CHAPITRE IX

NIVELLEMENT

169. Après avoir parlé de tout ce qui concerne la projection orthogonale des points, il nous reste k indiquer les moyens d’obtenir leurs ordonnées verticales ou cotes. Tel est le but du nivellement. Les plus grandes opérations qui y sont relatives n’exigeant pas qu’on ait égard à l'ellipsilé de la terre, nous la considérerons comme une sphère de 40 millions do mètres de circonférence et d’un rayon égal à 6,366,198“.

On nomme surface ou ligne de niveau toute surface ou ligne parallèle k la surface des eaux de la mer. Ainsi deux points sont dits de niveau lorsqu'ils sont également distants du centre de la terre. S'il en est autrement, il existe entre ces deux points une différence de niveau, et c’est dans l’évaluation de cette différence que consistent la théorie et la pratique du nivellement. Les points A et B étantinégalement éloignés du centre O [fiy. 136) delà terre, leur différence do niveau comptée sur la verticale de B, est BBr.

170. Les instruments dont on se sert pour ce genre d’opérations ne donnent que la tangente AB7 au premier élément.de la courbe, de sorte qu’ils conduisent à déterminer BB ' et non BB'. Cette ligne AB’’ est dite niveau apparent, et l’on désigne l’arc de cercle AB' sous le nom de nirrau erai.BB", différence du niveau vrai au niveau apparent, est donc la première chose qu’il faut apprendre k trouver pour pouvoir ensuite arriver k une connaissance exacte de la différence de niveau entre deux points A et B. Jusqu’à une certaine limite, 300™ environ, la différence B'B ' est sensiblement nulle ; au delà, il faut y avoir égard. Ceci est subordonné cependant à l'exactitude de l’instrument que l’on emploie. Ainsi, par exemple, il sera très-inutile de calculer cette différence k 400™, où elle ne porterait que sur la cinquième ou la sixième décimale, tandis que l'instrument ne fournirait la cote qu’k un centimètre près.

Pour trouver B'B', servons-nous de la propriété dont jouit la tangente à un cercle, d’être moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Désignons par K la projection

de la distance entre les deux points ; B'B'' par h et le rayon de la

terre par R, nous aurons KJ = h (2R -4- h) d’où

On résout approximativement, en négligeant h au dénominateur du second membre, comme étant une quantité extrêmement petite par rapport au diamètre du globe.

On a donc pour une certaine distance K, *= SIC»)-

Le résultat serait le même, si l’on effectuait la multiplication qui donnerait

en remarquant que h étant très-petit, on peut ramener l’équation à n être que du 1er degré, en négligeant h1.

Pour une autre distance K', on aura également h1 = ^ d’où h : h' : : KJ : R'J : c’est-à-dire que les différences du niveau vrai au niveau apparent sont proportionnelles aux carrés des distances.

Si donc on a calculé h au moyen de (a) pour K = 1000m, on trouvera pour une longueur quelconque K' = 1500" ,

h' = (iooo)*

Cette formule peut se calculer facilement par logarithmes en ajoutant au logarithme de la quantité constante le double de celui de 1500. On a construit, d’après ce procédé, des tables qui abrègent le calcul.

171. Il existe une autre cause d’erreur sur l’appréciation exacte de la différence de niveau entre deux points :c est la réfraction. Son influence étant très-peu sensible sur les plus grands côtés qu’emploie la topographie, nous n en ferons pas mention ici. Au surplus, cette théorie est développée au livre V (Geodcsie), § 440. C’est là que l’on trouvera la démonstration de la formule qu’il faut employer, quand on veut opérer avec la plus grande précision. Faisons remarquer, en annonçant seulement que la correction relative à la réfraction est soustractive, de quels éléments divers se compose la différence de niveau entre A et B, que nous désignerons par dN.

Représentons par dT la hauteur AA' ou B"B"' de l’instrument (/?<?• 138).

