilibre étant ainsi établi , on aura en abaissant la |X3rpendiculaire g h l’étpration
Q + = ( P + tî) ca.
ca étant le rayon de la roue et ^ le poids de la corde a A et du bassin b.
On tire de là :
P + ^ = — X <//« ca
et P = ^ X gb — S.
ca
Supposons actuellement que le j>oids P étant ôté , l’aiguille descende seulement eu cd' j«r l’action
DIXIÈME LEÇON. 3 2y
du poids s du Lassin , on aura d’après cette équation
ca
(J h' étant la perpendiculaire abaissée , dans cette liypollièse , du point y' nouvelle position du centre de gravité , sur la verticale ch.
Substituant cette expression dans la valeur de P on trouve
P = Xgk-^Xg'h' ca ca
ou bien P = ~ X ( ÿA — y'A' ).
ca
D’après cela , si l’on connaissait gh et y' A' , on pourrait de suite déterminer P pour une situation connue de la macbine; et ainsi il ne faudrait pour avoir cette détermination que le moyen de mesurer cbaque fois gh et g'h! . Or c’est ce qui devient fort aisé par le procédé suivant :
Après avoir posé l’appareil bien verticalement, on marque exactement sur le cadran d'e le point d' où l’extrémité de l’aiguille s’arrête lorsqu’il n’y a aucun jMîids sur la bahmee; ensuite on charge le bassin d’un poids plus considérable , par exemple <1 un hectogramme ; l’aiguille remonte alors et sa pointe vient se fixer par exemple en D , sur le même cadran. Alors on abaisse sur le diamètre ce
3 a8 MJÎCANIQUE.
deux perpendiculaires d!i et DI , puis on divise la droite It' en autant de parties qu’on veut avoir de fractions mesurables dans un liectc^iainnie. Ainsi , si l’on veut estimer les jxiids à moins d’un décagrarame , on divisera comme dans la figure l’espace It' en dix parties égales : de cliacune de ces divisions on élève des perpcndiculaiies jusqu’à leur rencontre avec le cadran , on marque sur les points de rencontre les nuniéros d’ordre o , i , 2 ,
3 lo , en commençant par le point rf' et
l’instrument est achevé.
Si vous voulez savoir comment on se sert de cet instrument , imaginez que le poids P incomiu , ait fait monter par exemple l’aiguille jusqu en i à la division numérotée 6 , nous aurons évidem ment :
, beetog.
ca '
et il ne s’agit que de déterminer (
Pour cela imaginons la perpendiculaire di , et la perpendiculaire GH. Nous aurons évidemment d’après notre construction
ci = et' -J- — (cl — et' )
et d’une autre part comme il est évident que GH ,
Digilized by Gf ' jk
* DIXIEME LEÇOW. 3 39
yh , et yA' sont proportionnels à cl , et et et' on aura aussi
yh = y’ h' + (GII-/A')
Substituez cette valeur dans l’expressiôn de P et il vous viendra
P*= iJl!!!!?: X /A' - y'h' 4- - (GH -y' A') ca 10
' ca 10 '
10 ca
, , , * I hectog.
Or que représente cette derniere valeur
(GH — y^')? Il est évident que c’est le poids d’un hectogramme, puisque H est le point où doit arriver Je centre de gravité de Taiguille pour faire éipiilibre à 1 hectogramme placé dans la balance ; ainsi donc P pèsera les 6/io d’un hectogramme ou 6 décagrammes, en sorte qu’on pouiTa bre Je poids du corps sur la division ou cadran.
