COPIE ET RÉDUCTIONS DES CARTES ET PLANS

258. Si l’on veut reproduiro un dessin à même échelle, on en partage la surface en carrés ou rectangles par deux systèmes delignes parallèles tracées légèrement au crayon : on trace, sur une feuille de papier, un même nombre de carrés égaux à ceux de l'original et l’on y dessine de proche en proche tous les détails compris dans les rectangles correspondants de la minute ; cette opération se fait, soit à vue, soit en rapportant chaque point par <les coordonnées, soit enfin en décrivant deux arcs do cercles dont il est l’intersection. Les directions des lignes s'obtiendront en plaçant deux de leurs points, ou en les imaginant prolongées jusqu'à la rencontre des côtés du rectangle qui les comprend, et en reportant les points do rencontre au moyen du compas. Dans les parties du dessin plus chargées de détails, on pourra multiplier les carreaux ou les diviser par des diagonales.

259. Si le dessin à copier est trop précieux pour y tracer aucune ligne, on pourra le couvrir d’un papier transparent ou d’un verre sur lequel on établira toutes les lignes de construction. Lorsqu'il n’est pas chargé de détails, ou que 'l’échelle est un peu grande et le trait assez apparent, on peut le calquer à la vitre sur le papier même qui doit recevoir la copie. Si l'on n’y voit pas assez, c’est sur une feuille de papier trausparentk(huilé, végétal, ou de gélatine) que l’on calque d'abord, puis on reporte cette première copie sur la feuille à l’aide de papier plombé.

260 S’il s’agit de changer l’échelle de la copie de telle sorte

que les côtés homologues soient dans un rapport donné on

commence par tracer un cadre dont les côtés soient dans ce rapport avec ceux du cadre de l'original, puis on le divise en un même nombre de carreaux. On opère ensuite comme ci-dessus en réduisant toutefois dans le rapport indiqué les longueurs prises au compas sur le modèle. On se sert pour cela ou d'un angle ou d'un compas de réduction.

Pour construire un angle de réduction , on trace deux lignes

AB wi

AB,BC {fig. 197) de longueurs telles que l’on ait gg = - ; on achève le triangle en unissant A et C, puis on mène dans l'inlé-

rieur des parallèles à ïiC qui forment ainsi une série de triangles

semblables. Il résulte de là qu'une ligne telle que bc est toujours la réduction de la base correspondante Ab. Il est superflu d'ajouter que les droites AB, BC font entre elles un angle quelconque.

261. Le compas de réduction sa compose de deux branches AD, BC {fig. 198) se croisant en un point O qui est la charnière du compas dont A,B,C et D sont les pointes : les branches sont disposées do manière que toujours la ligne qui unirait A à B soit parallèle à celle qui irait de C en D : il s’ensuit que l'on a AB : CD : : AU : 01) et par conséquent que CD étant la longueur d un c6lé sur le modèle, AB sera son homologue sur la copie, si l'on a pu établir d'avance entre AO et OD le rapport des deux échelles. C'est à quoi I on parvient facilement en raison de la construction do l’instrument. Le pivot 0 {fig. 199) traverse les joues du compas par deux fentes longitudinales dans lesquelles on peut le faire glisser, seulement quand elles se superposent. L'une des branches AD porte des graduations qui indiquent que le pivot leur correspondant, le rapport de AO à OD est J, g, g, g, etc.

262. Quelquefois, les points principaux du dessin à réduire sont d’avance placés sur la feuille de la copie, mais dans un autre système de projection : on no peut alors diviser l’original et la copie en un nombre égal de carreaux , puisque les projections d’un même point n'occupcraient pas identiquement la même position dans deux carrés homologues. On commence , dans ce cas, par unir tous ces points principaux par des lignes qui forment une suite do triangles un peu dissemblables sur l'une et l'autre feuilles, en raison de la différence de projection, puis on divise de la mémo manière les triangles correspondants.

263. Si l’on demande que les surfaces et non les côtés homologues soient dans un rapport donné p :q-, en représentant par S, S', A A' les surfaces des deux dessins et les deux côtés homologues, on aura S : S' :: A2 : \n :: p : q, d’où A1 = A Pour

trouver A', on peut employer la méthode graphique suivante :

Sur une droite, on porte bout à bout deux longueurs BE.CE (fig. 200) entre elles comme p et q. Par le point E, on élève une perpendiculaire , et sur BC, on décrit une demi-conférence : unissant leur point de rencontre D à B et C, on forme deux triangles semblables qui, ayant même hauteur, sont entre eux comme leurs bases : leurs surfaces sont proportionnelles aux carrés des

RÉDUCTION DKS CARTES. 233

côtes homologues, dont BD : CI) : : BE : EC. Eu faisant le rapport des côtés pour les deux dessins, le même que celui de BD à CD, on aura donc résolu le problème. On peut, si l'on veut, dans l'angle BDC, mener des parallèles à la base, et l’on est assuré que les portions de l’un des côtés de l’angle limitées à ces parallèles sont les réductions des portions correspondantes sur l’autre.