NIVELLEMENT. 157

B'B* la différence du niveau vrai au niveau apparent par A;

B'"B,r le côté vertical du triangle rectangle A^'B1’ par H •, et BB,V erreur de la réfraction par r ;

Il en résultera que dN == dT-+- A-f- II — r.

172. Instruments propres au nivellement. Ces instruments se divisent en deux classes dont l'usage est bien distinct. Les plus simples donnent seulement la ligne de niveau (nous désignerons ainsi le niveau apparent, quand nous n’ajouterons pas la qualification de vrai). Les autres mesurent l’inclinaison d’un rayon visuel ou d'une direction quelconque sur la ligne de niveau.

173. Niveau d'eau. Il est composé d’un tube cylindrique do ferblanc ou de cuivre, recourbé aux deux extrémités {fig. 139) à angles droits sur la première direction. Deux fioles en verre, d’égal diamètre, bien jointes au tube, s'y engagent de part et d'autre. Une douille faisant corps avec l’instrument et soudée au milieu du cylindre sert à le fixer sur un pied à trois branches, en lui laissant le jeu nécessaire pour faire un tour d horizon. On verse l’eau par l’une des ouvertures, jusqu’à ce qu elle monte dans les deux fioles, aux J environ de leur hauteur. Lorsque le liquide, après sa chute dans le tube, est entièrement calmé, les plans qui le terminent dans l’une et l'autre fiole appartiennent à une même surface de niveau en vertu d'une propriété connue des liquides. Si l’on imagine une tangente commune aux intersections de ces surfaces avec le verre, ce que l’on peut faire de quatre manières différentes [fig. 140), on aura la direction de la ligue de niveau. Il est d’autant plus facile déjuger la position de celte tangente, que les petites surfaces sont terminées, en vertu de l’afiinilé des corps, par une espèce d'onglet qui parait noir. Pour agir avec plus de précision, on se met, pour viser, le plus loin possible de l'instrument.

Nous avons dit que les fioles étaient de môme diamètre : si cette condition n'élait pas sensiblement satisfaite, les opérations seraient défectueuses, puisque la ligne de niveau varierait pour chaque position que prendrait l'instrument en faisant un tour d'horizon. En effet, supposons que, dans une position première, la ligne de niveau soit pn {fig. 141), les deux fioles étant de diamètres différents, l'une double de l'autre par exemple : si lo support DP était parfaitement vertical , et le tube exactement horizontal, lo mouvement de rotation que l'on imprimerait autour de DP n'apporterait aucune modification, mais ces conditions ne

sont jamais entièrement remplies. Il en résulte qu'en Taisant tourner de 200‘ la petite fiole qui était en A viendra en B. Admettons, pour faciliter l'explication de ce qui se passe, que lo déplacement du liquide no se fasse pas d’une manière continue, pendant que l'on tourno l'instrument, ou, si l’on veut, qu'il soit congelé pour un moment. La surface mn prendra la position mV et pq deviendra p'q', de telle manière que pn' =p'n. Rendons actuellement à l’eau sa fluidité : le poids du cylindre m'n'pt pesant sur le reste du liquide, tendra à l’élever dans le petit tube : il sera d'abord employé, en partie, à remplir la partie cylindrique vide p'j'nu, mais uous avons supposé l'un des cylindres d'une base double do l'autre, et comme les hauteurs p’n,pn' sont égales, il s’ensuit qu'il restera encore la moitié du liquide qui occupe ptm'n'. Il se partagera entre les deux fioles pour rétablir l’équilibre et élèvera ainsi la ligno do niveau de pn qu’elle occupait d’abord en rs. Rien de plus facile que dé préciser l'erreur 1)1)' pour le cas particulier que nous avons considéré. Le poids des deux petits cylindres liquides qui ont élevé la ligne de niveau, doit être le même, et puisqu'ils ont mémo densité, ils auront mémo volume. Il faudra donc, en désignant par V,B,H le volume, la base et la liuutcur de l’un des cylindres, et par V' ,B ,11' les mêmes quantités relatives h l'autre, que l'on ait \ = \' ou BU=B'ir et que leur somme équivaillc à la moitié du cylindre qui avait pu' pour hauteur et B pour base; donc \ pn' B = B11 -(- B II' : d'ailleurs aussi II et il' doivent être égaux, puisque les deux lignes de niveau sont nécessairement parallèles, donc pn'B= H (B -|- B'). Nous avons dit que le rapport de capacité des fioles, et par con • séqucnl de leurs bases, était celui de 1 52 ; ainsi