Tel est ce petit instrument dans lequel le corps à peser cherche pour ainsi dire lui-méme l’ejpression de sa pesanteur, et qui par conséquent rte semble nécessiter aucune recherche ni peine de la part de la personne qui a besoin de s’en
33o -THÉIJAMOrE. *
servir. Il faut observer |X)urtant qu’il est sujet à un grand nombre de défeetuositcs. D’aijord des- ' tiiié, au moins en général , à ]>escr t|es substances d’un ]x)ids jxîii considéi’able, la moindre irrégularité dans la eonjx; circulaire de la .pmlie j>eut altérer la précismn des résultats ; ensuite le poids du cordon qui s’allonge de jdus eu plus, devrait éti'C défal([ué du poitls de la substance pesée , et c’est ce (jul en gén-'-ral est imjwssible; enfin le frottement sur laxe de rotation de la jioulic est encoi-e une caii-st: d’ei reur qu’on jxiul d’autant moins éviter qu’il faut augmenter le diamètre de Taxe à fur et mesure qu’on veut jxîser des corps* plus considérables. Quoi qu’il en soit j’ai cru devoir vous en ])ârler ici , jiarce que cet instriunent frérpicmment employé dans les fabricpies , peut d’ailleurs vous être utile dans un grand nombre de cas où il ne s’agit que d!obtenir des approximations peu considérables.
Il y a enfin d’autres balances qu’on nomme en général pexom , et qu’on pourrait nommer mieux encore balances de réaction, parce que c’est à la réaction des corps élastiques, et particulièrement de ceux ((u’on nomme rexsarts, qu’on doit leur . propriété de mesurer la ]x?santeur' des corps.
• Dans un corps parfaitement élastâpie on reconnaît en effet un 'caractère particulier très-propre à remplir ce but ; il consiste en ce qu’un tel coqis étant comprimé par l’action d’une forc'e quelcon-
niXIÈME
que P , perd s;i l'orme , mais' lüud toujours à ia reprendre eu développant pour y revenir une fonce préciscmeul égale à P ; après quoi si on le eoiuprime de nouveau de manière à lui faire lepi’endre ejLactemenl la forme comprimée dont nous avons parlé , (juelle tpie soit la nature du pouvoir qui ail obtenu de nouveau ce changement de forme , il. n’en aura pas moins fallu qu’il l'eprésente sojjt d’un coup , soit par ses actions successives l’équivalent exact de la force P.
Il n’existe à la vérité dans la nature aucun corps absolument élastique ; oependajit quelquesuns , du moins dans de^ certaines limites de compression ou d’extension , peuvent être considérés comme jouissant d’une élasticité à pe^ prés {wrlaite ; mais tous* ne sont pas pour" cek enœre propres à faire des balances ; l’acier parait jouir des propriétés les plus convenables, et c’est aussi lui qu’on employé de pi'éférenoe.
Ijc plus souvent on lui donne la forme d’iui ressort courbe dont l’extrémité inférieure est soUn dement fixée à une plaque en fer , taudis que sou extrémité supérieure peut être mise en mouvement et ne tient qu’à une tige verticale en.fer, muni d’une crémaillère qui s’engage dans un pignon denté d’mi très-petit diamètre fL\é au centre de la plaque de fer et dont l’axe porte une aiguille. La plaque de fer porte en outre à sa partie supérieure ’ un annqau dfétiné à sus^Kndre
33 a MÉCANIQUE,
tout l’appareil , tandis qu’à la partie inférieure de la crémaillère est attaché un crochet 'qui sert à soutenir les corps que l’on désire peser.
Pour compléter l’instrument , on attache successivement à ce crochet des poids de i , a, 3, etc. kilogrammes ou heclogr. , ou autre mesure <Je "3 pesanteur , suivant le but et la grandeur de l’instrument : à chaque poids que l’on place ainsi , correspond une certaine inflexion du ressort , et une position déterminée de la crémaillère , du pignon et de l’aiguille. On marque sur le cadran la place de la pointe de cette dernière ainsi que l’indication du poids suspendu ; on répète cette opémtiou jusqu’à ce que l’on ait atteint les limites du cadran, pu de la fo(ce de résistance du ressort, puis l’instnunent se trouve achevé ; si l’on veut s’en servir pour trouver le poids d’un corps, on n’a alors qu’à suspendre Ce coiqis au ciechet inférieur et en le soulevant par l’anneau supérieur , le ressort s’infléchit , l’aiguille marche , et vient s’arrêter dans une des divisions du cadran qui indûpie de suite le poids du corps.
