Q'““R ^DF“T ^ R

d’où il suit que le rapport entre la force dirigée perpendiculairement à l’axe et celle parallèle à l’axe ne dépend que de deux choses , savoir la longueur de l’arête ac qui joint les deux extrémités de l’hélice et la distance R de l’axe à la force P qui lui est perpendiculaire.

Jusqu’ici nous n’avons considéré qu’un cylind|ti d’une hauteur finie et une hélice d’une longueur finie. Mais nous pouvons cependant trèsbien concevoir un cylindre infini , auquel appartiendrait la partie de cyUndre marquée dans la figure i o ; si ensuite nous imaginons que pendant le mouvement forcé du cylindre , un style touche quelque part sa surface en un point , ce style ou ce crayon marquera sur le crjlindre une autre hélice parfaitement identique avec la première, et qui n’en serait que la continuation, si elle avait un point de conunnn avec elle. C’est ainsi qu’on peut prolonger une hélice indéfiniment en-dessus et en-dessous d’une quelconque de

ac

ses parties , et c’est ainsi que vous pourrez supposer qu’a été tracée l’hélice indélinic a” a' a cc' c" ( fig. 1 1 ).

Il vous sera également aisé de concevoir pourquoi toute portion E E' d’arète du cylindre comprise entre deux traces successives de l’hélice est toujours la même , puisqu’il est évident que les deux points traceurs fixes ne changent pas leurs relations de position dans le mouvement du cylindre , et par suite que chaque fois que la même arête passe sous eux , le point qu’ils y marquent doit toujours être au dessus ou au dessous du précédent d’iuie même quantité qui est celle dont le cylindre avance à chaque rotation.

Cette longueiu* constante qui sépare les points de l’hélice situés sur la même arête s’appelle pa* de l’hélice : elle est dans notre figure égale partout à ac^ ainsi l’équation que nous avons indiquée pour l’équilibre devient susceptible de s’énoncer ainsi :

Lorsque une puissance P et une résistance Q , agissant l’une sur l’autre au moyen d’un cylindre gêné dans son mouvement par la condition qu’une hélice tracée sur sa surface , passera toujours par un point fixe ; si ces deux forces sont disiiosés de manière à ce que l’une Q tire dans le sens de l’axe du cyKndre et l’auti-e P tire en sens perpendiculaiie , à ime distance R de l’axe ; lu relation nécessaire entre elles pour l’équilibi-e c’est que la fuiteance soit à la résistance comme le pas de

ONZIÈME LEÇON. SqS

P hélice est à la cinonfirence du cercle décrit par le point d’application de la puissance.

Ainsi cette dernière force sera d’autant plus avantagée par rapport à la résistance , que , toutes choses égales d’ailleurs, elle agira sur un plus grand bras de levier, ou que le pas de l’hélice sera moins grand.

Pour forcer le cylindre à suivre la loi de mouvement dont nous avons parlé , on a recours à la construction suivante.

Gîncevez ( planche 1 3 , fig. i , ) un rectangle ah c d dont le plan soit dirigé de manière à passer par l’axe du cylindre ; imaginez ensuite que ce rectangle soit assujetti à se mouvoir autour du cylindre de manière à ce que l’un de ses points, le }N)int a par exemple , ne quitte pas l’iiélice O A ffl A . . . tracée sur le cj lindre , alors il vous sera facile de voir rpie le parallélogranmae rectangle dont nous venons de jjarler engendrera autour du cylindre une saillie régulière composée d’une infinité d’hélices superposées les unes aux autres et limitée par trois surfaces , dont une , celle engendrée par le coté bc, n’est qu’une portion de surface cvhndrique comprise entre deux liélices, tandis que les deux autres engendrées par les côtés. ah et cd sont des surfaces gauches , nommées surfaces héliçoïdes. Le cjlindre ainsi armé de cette saillie qu’on noinine filet, forme ime véritable vis. 11 est facile de voir que le pas de toutes les hélices

engendrées ]>ar les divers points du rectangle est le même : ce pas devient donc le pas de la vis, c’est-à-dire la distance entre deux points corresdans de l’hélice saillante , mesurée dans le sens de l’axe de la v"is , ou , en d’autres termes , la «piantité dont la vis avance dans le sens de son axe pour un tour entier.