1 pn' ÎB’*= 31111' ou p*' = 3!I cl enfin II = J /»n '

pn' n'est autre chose quo la différence de niveau entre les deux extrémités du coude : l'erreur sera donc d'autant plus grande que l’instrument sera plus incliné et aura plus do longueur. En faisant pn' nul, l’expression de II trouvée plus haut justifie ce que nous avons dit, qu’il n’y aurait pas de correction U faire si l'instrument était bien placé.

Si l’on supposait le rayon de B double de celui de B', il s'ensuivrait que lequartsculcmcnt du liquide contenu dans la plus grande fiole, aurait été employé à amener le liquide do l.a seconde 5 la ligne de niveaupn et par suite \pn' B -=11 (B-+-B')elII=jpw'.

Quand on reste longtemps en station au même point, on a

NIVELLEMENT

égard à l'évaporation, surtout si le soleil frappe sur l'instrument, ou à l'augmentation du liquide s'il pleut : car alors la hauteur de lasurface de l’eau varierait. Ordinairement, pourobvierâces inconvénients, les deux fioles sont recouvertes do tuyaux métalliques fermés par un bout, que l’on relire quand il est nécessaire. Us ontencore pour but d’ompécherlo liquide de se répandre dans les mouvements de translation. Si l'on opère dans l’hiver, on peut se servir d’alcool au lieu d'eau pour éviter la congélation.

174. Pour savoir à quelle hauteur la ligne denivcaua6(/ty. 142) passe au-dessus du point B, on y place une règle graduée B6 que I on nomme mire. Cette règle a ordinairement deux mètres de haut et peut en avoir quatre en la construisant en deux parties. On fait glisser dessus une petite planche mince, nommée voyant, de 16 h 20 centimètres de hauteur et partagée en deux par la ligne de visée bb' ( fig . 143). Les deux compartiments sont peints de deux couleurs tranchantes. Le voyant est maintenu sur la règle par une vis de pression que l’on serre, lorsqu’après avoir haussé ou baissé d’après les signes que fait l'observateur, il se trouve que la ligne de niveau passe par bb' j alors on compte les divisions comprises entre P et bb1. Il existe plusieurs formes do mire dont le mécanisme est assez simple pour être compris h première vue.

175. Niveau à bulle d'air de Chésg. Cet instrument se compose d’une lunette AB (pg. 144)emboîlée dans deux colletsC et f) dont elle peut sortir, et qui sont supportés par deux montants égaux CE, DF ; ceux-ci reposent sur une règlo EF. Dessous la lunette est adapté un niveau h "bulle d'air dont la position peut dire modifiée au moyen d’un mécanisme placé en II et d'une articulation G. Tout ce premier système pivote sur le point I appartenant à la tige IP. Cette lige est composée : 1° de la partie IL formée de deux plaques parallèles qui laissent entre elles un passage à la courbe métallique ELF adhérente au premier système. Le mouvement prompt dans ce sens se fait avec la main et le mouvement doux avec une vis de rappel K tangente à la courbe en L ; 2° du tambour cylindrique MN évidô en gorge et dans lequel s’engrène une seconde vis tangente N ; 3° de la partie conique PQ qui s'enfonce dans le pied et qui jouit de la faculté do tourner avec tout l’appareil. Ainsi donc, pour se servir de cet instrument, on rend la surface supérieure du tambour MN horizontale à vue, le mieux possible. On assure les pieds, on fait tourner tout l'instrument autour

