Trouver l’intersection de deux surfaces

La marche est identiquement la même que celle suivie dans le problème précédent.

TOPO'iRAI'IllE .

Ce sont des courbes qui se rencontrent deux à deux au lieu d'être des droites et de* courbes.

248. Faire passer, par une droite donnée, un plan tangent à une surface connue.

Ce plan doit, comme il vient d'élre dit plus haut, avoir deux éléments communs avec la surface. Ceux de la normale et de la courbe, au point de tangence. Si l'on conçoit les plans qui produisent les sections horizontales suffisamment rapprochés, l'élément de la normale sera rectiligne et les tangentes qui passent par ses extrémités seront parallèles.

Il faut d'abord tracer, par tous les points de l'échelle de pente de la droite AB (fig. 27, planche XX), qui ont mômes cotes que les sections horizontales, des tangentes à ces sections. S'il s’eu rencontre deux consécutives parallèles, elles soront contenues ainsique l'élément, rectiligne dans ce cas, de la normale qui unit les deux points de tangence, et si, à plusieurs hautcursditTérentes, cette condition se trouve remplie, il y aura plusieurs solutions possibles. Cette circonstance peut ne pas se rencontrer, surtout parce que l’équidistance des sections est souvent trop grande : mais alors ou peut remarquer que si les tangentes parlant de AB vont en convergeant après avoir divergé ou réciproquement, il doit y avoir un point intermédiaire tel que sa tangente et la voisine soient parallèles. Celle dernière est celle qui sépare les divergences des convergences. Sa propriété caractéristique est qu'elle forme la limite maxima ou minima de la série des angle? qui précèdent et, par conséquent, la limite minima ou maximu des angles qui viennent ensuite.

Celte circonstance se présento deux fois dans la figure pour les horizontales \ et 8. Il y a donc deux solutions. Les échelles de pente des deux plans sont respectivement perpendiculaires aux tangentes k et 8, et leurs divisions sont fournies par la longueur des normales aux points do tangence, avec lesquelles d'ailleurs elles se confondent en direction.

249. Si la ligne donnée AB fig. 28, planche XXI) est horizontale, il y a lieu de modifier le procédé dont il vient d’être fait usage. Celle ligne est en effet parallèle à la trace du plan cherché. à toutes ses horizontales, et par suite à celle qui doit être en même temps tangente à une section de la surface.

Il faut donc d'abord tracer toutes les tangentes horizontales des courbes: mais le problème n’est pas encore résolu, puisqu'on

l'LANS COTÉS.

peut faire pisser par toutes ces tangentes des plans qui auraient AB pour traça commune. La plupart d’entre eux couperaient la surface et ne satisferaient pas ti l'énoncé du problème. Il faut trouver celui qui contient l'élément de la normale qui, suffisamment prolongée, aboutira sur la ligne AB.

Pour sortir de l'indécision où l’on se trouve, voici comment on doit procéder. On divise AB en parties proportionnelles à l’équidistance des sections, c'est-à-dire égales entro elles.

Par un point quelconque de AB, on mène une ligne AB' dans une direction facultative, avec la condition seulement quelle rencontre toutes les tangentes aux courbes, sous un angle qui restreigne l’opération dans les dimensions de l’épure. On joint les divisions 1 , 2, 3, 4, 5, G de AB, qui indiquent des multiples de l’équidistance avec les points où AB' rencontre la lrt, la 2*..., la 6« tangente. Ces lignes de jonction seront convergentes ou divergentes ; quelques-unes pourront être parallèles entre elles. Elles le seraient mêmes toutes s’il s'agissait d'une surface conique régulière (/î g. 29, planche XXI). Eu effet, la génératrice SI), lieu géométrique de tous les points de contact des tangentes aux sections équidistantes, ayant une inclinaison constante de la base au sommet, les points de rencontre des tangentes seront distants entre eux comme le sont les plans horizontaux coupants. Il y a équidistance verticale entre ceux-ci, il y aura donc équidistance horizontale entre les divisions de AB'. Il devient évident que chacune des lignes AB et AB' étant divisée en parties égales, les droites qui uniront les points correspondants de l’une et l’autre seront parallèles.

