BC

ou, en observant- que l doit être égal à

trouve — = I et par suite

Ainsi il ne nous reste que P et --- J’in-

connus ; mais nous voyons déjà (jue loulc.s les lorces P , P' , P" sont égales , quelles |jarüigeiit en deux parties aussi égales les angles A , A' , A" , enfin il ne nous faudra que la connaissance d’un élément de plus pour que tout soit déterminé.

8. Dans tout ce qui précède, je n’ai pas fait entrer une donnée qu’on ne doit cependant pas négliger; la longueur du cordon et celle de ses divisions. Je l’ai fait à dessein janir simplifier l’exposé du problème, et en cela j’ai eu le droit d’en agir ainsi , parce que rien n’cnij)éclie de su[)poser qu’on soit naiître de la longueur du cordon et de la place ou l’on fait les nœuds.

Cependant, pour tiaiter la cliose avec tonte sa généralité , il faut faire entier cette donnée , qui le plus souvent est imposée par des eireonslances dont on n’est pas le niaitrc. Ür c’est ce (pi'il est trè.sfacilede faire, quelle que soit d'ailleurs la nature du polygone funiculaire que l’on sè donne, 'pi il soit simple comme dans la figure 3 , ou compliqué comme un filet ou un réseau d espèce constante.

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DOUZii: HE LEÇOS. ^3 I

Soit donc ( planclie 1 4 , üg- 4 ) portion

de cordon appartenant à ce système ; soient P et P' deux forces appliquées l’une en A l’autre en A', et P", P"', P'"', etc. les autres forces appliquées au système funiculaire ; si l’on admet cpic l’équilibre ait lieu , rien n’empèclie de considérer tout le reste du système , sauf le cordon AA' , comme solide. Et alors on aura un groupe de forces agissant d’un côté en A sur le coi-don , et un autre groupe ;igissant sur ce cordon en A'.

Or il est visible que jK)ur que ces deux groupes se fassent écjuilibre , il faut ;

I® Qu’ils tirent le cordon en sens contraire;

a® Que la resullanle de chaque groupe passe par la direction du cordon;

3® Enfin que les deux résultantes soient égales.

De ces trois conditions, la première et la troisième sont precisénienl celles qui se rapportent à l’équilibre d’un corps solide. Ainsi il faut d’abord que le système soit tellement disposé que toutes les forces .soient en érpiilibre en vertu de leur grandeur et de leur position , comme si le système était solide : ainsi, une fois cette condition obtenue pour un cordon, elle a lieu pour tous les cordons, et on n’aura plus besoin que de vérifier pour chacun d’eux la seconde condition , et jionr cela il ne faudra que bien connaître les forces qui agissent des deux côtés du cordon. Or c'est ce qui n’est pas toujours facile dans un polygone funiculaire

43 2 MïXANIQÜE.

feimé ou réselc à la manière d’un tissu à mailles , |»r exemple ; alors il faut supposer qu’on ait appliqué en xV. et A' deux forces f eif y dirigées dans le sens du cordon, et chercher s’il est possible avec ces deux forces de faire équilibre au système des forces P , P', P", etc. , en leur supposant une valeur égale et une action propre à teiidi'e le cordon : l’expression analytique de cette dernière condition ajoutée à celle de l’équation générale d’équilibre donnera tout ce qui est nécessaire pour trouver les relations entre les grandeurs des forces , les tensions des cordons , et la position des points sommets ou nœuds du polygone funiculaire.

Au reste, tout l’appareil de calcul nécessaire pour arriver à ce résultat analytique ne serait pas conqwnsé pour vous par les conséquences qu’il jwurrait vous fournir. Je n’insisterai donc pas davantage sur ce sujet, et je me bornerai à vous recommander la méthode que je vous ai indiquée, et qui peut servir dans le plus grand nombre de cas, en y joignant ce qui vous paraîtra convenable des considérations précédentes.