de l'axe IP, jusqu’à ce que le fil vertical de la lunette eouvre la mire. C’est la vis N qui, pour celle opération, produit les mouvements doux, lorsque l'on a serre la vis de pression QO, attachée au pied, qui presse une portion de surface annulaire contre Je haut de la tige conique PQ. On donne ensuite au premier système un mouvement dans le plan vertical, jusqu’à ce que le niveau GII soit parfaitement calé; puis, faisant placer le voyant de telle sorte que sa ligne de visée se confonde avec le fil horizontal, l’opération est terminée. La lunette, construite comme celle de l’alidade et de la boussole, est une lunette astronomique. (Pour le niveau, voir sa description au livre V Géodésie, cercle répétiteur, § 382).

La vérification du niveau de Chézy consiste en deux choses . 1° l’axe optique de la lunette doit être le mémo que celui du tube qui en forme le corps : car, s'il en était autrement, la lunette pouvant tourner dans ses collets, l'axe optique décrirait une surface conique dont toutes les génératrices no feraient pas le même angle avec le niveau supposé fixe. Pour voir si cette condition est remplie, on vise, à une grande distance, une ligne de niveau que l’on fait couvrir par le fil horizontal, en plaçant la tête de la vis du réticule dans la partie supérieure de la lunette; on la retourne dans ses collets, de manière que celte tête de vis soit dans une situation diamétralement opposée à la première, et l’on regarde de nouveau dans la lunellc. Si le fil horizontal ne coïncide plus avec la ligne visée, on modifie la position de l’axe optique, en faisant parcourir la moitié de la différence par le fil horizontal, au mo*yen de la vis du réticule, et l’autre moitié par tout l’instrument, à l’aide de la vis tangente K. Pour s’assurer que la correction est bien faite, on recommence l’épreuve; 2° l’axe optique de la lunette doit être horizontal lorsque le niveau est calé. Pour s’en assurer, après avoir visé un point très-éloigné, on ouvre les collets, cl l’on rétourne la lunette bout pour bout, puis on ramène l’oculaire vers soi, en faisant tourner fout l’instrument autour de son axe vertical, et la bulle de niveau dans ses repères, parce qu’il est presque impossible qu’elle ne se soit pas dérangée dans ce mouvement. On vise de nouveau et, si le fil horizontal ne couvre plus l’objet pointé, il en résulte que l’axe ab (fig. 144 bis) de-la lunette est incliné de 1 angle a par rapport à l'axe du niveau, qu’il a décrittine surface conique et pris la position symétrique a'b'. On rapproche le niveau de l’angle a , c'est-à-dire de la moitié de la différence angulaire a'ob au moyen du mouvement II {fig. 144).

NIVELLEMENT

En ramenant le fil horizontal sur l’objet, le niveau devra se trouver calé, mais on ne détruit ordinairement toute l'erreur qu'aprcs quelques tâtonnements successifs.

176. Niveau à plateau. Celui-ci nous paraît d'un usage plus facjle que les précédents. Il se compose d’un plateau circulaire que l’on rend horizontal et d’une lunette qui, pivotant sur le centre du plateau, s'appuie constamment sur lui. On conçoit déjà que si l’axe optique est rendu parallèle au plan du limbe, il décrira aussi un plan horizontal.