Il sera toujours facile de déduire l’échelle nouvelle de la construction précédente : en effet, si l'échelle première est on porte sur BD-un décimètre, par exemple de 1) en G \ il représente 1000”; et par conséquent DII équivaut également à 1000” sur le nouveau plan. On mesure DH etl'ontrouvequc celle ligne a 0”,25 supposons, il s'ensuit que 0“,025 représente 1000”, etque l'échelle nouvelle est —J—, Les différents moyens que nous venons d’indiquer deviennent fort longs quand il s'agit de plans détaillés et d’une grande étendue : on y supplée par l’emploi de deux instruments qui abrègent beaucoup les opérations et dont nous allons donner la description et indiquer l'usage.

204. Pantographe. Cet instrument se compose de quatre règles AB,DC,AD,BC égales en longueur, ou tout au moins égales deux b deux : elles sont unies par quatre articulations A,B,C,D (fg. 201', de manière que leur ensemble forme toujours un losange ou un parallélogramme dont les angles seuls varient. A un point fixe K est adapté un calquoir : en M est placé un axe vertical traversant une douille qui est adhérente à la branche CD. Tout l'instrument peut ainsi se mouvoir autour de cet axe qui est maintenu par une masse deplombdans laquelle il est vissé. Pour rendre plus doux les mouvements du pantographe, il repose sur des roulettes placées en A et aux extrémités des côtés AB, AD prolongés.

Cela posé, démontrons que si un crayon est fixé en P sur le prolongement de ADetà la rencontre de la droite MK, il décrira une figure semblable h celle que l’on fera parcourir au calquoir, et déplus le rapport des côtés homologues des deux figures sera le même que celui des distances de P et K au pivot M : en effet, les côtés AK et DM étant constamment parallèles et de longueurs invariables de mémo que AP et DP, il en résulte que les triangles AKP,DMP sont toujours semblables et fournissent les proportions ( fig . 202)

ak : dm : : ap : dp : : kp : mp. au» : d»m : : a>p> : d<p' : : k'P' : mp>

et puisque AK — A'K', l)M=D'M on déduit KP : K'P' :: PM : P'M

ou km + mp:kim+mp':;pm:p'm et enfin km : k«m :: pm : P'M.

Il est évident maintenant que les triangles KK'M,PP'M sont semblables puisqu’ils ont un angle égal M compris entre des côtés homologues proportionnels : ainsi les lignes KK/ et PP' parcourues par le calquoir et le crayon sont parallèles, et dans le mémo rapport que KM et MP.

263. Si l’on veut que les échelles des deux plans soient entre elles comme m et n, il faut faire en sorte que KM et MP le soient aussi. Reste donc à trouver la position de M sur I)C et celle de P sur AD qui satisfassent à cette condition.

La comparaison des triangles semblables AKP.DMP donne AK : DM : : KM + MP : MP et AD : DP : : KM : MP. Désignant par « et b le9 longueurs constantes AD et AK, par a: et y les variables DP et DM, et substituant m et n aux lignes MP et MK, les deux proportions ci-dessus se transforment en

&»y!îw*“f"n*w n l x l \ n l m.

. m tu

En attribuant des valeurs diverses à m et à n, on a calculé celles de x et de y correspondant à différentes échelles et on les a tracées sur les deux branches du pantographe. On peut s’assurer de l’exactitude des nombres trouvés pour x et y en plaçant une règle sur K et M ; puis en voyant si elle passe bien par le point P trouvé.

266. Micrographe. Cet instrument, que l’on nomme aussi prosopographe , diffère du précédent en ce que ce n’est pas par le déplacement des points P et M (fig. 203) sur les règles DC et AD qu’on modifie le. rapport des échelles , mais par celui des deux pivots B et D. Puisque M est invariable de position sur DC, nous pouvons l’établir en C : ceci n’est au surplus d’aucune importance.

267. Comme pour le pantographe , la similitude des triangles AKP,DMP entraîne toujours celle des figures parcourues par K et P. Dans ce premier instrument, nous avons calculé DM et DP en fonction des constantes AD et AK que nous désignions par n et 3, dans le micrographe ; c’est en fonction de la même longueur