9. La tliéorie du polygone funiculaire est principalement employée en mécanique pour servir de prolégoniène à celles de l’é<piilibre d’un système flexible particulier qu’on nommé la chaînette. La cliaînette n’est autre chose qu’un cordon pesant attaché par ses deux bouts à des |x>ints fixes et

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soumis ainsi librement à l’action de la pesanteur. Ce cordon ainsi placé affecte une courbure particulière, et pour arriver ‘à la déterminer on suppose im polygone funiculaire d’une, iniinité de côtés très-petits et soumis à leurs points de jonction à l’action de forces parallèles à la verticale et égales entre elles : on parvient ainsi à une détermination très-élégante et fort inutile , non pas de la forme absolue de la courbe mais bien de l’incbnaison de ses tangentes en des points donnés.

Au reste celte courbe ( fig. 5 ) jouit de quelques propriétés qu’il j>eut être utile de" remarquer ;

D’abord , d’après ce que nous avons vu déjà , le système étant soumis à la s<nile force de la pesanteur , son centre de gravité doit être le plus bas possible. D’après cela il e.st visible qu’une quelconque des portions AF , AA' , A'F' de la courbe doit avoir aussi son centre de gravité le plus bas possible. Ainsi chaque portion de la chaînette est aussi une cliainette.

En outre si l’on vient à renverser la chainette comme on le voit en Faa'F' , en lui conservant exactement sa forme , son centre de gravité sera alors le plus élevé possible ; or , comme nous le savons aussi, c’est encore un des cas d’équilibre d’un système pesant , celui de l’équilibre non stable , ainsi le cordon sera encore en équilibre dans ce cas.

Mais ce dernier état d’équilibre ne changerait pas , si au lieu de conserver le fil ou le cordon on

43,( MKCàMQlT.

J substituait une série de sphères infiniment petites, ^ales et pesantes* dont les centres seraient distribués le long de la courbe de la chaînette, et réagissant les unes sur les autres par pression. Ainsi un pareil système placé dans un plan Lien vertical y serait en équilibre de lui-niènie, ce qui du reste est plus curieux à savoir qu’utile.

lo. Cependant il est une application en grand de la Uiéorie du polygone funiculaire que je ne dois pas jxisser sous silence, c’est la construction des ]x>nUi suspendus : on apjxîlle ainsi les jionts qui au lieu d’être soutenus j)ar des piles et des arches comme îes jKjnUs en pierre, ou des travées comme les ptints en bois , sont attachés à des chaînes ou à des assemhhiges de tiges de fer infléchis dans la forme d’une corde pe.sante et flexible, fixée par deux bouts à des appuis invariables.

Ces ponts dont l’idée première est fort ancienne , se trouvent déjà indiqués dans un ouvrage de Scammozzy, célèbre architecte italien , dans son ouvrage del idea archi imprimé en i6i5. On trouve déjà antérieurement à cette époque des constructions en corde et même en cuir analogues à celle des ponts suspendus 5 mais il paraît certain que l’Angleterre a donné le premier exemple d’une application régulière de ce mode important de communication , et c’est encore elle qui l’emporte aujourd’hui , par la grandeur , la solidité et la perfection de ses ouvrages dans ce genre.

DOUZIÉMF, I.KÇO?». 4^5

Un poiil susjx!i)du se compose piincipalernenl d’iiu tablier on plate-forme borizonlale en charpente on en fer, qui • est destiné an passade des voitures et des piétons. Ce tablier est soutenu pax des lirans vertican.v en fer, assemblés d'un coté par des clavettes avec las traverses du tablier et rie l’autre par une ai ticidplion à la ebalne ou aux chaînes de suspension. Cette dernière est la partie importante de la construction ; c’est un assemblage de larres de fer forgé , réunis par leurs extrémités au moyen de boulons, et librement suspendues entre deux points d’appui fixes , ordinairement en maçonnerie , quelquefois aussi en fer de fonte , au-dessus desquelles passent les chaînes piaiir venir s’enfoncer profondément dans le sol où on les fixe au moyen de poitls considérables ou de systèmes très-solides de maçonnerie. Quelquefois la cbamc principale est simjile, quelquefois il y en a plusieurs-de chaque côté du pont. Le jiont d’Hammersmitb , l’iin des plus beaux qui existent est dans ce dernier cas ; il est soutenu par 8 chaînes, formant quatre couples de chaînes enfeintés dans quatre plans verticaux difléiens ; d'autres ne renieraient que trois couples de chaînes partageant le tablier du pont en deux ]iarlies égales et parallèles.