Soit donc AB ( flg . 145) le limbe supporté par une colonne terminée à sa partie inférieure par un pied à trois branches dans lesquelles sc meuvent trois vis a destinées à faire varier la position du limbe. DE est la lunette construite comme çclle d'épreuve dont nous avons fait usage § 155. Elle porte-à son milieu deux petits tourillons dont l’un s'engage dans le centre évidé C du plateau et dont l’autre, qui se trouve alors situé à la partie supérieure de la lunette, maintient un niveau à bulle GH. On comprend que le but de ce niveau est de régler l'instrument et, pour cela, on le place d'abord dans la direction de deux vis du pied, au moyen desquelles on le cale, puis ensuite on lui donne une position rectangulaire qui correspond à la troisième vis, et avec celle-ci on le cale encore.

177. Niveau de Porro. Le niveau qu’a conçu et longtemps employé M. Porro, remplit le inémebut que celui deChézy et donne une horizontale avec autant do précision que lui, avec plus peutêtre: car la différence de niveau cherchée est si l’on veut, comme nous le dirons bientôt, la moyenne de deux lectures ; mais ce que ne donne aucun des instruments précédemment décrits, c'est la distance en même temps que la hauteur.

Cet instrument se compose d’abord de deux pièces principales une lunette AB et un niveau à bulle ab ( fig . 8, planche XIX).

ab est placé latéralement & la lunette; ac, bd sont des appendices du niveau et se terminent en pointes vers la lunette. Dans celle-ci sont pratiqués deux petits trous légèrement coniques, et précisément de mémo forme que les pointes c,d, qui s’y engagent lorsqu'il s’agit de fixer l’un à l’autre la lunette et le niveau ; à ce dernier est adaptée une petite vis à tête, c, destinée à le régler.

Pour vérifier et rectifier l'instrument, on cale le niveau à l'aide d'un mouvement dont nous décrirons le mécanisme plus tard : on observe avec la lunette la mire placée eu avant, puis rondant

TOPOGRAPniE.

la lunette indépendante du niveau, on lui fait faire une demirévolution autour de son axe. On introduit de nouveau les pointes e,d dans les cavités qui leur sont destinées, avec cette différence, par rapport à la première position, que les places sont alternées. Dans cette nouvelle position, la bulle du niveau étant replacée dans ses repères symétriques, l'axe optique prend la mémo position que précédemment; mais l’objectif ayant pris la position de l’oculaire et réciproquement, il faut, pour que la seconde observation soit possible, imprimer un mouvement de 200* dans le sens azimutal, afin de ramener l'oculaire vers l'œil de l’observateur,

Si l'axe optique de la lunette n'est pas parallèle h celui du niveau : on s'en aperçoit de suite, puisque, après avoir réglé le niveau qui a dû se déranger dans le retournement, la ligne de visée déterminée par l'axe optique n’atteint plus la mire b la même division.

Si m et n représentent les deux lectures, il est évident que

rw-f-n

colle qu’on lirait, si l'instrument était réglé, es t — j tandis que l’erreur de parallélisme entre les axes du niveau «t de la lu-

nelte est — j—

11 faut donc rendro cette quantité nulle, ce qui 6e pratique, comme dans le niveau b bulle de Chezy, au moyen du mécanisme consacré b cet usage : c'est ici la petite vis e.

On est assuré que la condition indispensable de parallélisme est remplie lorsque m = n.

La lunette, qui est b la fois anallalique et diaitimométrique (voir la description qui en sera donnée livre IV, chap. v, § 332), donne en môme temps, comme nous l'avons annoncé, la distance et la cote.

Soient ab ( fig . 9, planche XIX) l'axe optique de la lunette qui, par la visée, détermine le point A sur la mire. Disons, en passant, que ce n'est pas d’une mire b voyant mobile que l'on fait usage, mais d’une mire parlante, c’cst-b-<fira do celle décrite lors de l’explication de la stadia. On se rappelle qu’elle consiste en une règle de hauteur convenable, sur laquelle sont peintes, d’une manière très-apparente, des divisions qui se distinguent bien sous les fils de la lunette b la plus grande distance que comporte la force de l'instrument.

a' et o" sont deux autres Gis horizontaux placés aussi au foyer

NIVELLEMENT

de la lunette et dont les écartements, par rapport au premier fil a, sont tel&qu’ils déterminent, l'un une pente ascensionnelle, l’autre une pente de dépression d’un centième de la distance.