Revenant à la question principale , nous dirons’que , si deux lignes do jonction sont parallèles, elles détermineront un plan qui coupera celui qu’on peut faire passer par les deux tangentes correspondantes et consécutives suivant une ligne droite. Celle droilo, prolongée suffisamment, viendra rencontrer la traco AB, et puisqu’elle est contenue aussi dans le plan des deux tangentes, ce plan passera également par la ligne horizontale donnée AB.

S’il n'y a pas deux lignes de jonction parallèles, mais si elles sont d’abord convergentes, puis divergentes ensuite, ce sera, comme il a été dit plus haut lorsque lo raisonnement s’appliquai t aux tangentes horizontales , ce sera celle qui est l'intermédiaire entre les unes et les autres, et qui forme l’angle maximum d'un côté et minimum de l'autre avec AB', ou aussi avec AB.

Si, enfin, ces lignes, qui servent à découvrir les tangentes favorables à la solution du problème , sont toutes convergentes ou toutes divergentes: cela exprime qu'il n'y a pas poRibihtè de ré- soudrc la question.

250. Soient donné», une surface par ses sections horizontales, un plan vertical par sa trace et un point contenu dans ce plan par sa projection et sa cote : on demande de faire passer par le point donné, u u plan tangent à la surface en un point de l intersection de la surface par le plan vertical.

1*0 est la trace du plan vertical cl P la projection du jjpint [fiy. .‘50. planche XXI). Par ce point, on mène une droite PB, faisant un angle quelconque avec PQ, et on la divise en parties égales, que l'on joint avec les points de cotes analogues, sur 1 intersection des courbes par le plan vertical PQ. PH représente alors, comme dans plusieurs circonstances précédentes, une droite dans 1 espace, plus ou moins inclinée à l'horizon, selon que ses divisions sont plus ou moins serrées. Cela importe peu, puisqu’il s'agit seulement de trouver une suite d'horizontales , afin de reconnaître >i, entre toutes, il y en a deux consécutives parallèles.

S'il en est ainsi , elles sont comprises l une et l'autre dans un plan passant par PR, et, par conséquent, par P. L’intersection de ce plan, par le vertical donné, est une droite projetée suivant PQ ; AB, élément de la surface proposée, appartient h cette droite qui représente la tangente menée par P à la courbe d'intersection verticale. Le plan tangent demande est alors connu : car il doit contenir cette tangente et la tangente horizontale A r. La trace est parallèle et l'échelle de pente perpendiculaire h cette dernière. De plus, la division de l’échelle dépend des cotes de P et de A. Le problème est donc résolu.

Il ne résulte pas nécessairement de ce qui précède que le plan tangent passe aussi par BV, c’est-à-dire que AI et BV soient parallèles. Le plan est langent au point A seulement, et peut-être sécant en B : mais, réciproquement, on peut mener un plan tangent en B, qui serait sécant en A. L’élément AB est alors 1 intersection de deux plans tangents très-voisins.

S'il ne se rencontre pas deux lignes de jonction consécutives parallèles, celle qui détermine le point de tangence demandé est toujours, comme nous l'avons dit pour un cas semblable, la droite où se terminent les convergences et où commencent les divergences des autres lignes de construction. La direction AB n'est

PLANS COTÉS

point celle d'un élément normal de la surface, puisque son inclinaison est quelconque par rapport à la section horizontale de A et à sa tangente. Mais elle n'en est pas moins , dans une très-petite partie du moins, commune à la surface et à son plan tangent.

Peut-être demandera-t-on si la droite Plt, dont la direction et l'inclinaison sont arbitraires, donnera dans toutes ses positions, si du moins cela a lieu pour l'une de ses positions, deux horizontales consécutives do cotes constantes? S'il n'en était pas ainsi, le procédé serait vicieux, puisqu'il indiquerait un point de tangence diffusent, plus ou moins élevé suivant que la droite auxiliaire aurait telle ou telle direction, telle ou telle inclinaison.

La figuro 31 , planche XXI, indique pour la droite auxiliaire, trois projections différentes, Plt, PR' PR", et fait voir que pour chacunes d’elles c'est toujours la mémo ligne de jonction (3 sur la figure), qui sépare la suite des angles divergents de celle des angles convergents. On comprend aisément, d'ailleurs, que le changementde position de la ligne PR ne modifie que d’une même quantité angulaire celles des horizontales qui s'appuient sur ses points de division. Leurs projections conservent donc la même relation entre elles, pour telle position qu'il convient de donner à PR.