QuclqueFois au lieu d’un rectangle générateur du fdet de la vis on cmplove (lig. a, ])lanche i3) un triangle aàc; vous pouvez concevoir alors que le lilet engendré ne pi'ésente jdiis que deux surfaces , toutes deux , du reste , assez cf>mpliquées , et qu’on nomme aussi surfaces héliçoïdes.

Dans le ]nemier ras la Ais s’ajqiellc vis à fdet lectangiilaire , dans le .second, \is à fdet triangulaire.

I-i première variété de vis est fiécjueinmenl employée pair obtenii' des mouvemens qui demandent Ixîaueou]) de douceur et d’exactitude ; on la relrouxe putieulièrement dans les tours méaini([ucs , les alesoirs , etc.

La seconde est plus souvent enq)loyée aux usages qui ne demandent jxis autant de pql fectioii , et aussi dans les circonstances où il s’agit de pénétrer dans des corps résistans : on donne aloi’s à la vis une forme conicjue, alin qu’elle agisse à la manière du coin : telle est, comme vous le savez, la disposition jxn liculière de la vis à bois.

Pour former l’écrou de la \ is, vous jx)uvez con-

ON7.1KMK LEÇON. SqS

cevoir qu’on ail modelé uu corjis mou sur elle; alors le lilet formera dans ce corps un creux qui sera le logement obligé du iilet de la vis dans tous ses raouvemens ( fig. 3 et 4 )• Cet écrou dans la léabté est ordinairement un morceau de bois ou de métal rectangulaire d’une épaisseur moindre que la longueur de la vis. Les vis à bois font leur écrous elles-mêmes en avançant dans le bois où elle se logent.

Ija fabrication des vis se fait assez simplement : on se sert pour cela d’instruniens qu’on nomme filières, et qui ne sont autre chose qu’mi écrou de métal très-dur , ordinairement d’acier fondu et trempé : après avoir préparé le lil métallique de manière à avoir un diamètre un peu plus grand que le diamètre apparent de l’éciou , on le fait entrer de force dans cette ouverture , et en saisiss:mt son extrémité avec une pince ou dans un étjiu on fait tourner le iil ou l’écrou de manière à tracer sur le lil l’empreinte e.xacte de l’écrou sur une longueur déterminée et alors la vis est faite.

IjCS filières .sont de deux geim's ; pour les visd’im petit diamètre , l’écrou est {x;rcr en {)lein métal et ordinairement il s’en trou\e plusieurs de calibres ilifférenls sur la même pLapie d’acier fondu : ( fig. 5 ) ]wur les vis d’un diamètre j)lus considérable , l’écrou est composé de deux }>ièces cpii sont suscejvtible de s’éloigner et de se rapprocher, (fig. G ) au

moyen d’un cadre à rainure dans lequel elles sont placix's. L’instrument est alors armé de deux leviers pour pouvoir agir avec plus de force, et d’une vis ou d’une clef jiour écarter ou l'approcher les pièces de l’écrou.

Quand il s’agit de former l’écrou pour une vis d’un filet connu , on en fait une autre tout-à-fiiit semblable , dans laquelle on pratique des entailles longitudinales , «jui interrompent le filet et lui donnent la forme du coin : on introduit ensuite cette vis , qui est d’acier trempé, dans le cylindre ou l’on veut tracer l’écrou ; dans le mouvement de rotation, les angles saillans du filet jiénétreut dans dans le métal de l’écrou et enlèvent le creux nécessiuie pour loger le filet de la vis.