Si donc, au lieu de lire la cote indiquée par le fil a et que nous désignerons par H, on lit les cotes H' et H" correspondant aux iilsa',a", on aura évidemment

La distance D de l'observateur à la mire sera

Nous ferons remarquer en passant, et par anticipation, que dans les lunettes anallaliques le point b (fig. 9, planche XIX) correspond au centre de l’instrument,

Au lieu de donner aux divisions do la mire des dimensions arbitraires, supposons qu elles soient égales chacune b un centimètre, nous aurons

et D =» S0m (!!' — H")

Si l’on donne 2 centimètres aux divisions de la mire, il viendra

H=(a' + n")xo».oi D=> (H1 — H”) X t00“

. On conçoitque plus grandes sont les dimeusionsdes divisionsde la mire et plus grande est l’exactitude de lecture. C’est pour ce motif que M. Porro, après avoir doublé l’écartement des fils a' et a'1, a divisé sa mire de 4 en 4 centimètres.

Indiquons maintenant les différentes parties du support.

Sur un pied ordinaire en bois P [fig. 10, planche XX) qui sert à porter l'instrument, on remarque b la base de cplui-ci deux disques, mm, n», d’épaisseurs inégales. Ce sont deux coins pris dans une sphère dont la face commune de séparation est un grand cercle. Ils sont assemblés au centre, de manière à pouvoir tourner l’un sur l’autre et à constituer ainsi un coin à angle variable, dont la plus grande pente peut varier en azimut sur le pied P. Ce sont les deux manches q et q1 qui facilitent celte manœuvre. Un petit niveau sphérique, placé dans la cuvette oo', indique l'horizontalité de la face supérieure du coin.

Ce mécanisme simple et solide produit 1 effet obtenu dans les

autres instruments précédemment décrits par des procédés qui peuvent varier de l’un à l'autre. .

Deux chevalets t, » s'élèvent sur le fond mobile de la cuvette et viennent supporter l’axo de rotation do la lunette, qui est montée comme celle des théodolites. Le niveau garni d'uno douille que traverse l’axe de rotation est donc libre tant que les pointes c, d ne sont pas engagées dans les petits trous correspondants du tube de la lunette. Les tourillons de l’axe de rotation peuvent glisser horizontalement sur leurs collets, de manière à permettre de rendre dépendants ou indépendants l'un de l’autre, ii volonté, les deux éléments principaux de l'instrument.

Les chevalets s, * sont assez élevés pour que l’inversion de la lunette dans le sens vertical puisse se faire sans rien démonter.

Sur une portion de l'axe de rotation est adapté un manchon faisant corps avec un bras de levier en cuivre sur lequel agit la vis do rappel r, lorsqu’on serre un bouton de pression convenablement disposé.

La surface conique intérieure de la lunette est divisée en grades, pour y lire au besoin l’angle horizontal par un moyen catoplrique qu'on décrira plus tard.

Deux petites pièces placées en c et d, que l’on n'a pas pu indiquer sur la figure, mais dont la forme se conçoit aisément, sont percées do plusieurs trous analogues à ceux quo d'abord nous avons désignés par c et d. Ces trous sont exactement espacés do 1>, le centre étant supposé sur l’axe mathématique do l'axe de rotation. Leur emploi, combiné avec les divisions du niveau ab , permet de faire fonctionner l'appareil dans des conditions déterminées autres que le parallélisme de la lunette et du niveau. Il s'emploie alors comme le clisimètre de Chézy, que nous décrirons dans l’un des prochains paragraphes, et facilite beaucoup iesopér rations de nivellement dans les pays de montagnes.