Ainsi, la direction do PR est indifférente : mais ce qui ne l’est pas, c’est son inclinaison à l’horizon. On a fait évidemment varier, en augmentant ou diminuant la dimension arbitraire donnée aux Avisions de PR. Si l’on trouve donc, dans un premier essai, toutes les lignes de jonction divergentes ou toutes convergentes, c’est une preuve que l'inclinaison donnée à la droite auxiliaire ne convient pas. On la fait varier et l'on procède de la même manière jusqu'à ce qu'on ait réussi.

251. Par un point donné, faire poster un plan tangent à une surface, en un point de l'une de ses courbes.

Dans le problème précédent, on imposait la direction PQ sur laquelle devait se trouver le point de tangence. Ici, celte direction est inconnue; mais la hauteur est fixée. C’est sur la section AB, par exemple ( pg . 32, planche XXI) qu'il doit être.

Observons d'abord qu’une droite telle que Pm, soit dans l’espace, soit en projection, rencontre la courbe inférieure ou sa projection en un point n qui divise Pm proportionnellement aux hauteurs de m et n au-dessus de P. Le rabattement annexé à la

ToroGiuruiE.

figure le ferait voir au besoin. Ce fait est le résultat de la similitude des triangles qui, là, sont représentés parpry pc' y'.

Si par les points m et n, on mène deux lignes parallèles, elles couperont une autre droite quelconque PC, PD, PE, partant de P dans le même rapport que Pm, P» ; et, dans le cas où ces doux lignes seraient tangentes aux courbes, le problème serait résolu puisqu’elles détermineraient, combinées avec PC, PD ou PE, le plan tangent passant par P.

Celle considération rend la solution du problème facile. En effet, du point P, comme centre, on trace deux arcs de cercles, dont les rayons sont plus ou moins grands, pourvu toutefois qu’ils soient entre eux dans le rapport que nous mentionnions tout à l’heure, celui des différences do niveau de la courbe AB et de celle qui lui est immédiatement inférieure ou supérieure, par rapport à P. On trace un certain nombre de rayons PC, PD, PE, jusqu’à ce qu’on rencontre celui qui convient, comme nous allons le dire.

Des points E et E', de l’un d eux, on mène deux tangentes horizontales aux sections dans les plans desquelles clics se trouvent. Les plans de tangence sont en m et m' ; mais Em, E'm' ne sont pas parallèles; m et n ne conviennent donc pas. On continue à opérer ainsi par tâtonnement, c’est-à-dire que l’on essaie les points D,D' d’un autre rayon, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on rencontre deux points C.CC tels que les tangentes qui les unissent aux courbes horizontales soient bien parallèles. C’est ce que présente la figure 21.

M et N unis entre eux sont un élément de la surface : MC et NC' sont des horizontales du plan : sa trace passe par P dans la direction de MC : puis, enfin, l’échelle de pente se divise en raison de la différence de hauteur de M ou de AB et de P.

L’élément MN. si les sections étaient infiniment rapprochées, serait normal aux tangentes : dans la pratique, il n’en est pas toujours ainsi. Le plan tangent doit passer, dans tous les cas, par MN et par les deux tangentes.

Si cependant, les. opérations de tâtonnement n’amenaient pas à la découverte de deux tangentes exactement parallèles, celle qu’il conviendrait do prendre serait toujours, comme dans d’autres cas analogues, 1 intermédiaire entre les horizontales convergentes et divergentes.

PLAiHS COTÉS. 227

252. Mener un plan tangent à une surface, parallèlement à un plan donné.

MN et AB Ifig. 33, planche XXI) sont la trace et l'échelle do pente du plan donné. Les horizontales et la trace du plan cherché doivent être parallèles à MN. L'échelle de pente, parallèle à AB, aura des divisions de mémo dimension que les siennes. Après avoir tracé toutes les tangentes aux courbes, parallèlement à MN, on cherche la zone dont l’inclinaison est la même que celle indiquée par AB : car il y aura contact, suivant l'élément de la normale, entre la surface et le plan cherché. Pour trouver celte zone, on prend, en un lieu quelconque de l’échelle AB, l'écartement do deux horizontales correspondant à l'équidistance des courbes qui décrivent la surface. Dans la figure, nous avons supposé l'échelle AB divisée do mètre en mètre et l’équidistance de 2 mètres. Cherchant quelles sont les deux tangentes contiguës qui sont écartées horizontalement d’une quantité égale à FG, nous trouvons que ce sont celles des points C et D. Ce sera donc suivant l’une de ces deux tangentes que passera le plan cherché. Ce plan sera représenté en rabattement par C; PC Sa Irace PQ sera déterminée en portant en contre-bas de C la distance CD ou FG autant de fois qu’est répétée l’équidistance entre C et P.