On a donné plusieurs formes diflférentes à ces utiles ihstmmens dont le peu de pesanteur et la^ commodité compense assez bien les petites causes d’erreur qu’ils renferment ; le pliis soigné de tous et aussi l’un des plus usités a été consti\iit par Regnier qui lui a donné le nom de dynamomètre, à cause de sa destination qui est de raesuier la
force développée à chaque instant par un moteur quelconque ; on peut le regarder comme une modiGcation du peson indiqué ei-dessusj Seulement au lieu du ressort demi-circulaire , on employé un ressort elliptique fermé. Lorsqu’on veut s’en servir pour estimer des forces ou des poids peu considérables , on comprime le ressort dans le sens de son petit axe; on l’allonge aü contraire dans le sens de km grand axe lorsqu’on veut estimer des forces ou des poids considérables : à chaque axe correspond une série de divisions particubères , et par là l’instrument jouit de la faculté de servir à peser dans un plus grand nombre de cas.
On a souvent l’occasion de peser des corps d’une grande masse et qu’il est fort dillicile de soulever ; il en est même que l’on ne peut pas songer à soulever du tout, comme les lourds cHarriots qui fréquentent nos routes , et dont cependant il est indispensable (Jàns beaucoup d’occasions de connaitre le poids. On se sert alors de balances d’une nature particulière qu’on appelle balance ou pont à bascule.
Dans le cas où le poids n’est pas extrêmement considérable Prony a projx>sé un moyen fort ingénieux qui consiste à placer le coi-ps sur un plan solide triangidaire , portant un anneau à chacun de ses angles, et reposant sur trois pointes correspondantes aux anneaux : au moyen d!un peson on soulève aloi"s successivement chaque coin du triangle d’une très-petite quantité, et on note
334 mécanique.
l’indication de l’aiguille ; ensuite on fait la somme de ces trois mesures et l’on a le poids entier du corps : ceci gort naturellement de ce cpie vous connaissez déjà très-bien , savoir que la résultante d’autant de forces qu’on le voudra parallèles entre elles est précisément égale à leur somme. Or il est visible ici qu’en soulevant le plateau d’une trèspetite quantité ou trouve à cliaipie angle la composante du poids qui correspond à cet angle. Ainsi la somme de ces trois composantes donnera la résultante totale ou le poids cherdié.
Quant aux autres balances ou ponts à bascule ^ quelle que soit leur œnstruction , elle a toujours pour but de jieser un"’ corps d’une grande masse au moyen d’une autre, plus petite, ce qui offre deux avantages, le premier de ne pas exiger le déplacement et l’emploi de poids considérables /le second de n’exiger qu’un très-petit mouvement du coqis pesé pour faire parconrir au poids (^lilibrant mi assez grand espace, ce qui permet d’apercevoir facilemeut quand la condition d’équilibre est satisfaite ; on remplit toutes ces conditions en disposant lu bascule de telle manière que son plan ne paisse dans aucim mouvement cesser d’être horizontal, et que le |X)ids qui doit faire l’équilibre ne puisse en même tems se mouvoir que dans une ligne verticale. Enfin on fait en sorte qu’à un mouvement uniforme du plan dans le sens vertical , réponde un mouvemeut aussi unii’oriue du poids ,
et la bascule est alors terminée ; on voit que c’est ici un cas de l’appLicatioii du principe des vit^ses virtuelles. .
Je terminerai ‘enfin tout ce que j’avais à dire sur les balances et les pesons ]>ar une dernière réflexion.
Nous avons vu que la force d’attraction de la terre suit la raison directe des masses et inverse des carrés des distances . du centre du globe au centre des molécules attirées; en sorte que la force qui sollicite un élément de la matière vers le centre de la terre change et diminue avec la distance de cette molécule , en d’autres termes ^n poids varie avec sa distance de la surface du globe. Cependant si l’on transportait dans les deux bassûîs d’une balance deux corps équivalons en poids ils ne cesseraient point d’être en équilibre, à quelque hauteur d’ailleurs qu’ils fussent placés, ainsi on n’aurait aucune donnée sur le décroissement de la pesanteur par ce moyen.