178. Niveau réflectettr de Burel. Cet instrument est formé par un cube de cuivre dont les arêtes ont 0m,02. A l’une des faces est adapté un anneau A f fig. 146), destiné à soutenir, en y passant le • doigt, le niveau h la hauteur de l'œil. Le point de suspension de l'anneau peut varier au moyen d'un chariot B, qu’en tournant, fait mouvoir la vis CD qui le traverse. Sur la face EFGH est appliqué un miroir sur lequel est tracée une droite parallèle à la base et aboutissant a deux pointes L et M en saillie sur les flancs du cube. Pour opérer, la ligne LM doit être horizontale et lo plan du miroir vertical. Supposons qu’il en soit ainsi, et indi-

N1VRLLBMBNT.

quons l'usage do l'instrument; puis ensuite, nous verrons comment on s'assure que ces conditions sont remplies. On élève le niveau jusqu’à ce que LM partage en deux exactement l image de la prunelle de l'œil, et dans ce cas, la ligue LM et son image sc superposent ; il en résulte que le plan passant par l'œil et par LM est normal au miroir, et par conséquent horizontal si celuici est bien vertical.

Dans cet état de choses, l’observateur, au moyen des pointes L et M, peut indiquer au porte-mire placé en avant dans quel sens il faut faire mouvoir le voyant pour que la ligne de visée soit dans le plan horizontal passant par l’œil. La différence entre la hauteur de l'œil au-dessus du sol et la lecture faite sur la mire donnerait la différence de niveau entre les deux points: mais, dans l'usage de cet instrument, aussi bien que des précédents, on fait abstraction du lieu où se trouve l'observateur ; on opère pour un second point comme pour le premier, et la différence des lectures donne la différence do niveau des deux points visés.

Pour s’assurer que l'on a satisfait à la première condition, celle de la verticalité du miroir, on se place devant un murST (fig. 147). Soit FH la position du miroir : on fait tracer sur le mur son intersection P avec le plan passant par l’œil et les deux pointes de l'instrument; on tourne le dos au mur et l'on replace l'instrument à hauteur de l’œil. Soit FMI' la nouvelle position du miroir, le plan passant par l’œil en O' et par les deux pointes lui sera toujours normal. Son intersection sur le mur sera en p', et pour la trouver, l’observateur regardant un peu obliquement dans le miroir, indiquera à un aide placé auprès du mur la ligne qu’il faut qu’il trace pour que sa réflexion se confonde avec la ligne gravée sur le miroir. Si, comme l'indique la ligure, les droites projetées en p et p' ne coïncident pas, cela prouve que le miroir était incliné. Les angles FLF', pLp' sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires, et chacun d’eux est le double de l'angle que formo le miroir FII avec la verticale LN. Si donc, en tournant la vis CD {fig. 146), on change le point de suspension, on arrivera, après quelques essais, à détruire cette erreur. Alors, dans les deux positions, lo miroir sera vertical et les traces sur lo mur, représentées par p et p', sc réuniront on P. Si la trace LM n'était pas horizontale, on s’en apercevrait dans l'opération faite pour la première vérification, puisque l'on obtiendrait deux lignes symétriquement inclinées, comme l'indiquent pp et p'p' {fig. 148).

Les instruments sont construits de telle manière que cette imperfection n'existe pas; si parfois, néanmoins, elle se rencontrait, le constructeur de l’instrument pourrait seul y remédier, à moins que le chariot eût deux mouvements rectangulaires, ce qui n’a pas lieu dans le niveau réflecteur représenté (fig. 146). On peut, pour opérer, suspendre si l’on veut ce niveau à un bâton fiché en terre, mais on s'en sert néanmoins en le tenant à la main. Cet avantage, joint à son peu de volume et à la netteté de sa ligne de foi en font un instrument très utile.