Dans les machines où l’on emploie la vis, tantôt l’écrou est immobile tandis que la vis tourne, tantôt c’est l’écrou qui tourne tandis que la vis est immobile, enfin quelquefois les deux piéices se meuvent en même teins. Vous avez un exemple de cette dernière combinaison dans la presse à papier , ou presse à satiner des imprimeurs ; cette presse est composée de qiuitre montans verticaux trèssolides, (voyez fig. ■7), supportant une traverse horizontale dans laquelle est logé un écrou : une forte vis tourne dans cet écrou au moyen dè leviers qui traversent sa tète, et fait marcher avec elle un plateau horizontal A , très sohde , assujetti à glisser entre les montans sans prendie de niouve-

Digitizec

ONZIÈME LEÇON. ÔQ'j

ment de rotation. Les objets auxquels on veut faire subir la pression sont placées en B, entre le plateau inférieur C et le jdateau mobile A. On tourne , les leviers dans le sens convenable pour rapprocher le plateau A du plateau G , et la pression est obtenue.

Si l’on voulait savoir quelle pression un homme peut exercer avec un semblable appareil , dans lequel la vis aurait un pas de lo centimètres , la longueur du levier étant à partir de l’axe de la vis de 2 mètres , on aurait ]X)ur le rapport de la pression Q exercée dans le sens de l’axe de la vis , à la force P apphquée à l’extrémité du levier.

P O, lO. 1 t

et si l’on supjxwe comme nous l’avons déjà fait P = 25 kilogrammes on aura Q = 25 X 1 25 = 3 1 25 kil(^raimiies valeur qui jjeut être quadruplée en employant quatre leviers au lieu d’un seul , comme cela se j)rati(pie assez fréquemment.

Quelquefois l’on donne le mouvement de rotation à la vis au moyen d’un système de roues dentées : alors on peut aiigmentei' considérablement la'pi-ession.

Une chose qu’on observe , lorsqu’on se sert de semblables presses, c’est qu’après avoir comprimé des corps doués ceiiendaut d’élasticité , jusqu’à un

398 MÉCAMQUI.

certain point , si on abandonne la presse à ellemême, elle ne revient pas en arrière et leste immobile en continuant la pression. Cette circonstance singulière est due au frottement et vous allea , le concevoir de suite.

Il est visible que l’on ne peut concevoir le mouvement de la vis dans son écrou sans admettre eu même lems une pression et ]ku' suite un frottement de quelques parties de la vis sur l’écrou ; ce frottement doit être mis en ligue de couq>te dans la reoljerebe de l’éijuilibre de la vis : mais au premier abord comme il se présente la diilicidté de savoir quels sont les points du système où ce frottement se développe , on jieut supposer que la résultante de toutes les pressions passe sur la série des points moyens de la surface du lilet ; alors il ne s’agit que de déterminer cette pi’ession.

Pour cela observons qu’elle est due à deux causes : d’abord à la force Q , ensuite à la force P perpendiculaire à l’axe ; désignons ensuite jiar i> le rayon du cylindre qui contient riiélice moyenne cjue novis supposerons avoir un pas égal à p : ensuite désignons , pour un point quelconque de cette hélice , j>ar 0 le rapport du frottement à la pression jKJur ‘deux surfaces de la nature de celles de la vis et <le son écrou : l’angle formé jKir la force Q avec la surface héliçoïde du fdet aura évidemment P ■ • 1

pour cosinus — ainsi la composiuitc

normale produite par Q sera Q X —

d’une autre part l’angle formé par la composante P de P avec cette surface aura pour cosinus P

= ainsi P' produira une pression nor-

yp* + 2

male t^ale à P' X

si l’on observe

ensuite cpie pour que P' puisse remplacer l’action

de P il faut que l’on ait P' = , on verra

que la pression noniiale produite par P est égale

d’après cela la somme des pressions normales est donc :

QX25rp + PXpX

Pj

Ce (jui donne un frottement ^al à

QX 2Tp-l-PXi>X — /•=<? X - ^

Maintenant, faisons faire un tour entier à la vis:

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4oo mkcamquk.

l’espace parcoum par la force P sera 2 t R , celui parcouru par la force Q sera p et enfin celui parcouru pir la forqe f sera évidemment la

lon^eur de l’hélice ou 2 *■ ,3 * -j- P* ce dernier espace sera toujours parcouru en sens contraire du frottement , en sorte que le moment virtuel de f sera toujours négatif, tandis que ceux de P et Q poun'ont être négatifs ou jwsitifs , mais seulement des signes contraires , ce qui donne pour l’équation de l’équilibre

ou = O.

et par suite

P x(^23rR:ip0.p— ^ — Q(p. + 2a‘.p.<î))<;o

et désignant -y par K on voit que l’équilibre

existera pour toutes les valeurs de K qui satisferont à la fois aux deux inégalités suiv antes.