Mais il n’en serait pas de même si l’on transportait à une certaine distance du centre de la terre un corps suspendu au crochet d’un peson; on verrait alors le poifls inditjué par l’aiguille varier continuellemen^ et devenir toujours moindre : on aurait ainsi un moyen de reconnaître par ex[)érience la loi de décroissement que nous vous avons fait connaître.
Ce procédé pourrait ensuite être utile pour re-
coimaiti'e les distances au centre de la terre de
certains points de sa surface en y déterminant
l’intensité de la pesanteur. Mai^ comme il existe
un moyen plus sûr dont nous aurons à parler plus
tai’d , nous n’y insisterons pas davantage pour le
m<Muent.
ONZIÈME LEÇüxN.
ZJm iour ou treuil ; du frottement sur !e.f tourillons ; du frottement sur la roue et l’ arbre ; de l’action due à la raideur et au frottement des cordes : modifications du tour.
I. Le tour ou treuil est un inslminetit de la plus grande utilité et dont les \ariétés ou modifications se représentent dans la composition de presque toutes les machines, surtout de celles (pii servent à ti ansjiorter , à mouvoir, ou enlever des fardeairx. St's combinaisons avec le levier , le plan incliné et le <x)in fournissent en outre un gi'aiid nombre de macbines simples ou d’outils du plus grand intérêt dans la plupart des arts inécani(|ues. Nous commencerons par le cas le plus simple.
Dans cet état on peut considérer le treuil (ximiiie l’assemblage solide et invariable de quatie cylindres concentriques à bas(?s circulaires, mais de diamètres dilTérens. Celui du plus grand diamètre (pl. 13 fig. 4) ADE a aussi généralement réjiaisseiir la moins considérable : on le nomme la loue du tour ; le cylindre B'B qu’on nomme Xarbre du tour a
plus de longueur et moins de diamètre ; enfin aux deux extrémités de ce dernier se trouvent les deux autres cylindres C et (7 ^aux entre eux , d’un diamètre plus petit tpie celui de l’arbre et destinés à fixer la position de l’axe de rotation avec l’aide de coussinets ou colliers (planche la fig. 5) dans lesquels ils s’emboitent exactement : on nomme ces derniers les touriUom.
Lorsqu’on veut faire servir le treuil à l’équilibre de deux forces P et Q, on a soin de fixer l’une par un cordon à la roue et l’autre aussi par un cordon à l’arbre du tour, ainsi qu’on le voit dans la fig. 4» de manière à ce que l’une des forces tende à faire tourner le treuil dans un sens , tandis que l’autre fait effort en sens contraire. Appelons P la puissance et Q la résistance , et supposons , ce rpi , comme nous le sa> ons , est toujours possible , que ces deux forces sont dues à la pesanteur.
Il n’y aura rien de plus aisé alors que de trouver les conditions d’éipiilibre des deux forces ; en efl'et si nous nous rappelons ce que nous avons dqà démontré plusieurs fois, il vous jiaraîtra naturel de faire mouvoir la machine, d’estimer les chemins parcoimus et d’établir entre la pui.ssance et la résistance, le rapport inverse de celui des espaces parcourus; tout cela, conune vous allez le voir, devient extrêmement simple dans l’appareil dont il est (piestion.
Soit pour cela , 11 le rayon de la roue, r le rayon
ONZIÈME LEÇON. 33ç)
de l’arbre du treuil : faisons mouvoir la maclûne de manière à ce que le poids P , par exemple , descende en P' , et (jue le poids Q monte en Q' ; il est visible qu’alors le jwint A viendra se placer quelque part en A' et le point B quelque paît en B' y de manière à ce qu’on ait
