é /a/i( de forces qtion voudra, situées dans

Digilized by Coogle

DEUXIEME I.EÇ.OX.

UH plan , sont appliquées à un rnetne corps solide , elles pourront toujours se réduire à deux forces seulement , situées dans le même plan et passant, par deux points arbitrairement choisis sur ce plan.

C’est là le premier corollaire que je vous ai annoncé , et vous pou\ez voir déjà quelle immense sirnplilication il introduit dans l’examen des conditions d’équilibre d’un ensemble donné de forces.

Avant de passer au second , voyons ce que celui-ci peut nous indiquer encore.

D’abord il est visible que les directions des tieux forces résultantes ne pourront que se con- Ibndre , se couper ou être parallèles.

Dans le premier cas , il est visible que les deux forces se réxluiront à une seule qui sera la somme ou la différence des deux premières , selon que celles-ci tireiont dans 4e même sens ou dans le sens opposé. Dans cette dernière byqwtbèse, si les forces sont égales , elles se détruiront , et il y aura équilibre entr’ellcs et par suite entre toutes les forces qu’elles représentent. Nous verrons plus tard que c’est une condition indispensable pour l’(V|uilibre.

Dans le second cas , les deux forces résultantes se coupant .sous un angle rpielconque , pourront être composées en une seide , d’après le tliéorêine du parallélc^raninie des forces , et cette dernière sera la n^ullaute générale du système. Ainsi dans

4G MÉ< ANIQLE.

ce cas , il ne pourra y avoir équilibre qu’aulant que les deux résultantes partielles seront nulles séjarément. j

Dans le troisièuie cas eiilln , les deux forces étant {Mirallèles , nous n’a\ (»ns rien dit dans la première leçon qui puisse leur être applicable , I

en sorte que nous ne jwuvons rien conclure de l’existence de ces deux forces. I

Vous voyez donc que dans l’hjqxjtbèse d’un j

groupe de forces situées dans un même plan et agissant sur un corps solide , nous jx)urrons reconnaître , au moyen de ce que nous savons déjà , dans deu.x circonstances principales , si l’étjuiliJjre a lieu ou si les forces peuvent être remplacées par une force unique ^ mais qu’il j)eut y avoir aussi un état de choses dans letpiel nous ne pourrons rien ^

conclure ; c’est celui où l’enscmljlc; des forces agissantes serait remplacé par deux forces parrallèles : cette même difliculté se rencontre , comme nous l’allons voir , dans le second corollaire que nous avons aimoncé et qui est relatif à l’iiyjxitbèse la plus générale qu’on puisse faire sur des forces qui agissent sur un corps solide.

5. Supposons maintenant un corps solide quelconque, assujetti à l’action de tant de forces <|u’on

voudra R , R' , R" appliquées en des ytoiiits A ,

A' , A" .... de ce corps : prenons comme tout à riicui*e trois autres points B , C, D , invariable- '

ment fixés à ce corps, et menons par cbacun de

DEUXIÈME LEÇOX. 4?

ces points et par les points d’application des forces,

les trois systèmes de lignes liA , BA' , BA" ,

CA , C V ,* CA" , i)A , DA' , DA" , ; nous

pourrons décomposer d’après le théorème du parallélipipèdc des forces la force B en trois autres O , P, Q dirigées l’une suivant la dioile BA, l’autre suivant CA , la troisième suivant DA ; il en sera de même de la force R' que nous pourrons décomposer aussi en trois autres Cï , P', Q', dirigées suivant BA', CA', DA', et ainsi de suite*, en sorte tpie les forces R j R' , R" pourront être repré-

sentées par ti'ois groupes de forces , dont les uns 0,0', O".... SC dirigeront vers le point B, les autres P, P', P"... sur le jxiint C, et le troisième

gi oupe se composera des forces Q , Q' , Q" ,

dirigeas vers le point D.

Or , chacun de ces groupes se composera en une seule force , laquelle pourra être nulle pour le cas jwrticulier où le groupe serait en équilibre de lui-mènie , ( voyez la i". leçon page 36.... 4“*)î de telle façon que l’ensemble des farces R , Pi' ,

R", sera toujours remplacé par trois forces

au plus, passant par trois points arbitraires.

Nous pourrons donc établir, pour l’expression du second corollaire, dont je vous ai déjà jxirlé, le tliéorème suivant :

Tant de forces qu’on voudm appliquées de quelqxus façon que ce soit à divers points d’un cotps solide, peuvent toujours se réduire à trois forces’

48 MKrASIQVK.

au pluji , ptnnanl par Iroin pointu c/ioinis arhitrairement , mais Hvs au corps solide d'une manière invariable.

