PU0X(P4-Q)X— =^>X(P + Q

on trouve pour la condition d’équilibre dans le ças où la force P tendrait à l’emporter sur Q

PX A-Q X a-<ï)X(P + Q) X«=o.

D’une autre part on a

AppeUant K la valeur de , on trouve

d*où ,

A = K. R , « = K. /) et a = K. r Ainsi au lieu de l’équation ci-<lessus

P X A— Q Xa — <PX(P+Q)X« = o oa trouve

KxPxR— KxQXr— 0XK X(P+Q)X« = o ou en ôtant K

P XR — Q Xr — ^(P4-Q)p = o.

ou enfin

PX(R — <?.P) = Q X (r (p.p)

d’où l’on voit que le rapport de P à Q est dans ce cas

au lieu d’être comipe tout à l’heure rçal à

D’après cela on voit que pour que le mouvement soit prêt à s’effectuer dans le sens de l’action de la force P , il faut rendre cette dernière plus considérable que lorsqu’on fait abstraction du frottement. C’est d'ailleurs ce qui est évident de soiïnème.

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35o MÉCANIQUE.

Si l’on voulait que ce soit la force Q qui soit sur le point de l’emporter , il faudrait écrire

P r — Cp^p

ce qui exige au contraire que P soit moins grand que dans le cas de l’équilibre sans frottement : ainsi dans ce cas on peut soutenir un poids Q avec ime force moins considérable que si le treuil était sans frottement.

4. Tout ce que nous venons de dire ressort du théorème des AÛtesses virtuelles placé dans le cas particulier où la somme des moniens virtuels des forces peut être à volonté nidle ou négative.

Eu effet , on voit que le frottement agissant toujours en sens contraire de l’espace parcouru par le point frottant , le moment de ce frottement sera toujours négatif quel que soit celui des forces P et Q. Or ces deux derniers peuvent changer à la fois de signes , mais ils seront du reste toujours de signes contraires, ce qui mettra leur somme sous cette forme

tandis qu’en même tems le moment virtuel des frottemens produits sera toujours

d’où , dans l’acceptation la plus générale , la somme

des momens virtuels des forces qui agissent sur le système sera

ou K j ±(P.R-Q.r)<p.(P+Q)., j

quantité qui ne contient d’autre variable que K qui est positive, et qui par conséquent étant une fois négative le sera toujours. Si donc on écrit d’abord qu’elle est nulle , ce qui se fait de deux manières , savoir :

et ce qui donne les deux équations limites déjà trouvées , on sera sûr que la somme des momens virtuels sera négative pour toutes les valeurs de P et de Q qui donneront à P. R — Q. /• une grandeur comprise entre les deux limites ainsi obtenues : ainsi il y aura , avec l’influence du frottement , une infinité de manières d’établir l’équilibre du treuil.

Pour rendre ceci plus clair , supposons qu’on ne cherche que le rapport S des forces P et Q , et non leur grandeur absolue on aura à résoudre les équations

S.Q. R — Q. /• = 0. (S + I )Q. !> et Q. r — S. Q. R = 0. (S -f I ) Q. P

353 MÉCAMQVE.

d’où l’on tire pour k première

S. (R — r) R — r = 0. S. p ~l- 0. p ou S. ( R — 0. p) = r -f- 0. P et pour k seconde

et enfin les deux valeurs suivantes c P r —0. P

ayant ces deux valeurs de S, il est visible que toutes celles qui seront comprises entre ces deux limites rendront k somme des vitesses virtuelles nulle et par conséquent satisferont à k condition d,’equilibre.

Or il est facile de voir que toute quantité con^ prise entre S et S' sera de k forme

mS -f"

ou + ”• D —

ce qui équivaut à

R.r+<p». P» __ m — n ^ 0. p.(R-|-r) Ra ^ (pa,pt m-{-n Ra — 0^, pa

ONOÈME LEÇON. 3.^3

expression qui peut prendre une infinité de valeiu^ qui toutes donneront entre P et Q un rapport capable d’établir l’équilibre.