K ( 2 tR — <î>.p. — ) — (p+ 2rp. < O.

et K ( 2 »■ R -j- — ) — (p — a a- p. (?) <0.

Or 11 est facile de voir que ces valeurs de K sont toutes comprises dans la formule

(p 2Tp.(p) P— arp.O

2 *■ Il Ç.p. — 2 «■ P -j- <p.

m et w élant des nombres entiers arbitraires.

De là on déduit de suite que l’é<p.iilibre de la vis avec frottement peut avoir lieu d’une inlinilé^ de manières : d’une autre part comme il est facile de le voir cette valeur de K est toujours comprise

P 2 T p. (p P 2 T. p. Cp

entre — ^ et — ; ce qui

2 a-. Il — (p.p.

prouve que ces deux quantités sont les limites du rapport K convenable à l’équilibre , et par conséquent correspondent aux états d’équilibre où l’une des deux forces est prête à l’emporter sur l’autre ; ainsi l’on aura

2T. K Cp.p.

lorsfpie la force P sera prête à l’emporter et

lorsqu au contraire ce sera la •' Ji’ce Q qui sera près de l’emporter sur la force P.

4o2 mécanique.

Or dans ce dernier cas si l’on suppose ipie l’on ait /> = a. X. p. <P , équation qui dépend de la construction de la vis et de la matière dont elle est formée , on aura évidemment

= O , et P = O.

d’où il résulte «pie quelle «pie soit la pression Q la vis restera en équilibre au moyen du frottement seul, puisque la force tangentielle P nécessaire pour emjiècher le mouvement se réduit à Q.

L’éfjnation j> = 2 t. p- 0 , donne jxnir condition «|ue le rapport entre le pas de la vis et la longueur d'un tour entier de l’iiélice soit égal au rapport entre la pression et le frottement pour les «leux surfaces, condition qu’il est toujours jiossible de remplir.

Lorsfpie celte condition est remplie , si l’on veut eherclier quelle doit t'‘lre l’expression de la force P pour qu’elle soit pr«Me à l’emporter sur la,résistaiK'c Q on trouve

P P 2 ^ p. 0 ;* îT R — 0. p.

et en observant que p — 2 tt p. 0 celte équation devient :

P 2 fl. p

2 X R — 0*. X 2 tI{ R ( I — 0^).

ce qui domie jKuir P une valeur uii peu plus que ilowLle (le cc'lle qui serait nécessaire sans le frolleinenl. Ainsi l’on voit maintenant facilement comment il se peut faire que bien qu’il faille une force ass(^ considérable pmir faire tourner la vis d’une presse , on peut ensuite l’abandonner à elle même sans danger qu’elle ne revienne dans le sens opposé à la pression qu’on veut obtenir.

La vis n’est pas seulement employée à la construction des presses : ses usages sont infiniment multipliés dans les arts , et l’on peut dire que c’est un des organes mécaniipies les plus utiles. On l’a substitué à la crémaillère dans le cric : dans cette construction , on employé une forte vis dont la partie inférieure porte une roue dentée. Cette roue dentée est engagée dans im pignon lequel ainsi que lu roue dentée fait partie composante d’un assemblage rectangulaire très-solide qui glisse dans le prisme droit formant le corps du cric. Le pignon reçoit son mouvement au moyen d’une tige carrée en fer h; long de lacjuelle il glisse à l’aide d’un carré dont il est jiercé à .son centre : et cette tige cari('e marche par deux roues coniques *dent(ies dont l’une est lixée à son extrémité et l’autre tient à l’axe de la manivelle. La doidJe corne du cric , |)cut prendre un mouvement de révolution indépendant de celui de la vis, afin de pouvoir rester immobile on de suivre les mouvemens de l’obstacle loiscpi'on lait agir le cric et tourner la vis. Celte

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^o4 MÉCANIQUE.

espèce de cric , un peu j)lus dispendieux que l’autre, à pour elle l’avantage d’un mouvement très-doux et celui de pouvoir développer vme grande force.