11 peut se faire qu'on ne trouve nulle part entre les tangentes un écartement précisément égal à FG.

Si toutes sont plus ou moins distantes, le problème n'est pas réalisable : si les écartements varient assez pour qu'il y en ait de plus grands et de plus petits que FG, la tangente qui détermine la position du plan est celle qui sépare les trop grands écartements des trop petits.

253. Déterminer la courbe de contact d'un cône dont le sommet est donné, avec une surface à laquelle il doit être tangent.

Les méthodes, indiquées aux paragraphes 250 et 251, permettent de déterminer par points la courbe de contact.

25Î. Déterminer la courbe de contact d’un cylindre tangent à une surface et dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée. MN ( fig . 3!>, planche XXI) représente l’échelle de pente de la droite dont nous suppose l'origine O en M dans le plan do la section horizontale inférieure de la surface proposée. La courbe de contact s’obtiendra encore par points en cherchant successivement celui de tangence de chaque génératrice avec l'intersec-

lion de la surface par le plan vertical qui contient cette génératrice.

On se rappelle que, pour y parvenir, on joint par des droites les points cotés de même sur la projection de la droite et sur la trace du plan vertical. S’il n'y en a pas deux consécutives parallèles, nous savons où est placé le point cherché. Si, au contraire, cette circonstance se présente , au lieu d’un point , c'est une ligne de contact qui est la portion d'intersection des deux plans, comprise entre les parallèles.

En imaginant un plus ou moins grand nombre de plans verticaux , on obtient un pareil nombre de points ou d'éléments communs.

Pour éviter la confusion qu'entraînerait la multiplicité des lignes partant des divisions de l’échelle de pente MN, on peut agir plus simplement, en remarquant que si deux divisions quelconques de l’un ou l’autre des plans verticaux sont distantes entre elles comme leurs correspondantes sur l’échelle, les lignes de jonction sont parallèles; que si, aucontraire, cela n’a pas lieu, mais que, dans la suite des distances inégales de courbes sur PQ ou toute autre, elles deviennent plus petites après avoir été plus grandes ou réciproquement qu’une division de l'échelle , cela indique que le point de contact est sur la ligne de démarcation des unes et des autres. Il suffit donc de prendre, avec le compas, une ouverture égale à la division de l'échelle, qui correspond à l'équidistance et de la présenter successivement sur les traces do tous les plans verticaux. C’est ainsi que nous avons obtenu la eourbo de contact représentée sur la fg. 3i.

255. Par un point donné, mener un plan tangent à deux surfaces. Ce plan devra contenir les tangentes des sections des deux surfaces aux points de contact. De plus, ces tangentes horizontales elles-mêmes et contenues dans un même plan sont parallèles.

Le problème est donc ramené h la recherche de ces parallèles et pour le résoudre voici comment on peut s’y prendre.

On imagine le plan tangent cherché coupé par un plan arbitraire; puis, considérant l’intersection qui en résulte et le plan tangent par rapport à l’une des surfaces, seulement d'abord, il est facile, par ce que nous avons vu, § 2W?, do trouver la tangente qui détermine la position de ce plan tangent. On se rappelle qu'il faut mener, par toutes les divisions égales et cotées do l’intersection, des tangentes aux courbes qui ont respectivement

PLANS COTÉS

les mêmes cotes; qu’entre toutes, on sait reconnaître celle qui appartient au plan tangent passant par la droite d’intersection et par conséquent par le point donné. Ou opère précisément de la môme sorte à l'égard de l'autre surface. Si les deux tangentes trouvées de part et d'autre sont parallèles, cela signiiio clairement que les deux plans se confondent en un seul, qui est celui cherché. Si le contraire arrive, ce qui est inliniment plus probable, cela prouve que la droite, qu’on a prise arbitrairement, n'étant pas contenuo dans le plan tangent unique cherché, n’est que l'intersection de deux plans tangents partiels. Il faut donc répéter longtemps et par des tâtonnements successifs, des essais semblables, basés sur des inclinaisons diverses de la droite auxiliaire.