Si ces trois lignes se rencontrent d;ins un point , alors il vous sera facile d’en trouver la résultante, ou de trouver les eonditions de leur équilibic ( I". leçon page 36); niais si elles ne se reiuvintreut point , il faudra avoir reeours à quelipi’autre moven ipie «eliii que nous connaissons , car il devient insullisant, et ne fournil même aucune espèce de lumière.

Mais vous ol>serveiez que, si par cliacun des trois [K)ints B, C, D,... on mène trois droites parallèles à trois autres donnt'os dans l’espace , on pourra dcconqxwer chacune des trois résultantes partielles dont nous avons parlé , en troLs autres forces dirigc-es chacune suivant ime de ces droites, ce qui nous donnera tiois groupes composés chaque de trois forces parallèles entr’elles, et ((ue l’on pourra suLstituer aux forces R , R' ,

R" , qui composaient le système dont avons

parlé.

Nous voici donc ramenés de nouveau à considérer des forces agissantes en même lems suivant des lignes parallèles, comme cela nous est arrivé dans le cas des forces agi.ssantes dans im même plan , et ici encore nous sommes arrêté* par l’insiiflisance des notions que nous av ons acquises.

• .A’ous voyez donc comhien il nous imjxMte

DEl'XinviE LE(JO\. /J<)

<l’;;\aiuiu(T cc <[iii sc jkis.sc ilnnsiin syslciuc .soumis à (le jKircillcs forces; iraillcurs, eoinnic nous le veiTuiis jihis tard, nous aurons à considérer leur action dans une (|iieslion liicn iiinKirlante , celle de rM|uiIiî)rc des cxirjis soumis à l’aclion de la jH'.saiilciir lenesfre. iSous allons donc nous eu occujicr. ( * ) '

Il me serait aisé de \’ous faii'c ohserwr (jiie des forces jKirallèles jwuvaul être eonsidéri-es comme .si leur jxjint de coïKxnirs était jdacé à l’infini , ce cas rentre, comme |>articu!arité , dans celui (jiie nous ons e.xaminé dans la {Ji cmiiire leçon , et que , jKir couséquenl , en faisant entrer cette remarque et ses consé<juences dans le raisonnement, nous devrions arriver à la loi de composition ou d’tiijuilibie dt*s forœs jKirallèli's ; et en effet nous janirrions arriver ainsi et même avec as.s<‘7. d’idéganai au but (jue nous nous jirojKisons ; mais celle marclic aurait rineijuvénient de lais.ser dans votre esjirit du vaguent de rincertitude , et, ([uoicjue rigoureuse, le fil (|ui nous dirigerait jmurrait facilement; vous éeliajqier : au lieu de cela je v (lus pré.senlcrai une iiuHliode jilus directe, en la mmliliant sucees-

( ® ) 11 est important d’observer (jue dairs toute cette lc<;i>ii et la suivante , nous entendons par lu mot corps un assemblage invariable de points materiels non pesans. Noms verrons dans la leirou suivante , comment ensuite on trouve le moyen d’accorder cette supposition avec l’itilroduetlon des lbrcc.s ducs à la jicsautcur.

JO Ml;c\MQlE.

sl\euK'iil , lie inaiiu'i'O à >oiis faire voii- la elins«* sous plusieurs aspects «lifférens, afin <pie eliaeuii (le vous puisse s’arrêter à celui <jui lui jwraiira le j)lus pro])re à 1<* eon-\ainere.

üecujKJiis-iious «l’abortl <lu cas où il ne se liw- \erail <pie deux forets; ; elles jxiuvent être traies ou inégales : sujiposfins les d’abord égales et tirant <lans le inèiiie s<’iisi

(>. Soient donc ( fig. ■>. ) deux forces P et Q ti;ales et tirant dans le sens de A veis; P, les deux ]H)ints A et B ajijiartenant à un eorjw solide <pii les assujettit dans des rappn-ts invariables de jiositiun. Je dis ; i°. que ces tleu.c foires pourront être représentées par une seule force R qui leur sera parallèle , et 2'’. que cette résultante passera au milieu de la droite AB et sera éyale à lu somme des deux foires P et Q.

I>a démonstration deee tliéorèine est bien sinij)le : snpi>ost'z ipic les forces P et Q soient re[iréscntéx's ]>ar les droites AP et BQ : il est d’abord visible (pic «*s droites seront (‘gales. Maintenant prenons de B en S' et de A en S deux longueurs AS , BS' , égales ebacune à la liioilié de AB et sujijxisons (pi’on ait applirpié eu A et en B deux lorces S et S' , l’une repn'sentée par AS, l’autre par BS', c’est-à-dire, égales, mais tirant l’une de A vers S, l’aùtre,de B vers S' ; vous voyez de suite <pie nous n’aurons rien cbangé à l’é'lat du système , car la force S détruit évidemment l’action de la

Digilized by Googic

ÜEl'MKMIi LEÇON. 0 1

force S' , piiiiMju’elle lui est éj^ale el iju’elle tire en sens contraire d’elle dans la direction commune AB.