On se sert encore fréquemment de la vis pour manœuvrer les freins , organes mécaniques qui , comme nous l'avons v u , servent à détruire sans secousses, ni chocs ou contre-coups, un mouvement acquis, ou à enipceher son accélération ; on trouve un exemple de ce dernier emploi dans la vis qui sert à presser contre les roues d’un fort chariot les deux plaques de hois destinées |)ar leur flottement à empêcher les roues de tourner, et par conséquent à opjxjser leur frottement à la force (jui terni sur les chemins incUnés à en accélérer la vitesse. J’observerai en jvassant que ce mode d’enrayage , bien que conmiodo , a néanmoins l’inconvénient grave de laisser jxirter tout l’effet du frottement sur la roue , et par suite de la fatiguer excessivement et de tendre à la démembrer : le sabot ou frein ordinaire ne présente pas cet ineonvénient , et protège la roue contra ses résultats , ainsi il me semble à préférer.

Quelquefois pour augmenter la résistance de la vis , on la fait à plusieurs filets : c’est-à-dire qu’on trace sur sa surface plusieuis bélices }>arallèles dont chacune engendre un filet particulier. Il est visible dans ce cas que l’écpiilibre a lieu comme s’il n’y avait qu’un seul de t'es filets : ainsi il faudra

Lien se gai’der de prendre la distance entre les arêtes correspondants de deux lilcts consécutifs jHJur le jias de la vis , mais au contraire on prendra la distance entre les deux parties d’un même lilet correspondantes à la même arête cylindrique.

Ijes vis destinées à se mouvoir avec rapidité dans le sens de leur axe , et qui doivent supporter dans ce sens de grands efforts , sont construites de cette manière ; on s’en sert surtout {X)ur les balanciers à frapper les médailles et les monnaies. On en fait aussi quelquefois usage pour les vis destinées à produire un mouvement très-régulier , comme certaines vis de tour et d’instnm.ens à diviser ; ici le double Clet est simplement employé comme comjjensateur , l’un des deux corrigeant les défectuosités de l’autre.

Les instruments de matliématiipies exigent quelquefois qu’on puisse estimer avec précision des distances extrêmement petites et dont la longueur seiait inapjiréciable jxiur les mesureui's ordinaires. Les vis sont fréquemment emjiloyées dans ce cas : on profite de celte circonstance cjue nous connaissons, savoir que pour un tour entier la vis avance d’une longueur égale à son pas. Si donc on place un indicateur à son extremité et qu’on fasse marcher cet indicateur dejmis l’origine jusqu’à la lin de la distance à mesurer , en comptant le nombre de tours néces.saire jHJur faire ce trajet on saura combien de fois le ps de la v is est contenu dans

4o6 MÉCANIQUE.

celle distance; mais si l’on veut pousser l’exactitude plus loin , on adapte à la tète de la vis un cadran divisé , et l’on ti\e un index au moyen duquel on peut non-seulenient compter une révolution entière , mais encore une fraction quelconque de tour et par suite une fradion de pas.

Ainsi avec une vis dont le pas aurait — ^ de niilli-

lO

mètre et dont le cadran serait di\ :si’ en loo parties égales on pourrait estimer jusqu’au millième de millimètre , valeur-^ si peu considérable qu’elle échapperait à l’œil nu. Un pareil insti ument , dont la précision peut être encoie augmentée au moyen d’un appareil dioptrique , se nomme micromètre.

Dans ces instrumens une grande dillicullé de la construction consiste à donner à la vis un pas parfaitement constant, et cette difllculté augmente avec la linesse du pas ; en sorte qu’en gagnant d’un côté par le rapprochement des filets , ou perd tle l’autre par rjrrégularilé du mouvement.