Je crois vous avoir exposé ici la vraie manière d’envisager la question du frottement dans ses rapports avec l’équilibre , et vous voyez , comme je vous l’ai déjà dit , que l’éqiiation générale dont on se sert en mécanique est incomplète et ne peut servir comme la nôtre à la solution des problèmes relatifs aux phénomènes dans lesquels il se développe des forces ou résistances indépendantes de l’état intrinsèrjue du système , mais déri\ ant de ses rapports de position avec d’autres systèmes.

Revenons maintenant à l’examen de l’équation

qui donne la valeur du rapport de P à Q lorsque P tend à donner le mouvemerjt à la machine.

On voit que f’excès de grandeur de — sur—

dépend directement de la grandeur de 0 et de ; ainsi donc quand on voiulra produire du mourement au moyen d'un treuil , on aura d’autant jdux à ajouter à la force qui ferait è.^uilibre à la résistance quo'n doit vaincre , que les tourillons auront plus de rayon , et que leur surface produira plus de frottement sur les appuis.

Voilà donc pourquoi on cherche toujours à

diminuer le diamètre des pivots dans toutes les machines tournantes , et aussi pourquoi on les polit souvent avec tant de soin : le diamètre rendu moindre diminue la qvianlité p et le poli diminue la quantité <P. Vous voyez en outre que pour un diamètre de tourillons donné , et connaissant le métal ou la substance qui les compose ainsi que les coussinets , \ ous pourrez toujours déterminer P

(p. P et par suite

Vous \0ye7. di^à ici l’origine d’une -foule de moyens d’aider le mou\ enient , sans jierdre autant «le forces vives que par des frotteinens directs.

Au nombre de ces moyens de diminuer le frottement , ^ ous rcinai’querez celui qu’on emploie dans le trans|X)rt des matériaux , ou des fardeaux d’ime esjièce quelconque sur des plans plus ou moins inclinés par rapport à l’horizon.

La machine la plus ancienne destinée à cet usage, a sans doute été le traîneau ordinaire ; vous voyez encere employer, et même as.se/, fréquemment, un appareil de cette nature , surtout lorsque des circonstances particulières ont diminué le frottement et aplani les incgaliu's du sol , comme dans les temjis de neige et de gelée.

Cependant quelle que soit la façon d’iui traîneau , il ofl're toujours de grandes résistances à la force motrice, üii est parvenu à détruire une portion de ces résistanc'cs en jdaçant au-dessous du Iraî-

iipaii îles rouleaux qui servent à éviter une |iorlioM du frottement : tel est le inoyeii donl se servent souvent les maçons ]JOur transpoi ter les pierres de taille d’un volume un peu considérable.

Enfin on a constniit l’appareil lieaiicoup plus parfait , connu sous le nom de voilure , et donl les modifications comprennent la cbarrette , la * brouette, le cramion, le clûen du mineur, etc.

l^ns toutes ces machines ou modifications d’une même machine , le principal perfection nement consiste dans l’emploi des roues : or il nous sera facile d’i ii apprécier les avantages.

Une roue est une circonférence percée d’un axe perjKüidicidaire à son plan : quelquefois ce plan est entièrement solide , quelquefois il est formé de l’assinnblage de piètxîs qu’on nomme jantes et qui en forment le limbe ; ces jantes sont unies au moyen de rai/ons avec une pièce de bois nommé le moyeu et qui n’est qu’une siu’làce de révolution : le tout est assuré jiar un ou plusieurs cercles de fer qui serrent le limbe du dehors et au dedans. Enfin le moyeu est lui-même percé d’un trou concentrique à son axe et dans lequel .s’engage un segment de cône droit appellé ï essieu , autour duquel tourne toute la roue. On voit de sidle l’avantage d’une telle disposition quant à la perte de force produite par le frottement ; car si r est le rayon de l’essieu et R celui de la roue , si est le rapport de la pression au frottement , ■ cl P

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la cliai-gc de la voiture , on n’aimi à ajouter à la

force de traction que la quantité 0. P. — au lieu

de la quantité 0. P , qu’il faudrait y ajouter dans le cas d’un traîneau : d’api-ès cela si la roue , par exemple , avait quatre pieds de diamètre et l’essieu deux pouces , le frottement serait évidemment