Lorsqu’on a enfin trouvé les deux parallèles, tangentes chacune h l'une des courbes de chaque surface, et satisfaisant à la condition indispensable, plusieurs fois déjà énoncée, on peut dire que la trace et l'échelle de pente du plan demandé sont connues. Voir, sur la fig. 35. planche XXI , les opérations qui viennent d’être décrites : P projection du point donné; PQ celle d’une droite arbitraire; les chiffres placés à droite et à gauche indiquent deux essais relatifs à deux inclinaisons différentes.

Dans la première opération , représentée par les chiffres de gauche de l’échelle de pente PQ, les tangentes 6 A et 2 B sont parallèles, mais ne satisfont qu’à cette condition; tandis que 4 A et 5 B non parallèles déterminent la position de deux plans tangents se coupant suivant PQ.

Arrivant au second essai , eu passant sous silence ceux qu'on aurait pu faire encore, sans plus de résultats que dans le premier, les chiffres de droite nous indiquent que l'inclinaison de PQ plus grande que la première satisfait à la solution du problème, puis que les tangentes 3A et 5B sont en même temps parallèles et limites entre les convergences et les divergences.

250. Mener à deux surfaces, un plan langent parallèle à une droite donnée.

Nous employcrons une marche analogue à la précédente :

Soit MN la projection et l’échelle de pente de la droite. Le plan tangent contiendra une droite parallèle à la première et dont la projection peut être représentée par PQ. Son inclinaison étant la même, il nous est facile de la diviser proportionnellement à l'équidistance.

Supposons l’équidistance des sections de surface égale à 2",

TOrOGRAl'UlK.

les divisions de PQ seront doubles de celles de MN. Si nous connaissions l'intersection de la ligne projetée en PQ par l’un des plans horizontaux qui déterminent les sections des deux surfaces, nous connaîtrions également, en vertu de l'équidistaiice, tous les autres points de la droite, compris dans les plans coupants. Par ces points on mènerait des tangentes aux sections des surfaces; on rechercherait de part et d'autre, celle qui jouit de la propriété de déterminer le plan tangent; puis, si les deux lignes, qui satisfont à cette condition pour les deux surfaces étaient parallèles, le problème serait résolu , car le plan est parallèle à MN, puisqu'il passe par PQ; et il est tangent aux deux surfaces, puisqu'il contient les deux tangentes parallèles qui aboutissent à PQ.

Mais on 11e connaît que la projection PQ et l'intervalle de ses divisions : il faut donc nécessairement opérer par tâtonnement, en attribuant au hasard uno cote quelconque à l'un des points, P par exemple, et en l'augmentant ou la diminuant, jusqu’à ce qu'un dernier essai fournisse le parallélisme des tangentes caractéristiques pour chaque surface. La fig. 3G ( planche XXI), fait voir que trois essais ont été tentés. Nous avons attribué successivement à P, les trois cotes 1 , 2 et 3. Les cotes des autres divisions étaient la conséquence de cos trois points de départ et les opérations sont distinctes sur la figure, parce que les lignes qui y sont relatives sont discontinues, ou pleines ou ponctuées. On reconnaîtra facilement que c’est le système représenté par des lignes pleines qui résout la question, puisque les tangentes aux courbes cotées 5 sur les surfaces A et B sont parallèles cl séparent les tangentes divergentes des convergentes. La trace du plan cherché est donc parallèle à ces tangentes 5 et son échelle perpendiculaire. L’une et l’autre sont indiquées sur la figure.

Généralement, il est probable qu’il faut varier les cotes attribuées aux divisions de PQ par des fractions quelconques de l'équidistance. Ce que nous avons supposé ne peut être qu’un cas particulier préféré pour rendre l'opération plus simple à pratiquer et à décrire.

257. Bien ne serait plus fucile maintenant que d'indiquer une application immédiate de la plupart des problèmes résolus dans ce chapitre, en parlant des opérations du défilement. Nous ne ne le ferons pas : ce serait trop nous écarter du sujet principal de noire ouvrage et empiéter bien témérairement sur une science qui est du domaine spécial du génie militaire.

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