Quoi qu’il en soit de cos di.sposilions jiarticulièrcs, il y a des principes communs à toutes et que vous concevrez facilement. Je vous en loucherai

quelques mots , et pour nous mieux entendre je prendrai pour exeirqjle la figure 7 , planche i4, qui représente le pont de llammersmith.

Une des premières conditions à remplir c’est de disposer les chaînes de telle façon que toutes les barres qui la composent soient chacune sou- ^i.se à une pression égale; sans cela il faudrait donner à toutes les barres et aux boulons qui les attachent , des foi ces et pr suite des dimensions tout-à-fait différeutes.

Ainsi on cherche à donner à la courbe la forme d’une chaînette, puisque dans cette courbe la tension est la meme d’un bout à l’autre. 11 ne faut pour se convaincre de la possibilité d’adopter cette courlie , qu’observer que chaque tirant vertical supporte une portion (igale du poids du pont, et qu’ainsi à chaque articidation on peut supposer une force à pu près constante, ce qui, vu le grand nombre des articulations et le pu de dimensions des barres pr rapport à celle du put , fait rentrer la recherche de l’équilibre du système dans celui d’un plygone funiculaire pesant d’un nombre infini de cotés.

11 faut en outre f[ue la résultante des forces agissant sur les chaînes psse par le pied des piliers a , a , pour ne ps être expsé à les lenverser.

Enfin il est nécessaire de puvoir calculer précisément la tension des chaînes pur déterminer

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exactement le poids qm doit servir à équilibrer cette tension.

Toutes ces données se trouvent facilement par des calculs analogues à celui que je vous ai indiqué lorsqu’on veut se contenter d’une approximation peu considérable, ce qui est permis lorsqu’il s’agit de ponts de peu de valeur’et d’étendue; mais lorsqu’on est obligé , pour de grandes constructions, d’allier à la fois l’économie et la solidité, alors il faut se résoudre à entrer dans des recherches compliquées et difficiles , et dont il ne faut pourtant laisser échapper aucun élément.

Il y a enfln d’autres observations encore à faire et qu’il ne faut point négliger ; mais elles tiennent plutôt à l’art de l’ingénieur qu’à celui du mécanicien : ainsi nous n’en parlerons point ici et il suffit de vous avoir donné l’idée de ces constructions utiles et hardies qui paraissent devoir remplacer la plupart des ouvrages de la même destination, ne fut-ce qu’à cause de la grande économie qu’elles procurent. (*)

1 1. Je terminerai ce qui concerne les systèmes variables par quelques observations sur l’équilibre produit par le frottement des cordes ou des courroies.

(*) Le pont suspendu de Hnminersiuith , malgré sa longueur qui est d'envfron 800 pieds entre les barrières qui le ferment , n'a coûté que 80,000 livres sterling , c’est environ aSoo francs seulement par pied courant.

Lorsqu’une corde est appliquée sur une surface angulaire et sollicitée par deux forces P et Q, il peut arriver que ces deux forces soient égales ou inégales , mais dans les deux cas il y aura frottement de la corde sur le sommet a de la surface, sonunet que nous pouvons considérer comme une très-jx?li(e suiface plane faisant des angles égaux avec les lignes ab et ab' : le frottement du reste sera nul sur les faces ba et h' a puis<]ue les cordes étant tirées dans le sens de leur longueur , elles i/agissent en aucune manière normalement à ces surfaces. Or, le frottement produit sur a jwut influer d’nne manière remarquable sur diflerens cas d’équilibre ; nous en dirons donc q ielcjnes mots , en commençant jar le cas des forces P et Q égales.

