CHAPITRE XIII

PLANS COTÉS

220. Nous avons, en exposant les premiers principes de la topographie, § 76, parlé de l’impossibilité qu’il y aurait d'appliquer à cette branche de la science descriptive la mélhode dans laquelle on fait usage de deux plans de projection. Nous avons dit comment on pouvait supprimer l'un d’eux en indiquant, par des chiffres, sur l’autre, les distances des points principaux à ce dernier. Ce procédé, qui convient parfaitement lorsqu'il s'agit de décrire des corps ou des surfaces de formes peu compliquées, facilement définissables, manquerait le but qu’on veut atteindre, lorsqu’il s’agit de question de topographie proprement dite. Aussi avons-nous de suite indiqué quelles modifications on y apporte, lorsqu'il faut représenter, sur une surface plane, les différentes circonstances que présente le terrain. Les sections horizontales cotées, les lignes de plus grande pente dont on fait usage ne sont qu’une modification, ou plutôt qu’une application de la théorie que nous allons exposer dans ce chapitre.

C’est particulièrement dans les projets, dans les tracés de fortification, qu’on se sert avec fruit des plans cotés, et qu’on résout ainsi une grande quantité de problèmes dont la solution serait

infiniment moins simple, si l'on ne savait se servir que des mé~ lliodes générales de la géométrie descriptive.

221 . Les objets que l'on peut se proposer do décrire se rapportent nécessairement à l'une des catégories suivantes :

Un point ;

Une ligne droite ou courbe ;

Une surface plane ou courbe.

Un point est parfaitement déterminé par sa projection et sa cote.

La position d'une droite étant établie, par la condition qu elle passe par deux points, il s'ensuit qu’il suffit de connaître les pro- - j celions et les cotes de deux de ses points.

Si la ligne est une ellipse, dont la projection doive être un cercle, la position do trois points et leurs cotes suffisent.

Pour une courbe quelconque, plane ou à double courbure, les projections des points donnés doivent être d’autant plus multipliées, qu'on veut obtenir plus de précision. Quant aux cotes, il suffit d'en connaître trois, pour le cas où la courbe est plane.

Une surface est décrite par des sections horizontales équidistantes, qui donnent des droites parallèles lorsque la surface est plane, et des courbes pouvant affecter les formes les plus variées, lorsqu’on s’occupe de surfaces qui ne sont pas planes.

222. L'échelle de pente d'une droite ou d'un plan fournit le moyen de connaître l’inclinaison de l'un ou l'autre sur le plan de projection.

Soit A'B' (fig. 11 , planche xx), la projection d’une droite que nous supposons rabattue sur le plan horizontal. Ce rabattement, procédé dont on ne fait pas usage dans la méthode des plans cotés, n’est figuré ici que pour aider les esprits qui ne sont pas encore familiarisés avec cette branche de la géométrie.

Désignons par a et P les cotes qui représentent les distances AA' et BB' des points A et B au plan horizontal. La tangente de

l’inclinaison de la droite est -ÿg7-

Si l’on veut diviser A'B', de manière que les divisions soient les projections de points qui s'élèvent ou s’abaissent successivement les uns sur les autres de mètre en mètre, on cherche la ligne AD correspondant à une verticale CD qui soit un mètre : elle est fournie par la proportion

AF

/) — a ; AE ; ; 1” : AD d'oïl AD .

PLANS COTÉS

Maintenant, pour diviser la ligne totale et même prolongée au besoin, en portions égales h AD, et faire en sorte que les poinlsA' et B' occupent exactement, sur l’échelle, la position qu’indiquent leurs cotes, on cherche, toujours à l’aide de la même proportion modifiée, l’intervalle horizontal qui doit séparer l’un d’eux du nombre entier de mètres le plus voisin. La même figure suffit pour faire mieux comprendre, puisque l’on peut tout aussi bien sup- . poser que CD représente une fraction quelconque du mètre. Dans ce cas, A'D' indique la fraction correspondante de l’horizontale. (Voir l’exemple représenté par la fig. 12.)