ü’après cela , nous pourrons considérer la résidtanle îles cpuitre forces S , S’ , P et Q coimiie la même que celle de P et Q seidemcnt. ücciqwnsnous tlonc de chercher celle des ([uatre forces P , Q, S et S'.

Pour cela menons d’alK)rd la lii^ne PQ ([ui sera évidemment parallèle à la li^ne AB , puis p;ir les jx)ints S et S' traçons les droites SP' , S(^' parallèles à la direction commune des forces P et Q , et conihiisons ces droites justju’à leur l’encontre en P' et Q' avec la droite PQ ; nous aurons ainsi forme trois parallélogrammes SAP'P , A1*QB , BQQ'S' , dont les deux extrêmes seront égaux.

Maintenant menez lc*s diagonales BQ' et AP 'et prolongez les jusiju’en M où elles se rencontrent , |uiis par le jxiint U , milieu de PQ , imaginez les droites BU et AU. 11 vous sera aisé de voir que la [iremière de ces droites ast |)arallèle à AU' et par conséquent à AM , tandis <|ue la seconde est parallèle à AU et par consécpient à B.M , en sorte que la ligure AMBU est un parallélogramme, el que si on mène la diagonale MU , elle conjK’ra en deux la seconde diagonale AB du même [wrallélograimne et , j«r conséqueikt , passatit jKir h? milieu C de cette tlroite Mjiiuue |>ar le milieu U de la droite P(), elle sera parallèle aux côtés AP

52 MÉt.AMQi;F..

cl <'t é^alc CH loiii^ucur au dmihlc ilc Al* lui de 1X^>.

llc[M)rloiis-uous inainlenaiil à œ (jiic rcprcstîiileiiL

les diirérciilcs ligues de Tiulre (i<îure : r? O

U’alajitl la diagonale Al*' re|irésciile évidemiiiciit la grandeur et la direction de la résultante des foiws 1* et S , n‘[>résenté(!s Tune par Al* , ,1’autre par AS ;

diagonale IX^ repréîMuite aussi la grandeur et la direction de la résultante des l'orees Q et S';

ICn sorte (pie les droites Al*' «;t JiQ' ou leurs «•gales AM et- BM représinitent à elles deux les «juatie forces l* , Q , S et S'.

Mais niaintenant les deux forces 1*' et Q' «pie représentent ces droites , jieuvent être stnisées applifpicxs^ au jioint M , et leur résidtante aura la grandeur et la direction de la diagonale MB «lu parallélograniine MxVUB , en sorte «pie cette résullanle (jui n’est autre cliose que celle des quatre forces 1* , Q , S et S' , ou , connue nous l’avons Ml , di-s forces P et Q , sera parallèle à la direction des fortes P et Q , et égale «à deux fois rune ou l’autre , ou <à leur somme , ce que nous devions d«hnontrer.

7. Si vous avez suivi cette démonstration avec altention , vous aurez pu v voir le germe d’une idt-e que nous employerons souvent plus tard ; «vu ellel , ix-manpiez rpie nous avons ici introduit doux forces élrangèies au sjslcnie; savoir ; les

DEUXiLmE LEÇOiN’. 53

forces S el S' 5 comme nous ne sommes assujettis (jii’à les prendre de manière à sc faire étjuililji-e , aliii de Jie pas Iroidjler l’état récipiXH|ue des autres Ibrccs , nous avons pu dioisir leur direction de manière à ce (jue les deux rcsidtantes obteuuiis P' el Q', jmssenl se rencontrer, et pir là nous avons éludé la dillicidté que nous offrait le jvarallélismc des deux liuces données 1’ et , en sorte que nous avons fait rentrer le cas précédent dans le tlomainc tle la théorie exposée dans la première Itvon. Cet artifice nous sera souvent utile et je n’ai pas voulu laisser écliapjier la première ociMsion de vous en làire ajxireevoii’ : voilà pourquoi j’al donné plus d’étendue à la démonstration jtrécédente ([ue je n’aurais en apjwrence dû le làire. Au reste, voici une démoast ration ln;aucoup jilus facile : elle est fondée sur l’uniformité vie la tension d’un cordon llcxihle et inextensible dans tous les |H)ints de sou étendue, quelque soient d’ailleurs les inllexions de ce cordon , et elle nous donnera l’wc.asion irapplujuer el de reconnaître un nouvrau movle lie raisonnement <[ui nous sera fréipieniment utile par la suite.