'12. Les deux forces P etQ étant égales entre elles on trouvera leur résultante en construisant le parallélogramme isoscèle abdh' ,, dont la diagonale ad représentera la résultante en grandeur et en direction j d’après cela soit R cette résultante on aura

ab.

Et si f e.st le rapjxirt du frottement à la pression, le frottement produit en a, sera

. „ - „ ad

/:r = ou=/^ X P X -7.

ab.

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Soit maintenant une corde enroulée autour du polygone régulier alcdt fyh, de manière à ce que sa tension soit jiarlout la niérae, c’est-à-dire égale à P, elle exercera une pression sur chaque angle abc, et celle pression sera de la même nature que celle dont nous Aenoiis de parler; ainsi construisant le parellélogi amine abcd, bd seia la résultante des tensions P au point iô ^ et l’on aura en la nommant R ,

ab.

Or maintenant il est liûble que le triangle abd est semblable au triangle aob, on a donc :

ao.

d'où

rtb

R = P X — ao.

et le frottement f. R sera

f. R = f. P. — ao.

On aura aussi pour les frotteinens exercés en a et c , les valeurs

ce qui draine pour la somme de tous les frotte'

mens

- / „ Aa , „ a* , T. he\

f{ Px HPx hPx — J

\ ao ao ao /

ha a b bc

ao.

Décrivons maintraiant im cercle inscrit à ce polygone, il toucliera les côté's ah et crf en i et i' , milieux de ces côtés; ainsi l’arc de polygone iabci' sera égal à ha -f + Ac , et l’on aura pour la somme des frottemens produits , cette autre expression

- iabci'

Si le nombre des côtés du polygone était infini , les points abc seraient sur une même circonférence (fig. lo) et l’arc polygonal se confondrait avec l’arc ii' de la circonférence embrassé par la corde, en sorte qu’on am-ait pour le frottement :

ao ,

Ainsi , dans une poulie embrassée par une corde le frottement produit à la circonférence est

proportionnel à l’arc embrassé par la corde et réciproque au rayon ; lors donc qu’on veut mettre en mouvement un système au moyen du frottement d’une corde enroulée sur une poulie , il y aura avantage à faire embrasser à la corde le plus grand arc possible de la poulie. Quant au rayon de la poulie , il est absolument indifférent , , ce qui parait d’abord assez singulier, mais ce qui est facile à concevoir en observant que le moment du frottement , qui est la mesure de son énergie pour faire tourner le système , est ^al à

- „ arc. *»' - ...

f. P . X ao = f.V . arc. u'

quantité absolument indépendante de ae , c’est-àdire du rayon. Ainsi vous voyez que le diamètre de la poulie motrice peut être négligé , ce qui permet de se conformer à d’autres conditions , et ce qui vous évitera de tomber dans l’erreur de ceux ipii employent de grandes poulies pour faire tourner de grands corps et réciproquement ; les grandes poulies n’offrant que l’avantage de permettre d’embrasser de plus grands arcs ii' , ce qui dans plusieurs cas jieut être remplacé par le redoublement de la corde autour de la poulie , ou par l’emploi de plusieurs cordes. Dans ce dernier cas , le froUement produit est équivalent au produit »lu nombre des cordes par le frottement exercé par chacune d’elles : or c’est cet avantage que l’on obtient eu

44^ MÊCAMQVK.

employant des courroies au lieu de cordes : une courroie pouvant être considérée à cause de son élasticité comme un assemblage de cordes ou de fibies minces q\ii se tendent toutes sur la poulie, il s’ensuit que par son moyen on obtient luie pression non -seulement proportionnelle à l’arc embrassé , mais encore au nombre des fibres ou à la laideur de la courroie. •

Si l’on voulait connaître la résultante de toutes les pressions exercées sur l’axe de la poulie , il faudiait avoir recours aux méthodes de eomjxisition des foi ces dont je vous ai déjà entretenu. On trouve aloi-s les résultats sulvans ;

1° Jm résultante do toutes les pressions sur V axe est perpendiculaire à lu corde ii' de l’air, embrassé.