Dans les grandes machines aussi , lorsqu’on veut gagner beaucoup en puissance longitudinale, on est obligé de diminuer considérablement le pas de la vis : mais alors le filet diminue aussi et bientôt l’instrument n offre plus, la solidité requise.

Ainsi , dans les deux cas précédons , la même difficulté SC rencHjutre, savoir: conserver ii une vis ou à un éciou un mouvement de translation très-lent , sans eejiendanl trop amaigrir les fdets.

On doit au savant Prony une solution aussi

ONZIOIE LEÇON. 4®7

complète qu’élégante de ce problème : imaginons une \ is d’un jws p et une autre d’un pas p' , taraudé'cs dans le même sens et attachées au même axe de manière à l’ormer un a.ssemhlage solide. Supposons que la partie de la vis dont le pas est p , tourne dans un écrou fixe , tandis que la partie p' tourne dans un écrou assujetti à glisser entre des guides qui l’empêchent de tourner. 11 est clair que dans une révolution entièie de la vis, elle avancera de la quantilé p par rapport à l’écrou ^fixe, et si l’écrou mobile avait suivi le mouvement de la vis il aurait avancé de la même quantité ; mais au lieu de cela , la vis ayant fait un tour entier dans l’écrou mobile a avancé par rapport à lui d’une quantité p', ou, en d’autres ternies, l’écrou mobile aura recidé de p' par rapport à la vis ; il résulte donc de là que cet écrou mobile a jiarcouru le cbcniiu p moins le. chemin p' qu’il a fait en sens contraire, et jiar conséquent son mouvement n’a produit que le trajet p — p'.

Si donc on avait 1/ = P ■> P — p' serait

«•gai à (le p , d'où il suit que la vis produi-

rait le même effet que si ses filets étaient réduits au dixième de l’épaisseur qu’on jugera à propos de leur donner.

Beaucoup d’inslrumens , < omme les tire-boures , les tire-lxmchons et autres de la jnème espèce ,

4o8 MÉCANIQIE.

peuvent être considérés connue des modifications de la vis et du coin. Les iiièclies de la plupart des instruniens à forer , comme les vrilles , les vilebrequins , les tarières et autres , sont terminées par un pas de vis conique à filet tranchant. Le but de cet appendice est maintenant facile à concevoir : la vis eu suivant le mouvement de rotation de l’instrument j)énèlre à chaque tour d’une longueur égale à son j)as , et par conséquent fraye le passage à la lame tranchante de l’instrument, qui n’a j>lus qu’à l’élai-gir et le régulariser.

Nous terminerons tout cet article par un aperçu d’une des modifications de la vis dont l’invention est attriburé à Archimède, et qui trouve son application dans une foule de circonstances.

Si vous observiez la section plane d’une vis qui ne peut avoir qu’un mouvement de rotation autour de son axe , eu supposant <jue le plan de la section reste immobile et qu’U passe par l’axe, vous verriez sur celte section la coupe des filets de la vis prendre un mouvement de translation uniforme parallèlement à l’axe : cela vient, comme nous l’avons vu, de ce que tout point assujetti à rester à la fols sur un plan fixe et sur le filet d’une vis , doit prendre un mouvement de translation de cette espèce.

Vous j)ouvez donc concevoir ici , que la section de la ^is se comporte comme ime crémaillère dentée dont les dents sont les diverses sections du

filet de la vis par le plan ci-dessus. Par suite il vous sera aisé de voir qu’il serait possible d’employer le mouvement de cette (irmaillère pour communiquer un mouvement de rotation à une roue dont le limbe serait situé dans le plan de la section. Tel est en effet l’ajipareil qu’on appelle vU sam fin ou vis d’Archimède , et qui ne présente autre chose qu’une vis dont les filets s’engagent dans les dents d’une roue qu’elle pousse ainsi devant elle : il est évident que chaque tour de la vis fait avancer la roue de la quantité angulaire corresjxmdant à une de ses dents ; ainsi la vitesse angulaire de la vis étant l’unité , celle de la roue sera ^ale à l’unité divisée par le nombre de ses dents , d’où il suit que vous aurez tout ce qu’il faut }K)ur trouver l’équilibre de deux forces qui agiraient l’une sur la vis, l’autre sur la roue.