En opérant de la même manière par rapport au second point donné, on a un moyen de vérification.

La projection ainsi divisée est l’échelle de pente de la droite.

La suite des normales, qui aboutissent les unes aux autres sur les sections consécutives d'un plan topographique, sont autant d’échelles de pente partielles qui varient d’intensité si les courbes se rapprochent ou s'éloignent horizontalement. Lorsque l’échelle du dessin est assez grande, et quand l’inclinaison est assez faible pour le permettre, on divise l’une des parties qui correspondent à lm, en 10, quelquefois même l'une do celles-ci en 10 encore, et l’on a les bases de hauteur exprimées en décimètres et en centimètres. Bien de plus facile maintenant que de trouver la cote d’un troisième point C d’une droite, lorsqu’on en connaît la projection, ou réciproquement, de trouver la projection du point qui aurait pour cote, un nombre fixé d’avance.

Si d’abord la projection D', fig. 12, planche XX, est donnée, on a a 'B' : AD'; : /î — a : DC, d’où la quantité à ajouter à la cote du

point inférieur, ou CD = ^|(/9— a).

En second lieu, CD est connu, c’est A'D1' que l’on cherche, donc il faut transformer la proportion en l’équation suivante :

223. Lorsque les données du problème sont, la projection do la droite, la projection et la cote d’un seul de ses points et l’inclinaison exprimée par le rapport on prend , avec le compas,

M mètres sur l’échelle horizontale, puis on porte celle longueur sur la projection de la droite, à partir du point donné. Celui où aboutit l’ouverture du compas aura une cote différente de celle

TUI’OURAI'KIE.

connue, précisément d'un mètre. Telle sera l'unité de division de l'échelle de pente qui pourra dès-lors être tracée, comme il est dit plus haut.

224. Faire passer par un point connu une droite d'une inclinai-

son — •

tn

La solution ressemble beaucoup h la précédente. 11 est h remarquer néanmoins que le problème est indéterminé, c'est-à-dire qu’une infinité de droites satisferont à l'énoncé.

On prend sur l’échelle horizontale une longueur représentant m mètres; on s’en sert, comme rayon, pour décrire une circonférence dont le centre est la projection du point donné P. Toutes les droites partant de cette circonférence qu’on cotera d’un mètre en plus ou en moins que P, pour s’appuyer constamment sur le point, seront inclinées à l’horizon dans le rapport

225. Deux droites étant connues par leurs projections et par les cotes de deux de leurs points, pour reconnaître si elles se coupent , il faut calculer la cote du point de chacune d'elles qui se projette à l’intersection des projections des droites. Elles se rencontrent dans l’espace lorsque le résultat du calcul donne le môme chiffre pour les deux. Ce problème no présente aucune difficulté nouvelle: car nous avons indiqué précédemment comment on trouve la cote d’un point dont la projection est connne.

Si ces droites sont contenues dans un mémo plan vertical, elles se rencontrent inévitablement, à moins qu'elles soient parallèles. Soit donc a'P ( fig . 13 , planche XX) , la projection commune aux droites AB, AM}*. On cherche les cotes do deux points de l’une d’elles, ayant mêmes projections que deux connus do l'autre.

C’est pour mieux faire comprendre ce qui se passe dans le plan vertical, que nous employons encore un rabattement.

Ce sont ici les points A" et B" de AB qui ont mêmes projections que A' et B' de la seconde droite.

Le rabattement met en évidence deux triangles semblables dont le sommet commun C est le point cherché.

Ces triangles fournissent la proportion A'A'f ; B'B'' ; ; CD'; CD OU A'a'— A"«' : B"B> — B’ pi : :«*y : fi’t

A" a1 cl B" 3' sont les cotes des points auxiliaires employés. Onsait les trouver-

CLANS COTÉS

La première proportion peut encore se transformer en la suivante

A'A" +B'B» : B'B"::CD' + CD ou DD': CD.

ün en déduit enfin