2“ Son intensité est proportionnelle à la longueur de cette corde , en sorte qu elle est la plus grande possible lorsque les cordons ou les courroies sont parallèles, et quelle est nulle lorsque la corde embrasse la citxonférence entière de la poulie.

3“ Dans ce dernier cas la direction de la résultante est indéterminée , et il n g a pas de pression et par consétquent pas de frottement sur l’axe.

Voici comment on arrive à ces résultats : divisons l’arc ii' en une infmilé de parties égales ; à cl lacune de ces parties correspondra une pression normale à la courlie et jxissant par consérjiieut jiar son centre. (Planche i5, fig. 3.)

Soit ao la direction d’une de ces pressions ,

DOrZlKME I.ErOM. ,^/j3

elle auia pour mesure la (luaiililé P . - - , ab

étant un des arcs formés jiar la division.

D’une autre part à tous les points de l’arc W correspondant des forces traies entre elles et dirigées vers le centre, tout ce système sera symétrique jwr rapport à la droite oc qui coupe l’arc W en deux et passe par le centre du cercle , point commun à toutes les pressions.

D’après cela découq)osons la pression exercée en a en deux antres , l’une parallèle et la seconde peiqjcndiculaire à ao , et supposons la diose faite |X)ur toutes les autres pressions élémentaires , nous aurons ainsi un groupe de forces parallèles à oc dont la somme sera la résultante cliercliée et un autre groujie de forces perjjendicidaires à cette direction et qui se détruiront : cherchons la valeur de chacune des premières.

Nous avons pour celle qui ]>asse en a la valeur

ao.

Menons ac perjiendiculaire sur oc , la composante de la force précédente suivant ac sera

ah oc «A X oc

ao ae. ao^

maintenant des ]K)iiils a el b , abaissez des per- |x;ndiculaire‘s sur U' , puis menez bd parallèle à a' ; le triangle rectangle abd sera semblable au

triangle oae, pour avoir tous leurs côtes respectivement perpendiculaires entre eux, d’où il suit <ju’on a ;

oc bd

ao ab

oc ef

ao ab

à cause que ef est égal à bd.

On tire de là

oc X ab = ao X ef et par suite pour la composante de la pressiqn

ao.

C’est-à-dire que chaque composante partielle est égale à P divisé par le rayon et multiplié par la hauteur de l’arc ab mesurée sur la corde n' , et comme P divisé par le rayon est constant, il en résulte que la somme des composantes est égale à

multiplié par la somme des hauteurs de tous

les arcs élémentaires de *'t' mesurées sur la corde n'.

Or la somme de toutes ces hauteurs est ^ale à la hauteur de l’arc ii' lui-même mesurée sur la corde iif , c’est-à-dire à la longueur de la corde a' , d’où il suit que la résultante entière est ^ale à

ce que nous avons indiqué tout à l’heure.

i3. Passons maintenant au cas où les forces P et Q sont inégales , et cherchons les conditions d’équilibre entre ces deux forces en y faisant entrer le frottement.

Décomposons chacune des forces P et Q en deux autres , l’une suivant ao , l’autre suivant une droite perpendiculaire à ao. Appelons f et les composantes de P; q et y', celles de Q, et q étant perpendiculaires à ao et p' et q' dirigées suivant cette droite, nous aurons :

^ ^ ^ aT.

^ bc

= •5 aT

et par conséquent

ab.

Or p' q' est la somme de deux forces normales

j^6 MÉCANIQUE.