8. Imaginons ( lig. 3) dans le corps dont nous nous sommes (Kxnipés jusqu’à jvréseni , une ouv crlure plane, très-peu large el de la meme apparence ^ .sauf cette largeur, «pie l’ouverture dans laquelle on loge les rouets d’une juailie. Sujqro.sez (pie les deux pap.lics de ce corps soient jointes par ipiatre

54 MÉ<;\MQLE.

{KJtils l’vliiidres d’iui rayon prcMjue nul , coinine seraient tle fines ai<^uilles à coudre ; ces (|ualre cylindres ou clævilles seront A, B, C et C' , et nous pouvons sujjpjser que les deux clie villes G et C soient très-proches l’une de l’autre et en en incine tems très-proches du milieu M de la «Iroile AB (jui joindrait les jxiints A et B.

Concevons maintenant lui fil flexible qui |>asse au dessus du jioint d’arrêt A , puis au dessoies du pniit C, qui alors se replie autour d’un j>oint fixe P, revient sur lui-mème, passe sous le point G' et se replie en rejKissant au-dessus du jjoint B.

Supposons cjuo ce fil soit tendu à sc*s deux bouts P et Q , picr deux forces P et Q égides , et que les choses soient tellement disposées que les cpiatre fils AP , , CF et C'F soient jjerjxjiidieulaires

à la droite AB , puis examinons l’étal du corps dans cette hypothèse.

D’abord il est visible (jue les deux jwrlics AG et BG' du fil , tendant à rapprocher l’une les ])oints A . et C, l’autre les jxcints B et G' , n’ont aucune influence sur le système, à cause de son invariabilité de forme ; ainsi , il ne reste plus tpi’à considérer les effets de la tension des cordons jx;r|)endiculaires à la direction AB.

Or, il est clair que le cordon étant également tendu dans toute sa longueur , la tension de la partie AP et celle do la partie BQ sont (‘gales, et que cluicunc d’elles tij;e le |>oint d’appiu avec la

DEUXIÈME LEÇOX. 5 S

même force ; ainsi , on penl ronsidércr les «leux points A et B «omme solliciti's jiar «leux forces égales et parallèlf». D’un autre coté , les deux œrdons CF et CT , ont «les tensions ^ales aux tensions des cordons AP et BQ, en sorte que l’elTort supjiorté par le point F ou par le point M «jue nous suppioserons^ur un moment représenter l’ensemble «les points C et C' , cet effort, dis-je, est ^al à deux fois la force P ou Q. Ainsi donc le système entier est sollicité par trois forces perpendiculaires à la direction AB : de ces trois forces parallèles , deux , P et Q sont égales et tirent dans le même sens ; la troisième 11 , tirant en sens (xmtraire des deux autres , est égale à leur somme et passe par le milieu M de la droite «jui joint les |X)ints d’application «les autres ; maintenant je dis «pie tontes œs forces se font équilibre.

En effet , en vertu de la sjTnétrie «le toute la figure par rapport à la droite RR' , on voit que la ligne AB ne peut prendre aucun mouvement ni à droite ni à gauche de cette droite , vu «pie tout mouvement qui se ferait dans le sens de la force Q , par e.xemple , devrait avec autant de raison s’eflectuer dans le sens de la force P , et comme le système ne peut prendre deux mouvemens à la fois, il est clair qu’il ne pren«lra «pie celui dans lequel tout restera symétritpic par rapport à la ligne RR', c’est-à-«lire, un mouvement de translation parallèlement à lui-mème «lans le sens de la droite RR'.

56 MKCAMQVK.

Sn]nx»s(>ris dimc le corns ail iiiil un le]

inou\ ftiK'iit , qu’il SC .suil . j):ir exemple, avancé (le la quanlilc Aff , el voyons iv qui aura résullé de ce iiiouveiiiont pour la |>ositk>u <les punis P el Q , <[U(* nous supposerons s’èlre placés cpielrpie j)arl eu P' <■! Q' par suile de ce nioiuemenl.

D'aLord la longueur tolal< du ei>rdon depuis le jx)inl P jusfpi’au point Q n’aura pas changé; en outre les lonj^ueui’s AC , BG' sont éj^ales res[K-ctiveiuenl aux longuciu’s «c et Ac' , en sorte <pie la somme des cordons «P' , el cil sera la même <pie i-elle des cordons AP et Cil , ou , en d'autres termes , on aura •

AP + CR = «P' -f- cil Mais «P' = ' AP' + Aa.

l'it cil = eu — Ce et d’un autre côté il est facile de voir que Ce t= Aa en sorU; cpie l’on a

cR = CR — Art.

Ajoutant œtte valeur avec celle de P« on trouve oP + cR = AV 4- CR + Art — Art = AP' + cR , mais jmisqu’on a

AP + CR = «P + cR , il faut aussi (juc l’on ait

AP 4- CR = AP' 4- Cil et retranchant des deux côtés CR , il reste