179. Clisimètres. Nous avons dit que les instruments qui donnent une ligne horizontale m'étaient pas les seuls employés à trouver la différence de niveau entre deux points. On conçoit en effet que si l’on connaît l’angle MCN et le côté MC ( fig . 149), il est facile

de trouver MN puisque 1 on a — -g — .Les instruments qui

déterminent l’angle de pente se nomment clisimètres.

180. Niveau de maçon. Le plus simple de tous est vulgairement connu sous le nom de niveau de maçon. Dans la description que nous allons eu faire, on verra qu'il peut être également classé parmi ceux qui donnent seulement une ligne de niveau. Il consiste en un triangle isocèle rectangle A 'DE (fig. 150) ; au sommet D est fixé un fil à plomb. Un arc gradué, dont le centre ost en I), s appuie sur la base AE et vient se fixer aux deux cûtés de l’anglo droit. Cet arc serait inutile s’il ne s'agissait que de s’assurer de 1 horizontalité de la droite ou du plan qui supporte l'instrument. Dans ce cas, le fil à plomb dovra aboutir sur le milieu de la base A'E, si le niveau est exact. Pour trouver le point de la base auquel correspond le fil quand elle est horizontale, il suffit de poser 1 instrument sur une règle arbitrairement inclinée, de marquer la trace du fil sur la base, de retourner bout pour bout, de marquer encore la position du fil à plomb et de tracer le milieu entre les deux. S’il était bien construit, il suffirait de diviser la base en deux parties égales. Quand le niveau est muni de l’arc dont nous avons parlé, l’opération est la même; puis, prenant le point de rencontre du fil et de la base A'E horizontale pour origine des graduations, on marque les grades ou degrés à droite ou b gauche de ce point. Pour trouver l’inclinaison d’une droite AB, il suffit donc d’appliquer le niveau dessus et de lire quel chiffre correspond au fil, en observant toutefois dans quel sens est l’inclinaison : car, sans celle précaution, il y aurait incertitude, puisque de part

NIVELLEMENT

eld'aulre so trouve la même numérotation. Pour obvier à cct inconvénient, on a imaginé d écrire les divisions de 0' à 100* de G en II ou de II en G, de manière que 50‘ correspondit à AF horizontal. Dans la première de ces deux suppositions, si U est plus élevé que A, l'angle qu'on lit est plus petit que 50', et si on l'en retranche, on a précisément l'inclinaison de AB sur l'horizontale AC. Quand B est plus bas, on lit un chiffre supérieur h 50“ et la différence est encore l'expression de l'inclinaison de AB. Lé contraire a lieu si les chiffres vont de II en G. 11 nous semblo qu’il serait plus simple encore de coter 100“ le point milieu de la base : l'extrémité G de l'arc serait 50‘, tandis que II indiquerait 150'. Ces chiffres se rapporteraient aux angles que peut faire la base AF avec la verticale du point A' : ce serait, si l’on veut, les distances zénitales prises de A'.

Quelquefois cet instrument est dépourvu de l’arc gradué : les divisions sont tracées sur la base et sont les prolongements des rayons passant par toutes les divisions du limbo; elles sont alors d’inégales dimensions, car elles croissent comme les tangentes des angles de 0“ à 50* ou plutôt elles on sont les tangéntes ellesmêmes.

181 . Les différentes constructions que nous venons d’indiquer obligent, pour résoudre le triangle BAC, à avoir recours aux logarithmes, h moins que le constructeur n'ait inscrit, au lieu de la graduation, les rapports do longueur entre la hauteur do l'instrument èt la partie do la base comprise entre son point milieu et la perpendiculaire ; mais il existe un procédé plus usité et qui consiste en ceci : le triangle A'DF étant rectangle en D, la base A'F est double de la hauteur j si donc on divise la base, en 400 parties, par exemple, DE en représentera 200. Cela posé , supposons quo le fil h plomb DP [ftg. 151) corresponde à la 260', il en résultera, puisque les triangles PDE, ABC sont semblables comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires, que DE ! EP : : AC 1 BC ou