à la petite surface a , et qui produisent un frottement f. (p' -j- ÿ' ) ; ce frottement peut donc aussi être repiésenté par

Si l’on voulait connaître la condition générale d’équilibre entre les deux forces P et Q , il faudrait maintenant observer <pie ces deux forces n’agissent l’une sim l’autre que par leurs composantes P et j' ; ainsi ce sont celles-là qui doivent entrer dans l’équilibre. Supposons donc que le point a commun aux deux parties de la corde qui transmettent l’action des forces P et Q ait parcouru un petit espace ± p, le signe -f- étant pris dans le sens du mouvement imprimé par la force P , les momens virtuels des forces p et y et du frottement f- {p' q') seront

±p . P, -H y . P, et — /•. ( p' + / ) P

et l’équation générale d’équilibre sera

± P . P + y • P — /"• (/ + y' ) P = O ou < O. ou

±p T y — /■(?' + y' ) = O ou < O.

Lorsqu’on substitue à p et y, p' et leurs valeurs , cette équation devient

Lorsqu’on cherche le cas où le premier membre est seulement égal à o, on trouve les deux solutions

(bc — f . ac.

âb

(bc f. ac

âb

bc f . ac ab

bc — f . ac ab

La pi-emière équation correspond au cas où l’équilibre existant , P est prêle à l’emporter sur Q, et la seconde correspond au cas où c’est Q qui est prête à produire le mouvement ; on tire de là :

P bc f . ac

Q bc — f.ac

P bc — f. ac

Q bc f . ac.

Pour ce qui est de la valeur <16— qui donne

généralement l’é(}uilibre , elle est évidemment, d’après la méthode que j’ai déjà indiquée,

àc 4- / . ac . bc — f . ac m.~ -{-n. — '

P bc — f.ac

bc f . ac

ce qui devient

P m . (^bc f . ac Y -f- « . ( àc — f . ac )*

Q fn + n. {hc> — .)

448 MÉCAMQl.'E.

m et n étant deux noml>res entiers quelconques. Gj qui donne autant de cas d’équilibre que de valeurs de m et de n , c’est-à-dire une infinité.

i4- Supposons maintenant une corde roulée autour d’une pordie, et s oyons quelles sont les conditions, pour l’équilibre entre les deux forces P et Q qui tendent cette corde en introduisant la ' condition du frottement , ( planche 1 5 , fig. 4- ) Divisons l’arc embrassé par la corde en m petits arcs , m étant un nombre très-grand , nous pourrons considérer la corde comme enveloppée sur ces petits arcs de manière à figurer un polygone d’un nombre infini de côtés inscrit au cercle de la poulie et les frottemens comme exercés sur les sommets a , A , c , etc. de ce polygone. «

Supposons en outre que la force P soit prêle à l’emporter sur la force Q ; la tension du cordon ne sera pas la même en P qu’en Q , mais elle variera dans l’étendue de l’arc AB , de manière à ce que la tension de chaque fraction oc de la corde sera prête à l’emporter sur la tension de la fraction adjacente ab. Dans cet espace ou pourra appUquer la Condition d’équilibre que nous avons déjà trouvée ci-dessus. Soit donc /„ la tension du cordon entre a et c , et , celle du même cordon entre b et a , nous aurons en construisant le parallélogramme aba'c, l’équation

bc -f- f- «o’ tu+i ^ — f.aa'.

DOUZIÈME I.F.rON. 4 l‘)

Mais il est évident qiie le li iaiiple a(îc est seiui)lal>le au triangle aw , d’où il suit

ac ao r

. aol ac ac.

r (Hant le itiyon du cercle.

D’un autre côté bc est évidemment égal à l’ar<; bae. , d’où il suit ^u’il est double de ac, ainsi:

. bc = 2 . ac

et comme on a en même teriis

aa'

ac = r . — ac

on eiT tire

, aa'

bc = 2 r .

ac.

Substituant cette valeur dans l’expression de

on trouve