MlCCAMQlE.

l)OCZli:MK LEÇON.

Dr l'èquiUhre de </ioelques systèmes varuthlei de formes.

Dans toiil ce ijiie nous avons traité jusqu'à présciil, il u'a «-luore éu* (jiu'sliou que de systèmes ifonl les loniies et la disjiosllioii n’étaient e.\posées à aucune variation ; en sorte que l'équilibre, une fois établi pour une situation , pouvait convenir à une infinité d’autres, on du moins que les formules obtenues dans un cas particulier de jxisitiou jjoiiv aient en «énéral être applicables, sauf quelques altérations des constantes mécaniques, à presque tontes les autres pasitions. 11 n’en est jvas de même jiour les .systèmes dans lesquels non seulement la forme jx?ut cbanger, mais où les forces elles-nièines peuvent varier avec la situation du système. fÀqvendant le princijie général d’équilibre subsiste toujours jKuir ces cas, et si ce n’est la difficulté de mettre en évidence les quantité's qui doivent entrer dans l’équatiou ou les éipiations d’équilibre, la marebe à suivre est exactement la même que dans toutes les autres circonstances.

DOUZIEME UECON.

4ii

1. Pour [lasser des cas les plus simples aux cas plus coiii[)osés je coinniencerai par l’appareil qu’on appelle la balance de Hoberval, du nom de ce célèbre malhérnalicien.

La balance de Roberaal, (lig. 8^ planche i3), se compose d’un parallélogramme alcd , ayant quatre cbarnièies à ses angles, au iiioyeii de quoi ce [larallélogranunc peut prendre une infinité de lormes tlid'érentes : aux [Kiinls i et K des cott's ah «;l iv/, sont deux trous cvlindi iqnes qui servent à faire tourner ces deux côtés autour de deux pivots fixés dans le sup[X)i t vertical t'K/.

Aux <leux côtés ac et bd on attache d’une manière invariable deux bras ef et ijh ; c’est à cc's <leux bias (|u’on susjiend d’une manière fjnelconque les jxiids I’ et Q. On demande mainlenanl les conditions d’équilibre entre P et Q, réagissant l’iine sur l’autre au moyen d’un tel syst<'me.

Pour «la revenotis au principe général dont nous nous sommes déjà servi : imaginons que le système ait pris un [lelit mouvement et voyons quel sera le trajet [larconru jiar chac:urie des forces P et Q. '

D’abord dans ce infinvemeiit les quatre côtés du jiarallélpgranin'.e n’auront ];as changé de longueur, en sorte ijiie la figure a' h'c'd' sera encore un parallélogramnie : ainsi a'c' et A'rf' sont parallèles entre elles et [larallèles à ac ci M : d’une outre part il est facile de voir que K</' est encore égal

4i3 MÉCANIQLE.

à Kc' , en sorte que le point d aura auUint monté pour arriver en d' , que le point c aura tlescendu |)Our arriver en c' ; enfin la droite g'h' sera évidemment restée parallèle à gh , comme aussi e'f à ef\ et les distances comprises entze et» droites étant les mêmes que cellts [jareourues par les jzoinls d et c dans le sens de la verticale , et que celles parcourues en même teins par les jxiinLs d’application des forces P et Q , il s’ensuit ipie ces dernières que nous nommons p t;t q sont aussi égales.

Mais pour l’équilibre on doit avoir

d’où il suit

P. P = Q.p à cause de y = p et jwr suite

Ce (jui veut dire que , quelle que soit la position des jioints d’application des forces 1’ et Q, et quel que soit l'angle fomié par les droites gh et ef avec les côtés ac et hd , la condition d’équilibre est toujours l’égalité- des forces P et Q. (iondilion qui , au piemier coup-d’u,-il semble paradoxale , et que iloberval a ])résentée comme un cas curieux de la statiijiic.