OA A A
AA' ;CC': :OA:OC ; mais OC= — , donc CC'— — . Si la ligne donnée était trop grande pour pouvoir être embrassée par les deux branches du compas, on porterait de A en A' la moitié, lo tiers ou toute autre fraction et CC' serait la même fraction de la
n* partie de la ligne donnée.
Partager une ligne en parties qui soient entre elles dans le rapporl des nombres, m,n,p, etc.
Il faut faire la somme m-f n-f p-j-etc. (/ty.210); puis ouvrir le compas de manière que la transversale correspondant k S soit la ligne donnée ; alors celles qui correspondront à m, m-pn, m-tn + p, etc., portées sur cette ligne, détermineront les fractions cherchées do la ligne entière.
Connaissant le nombre n de parties égales contenues dans une ligne AA', trouver celui n' que contient une autre droite CC'- On ouvre le compas de manière que la distance des numéros n situés en A et A' soit égale à la ligne donnée : on cherche par tâtonnement, avec une ouverture de compas (ordinaire) égale k CC les numéros n' correspondants qui la contiennent , et le problème est résolu.
Trouver par approximation, une ligne droite égale à une circonférence d’un diamètre connu.
Le rapport du diamètre k la circonférence est 1 : 3, 1415 ou 100 : 314 ou encore 50 : 157. Ouvrant donc le compas de manière que la distance des deux points 50 {fig. 212) soit égale au diamètre, la ligne qui unira les numéros 157 sera égale en longueur à la circonférence : cela résulte encore de la similitude des triangles.
A trois lignes données, trouver une quatrième proportionnelle.
On fera OA, OC et AA' {fig. 209) respectivement égales k chacune des données du problème; puis CC', qui unit les points correspondants sur les deux branches , sera la ligne cherchée. Ceci fournit le moyen de mener par un point déterminé, une ligne au point de concours de deux autres. Soient acb l'angle dont le sommet c {fig. 213) est inaccessible, et d le point donné.
Il s'agit de trouver un second point g de la droite cherchée. Par le point d, on mène une droite rencontrant les dçux côtés du l’angle en deux points quelconques a et b; puis, en avant ei k une distance aussi grande qu’on le pourra, on lui mènera une parallèle ef.
Remarquons que si la ligne cd était tracée on aurait ab : ef : : ad : eg, puisqu’on vertu des triangles semblables on a ab ! ef'.'.acl ce et ad : eg ; : ac : ce, On fait donc sur le compas de proportion OA [fig, 209) = ab [fig, 213), AA' = ad ; on prend oc = ef, et la distance ce' est précisément eg cherchée.
COMPAS DF PROPORTION. , 241
Trouver les conditions nécessaires pour que les lignes de parties
égales fassent un angle droit.
Désignons par a et b deux nombres quelconques. Il est évident qu’en faisant x2 = a2 -f- ê2> portant a sur l'une des branches, 6 sur l’autre, et en ouvrant les branches du compas jusqu'à ce que les extrémités a et 6 soient distantes dex, on aura résolu le problème. Mais, si l’on prenait arbitrairement a et b, il serait trèsrare que x fût un carré parfait : car, dans les 15 premiers nombres, par exemple, il n’y en a que trois qui puissent satisfaire à cette résolution facile du problème : ce sont 3, 4 et 5 en effet 3J-+- 42 = 51, ce qui revient à 9 IG = 25. Voici comment on s’y prend pour éviter une extraction de racine : on élève x2 — a2 -f- b1 au carré, ce qui donne
*4 = o« + 4* -)- 2a«&* or ««-f l>( = («« — &«)* -f îa«fc«
doncx4=(a2 — b2) 2-t-4 a2b2. Cela posé, on voit que si l’on porte sur une, branche du compas a2— -6Iet2a6 sur l’autre, l’hypoténuse x2 sera donnée par l’équation première. Ainsi, il faut choisir deux nombres tels que leur double produit soit moindre que 200 : porter ce double produit sur l’une des branches , porter la différence de leurs carrés sur l’autre et prendre la somme de ces mêmes carrés pour hypoténuse. Prenons pour exemple a=8 et 6=10, nous aurons
2ab =s 460, — <** = 36 et a* -|- 6* = 164.
Les deux premiers nombres sont les deux cûtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est 164. En élevant ces trois nombres au carré, on trouve comme vérification 25G00 -+- 1296= 26896.
278. Lignes des plans. Elles sout de même longueur que celles des parties égales et destinées à donner les côtés homologues de 64 figures semblables, dont le rapport des surfaces est celui des nombres depuis 1 jusqu'à 64. Pour construire les 64 divisions correspondantes, représentons par M la plus grande de ces Ggurcs, celle qui aurait pour l'un de scs cûtés les 200 divisions des parties égales et par N la surface d'une autre figure dont le côté homologue à 200 sera x. Nous savons qu’il existe entre ces diverses quantités la proportion
242 COMPAS DE PROPORTION
puisque M est représenté par 64 , ü en résulte que
KST=8 et **=a0O^p — Î3. v/N .
En attribuant successivement à N les valeurs 1,2, 3... 63, on trouve pour x les longueurs qu’il faut porter à partir du ccnlre sur les deux lignes de plans. En faisant N égal à 4, 9, 16, 25, 36, 49; nous trouvons la progression arithmétique dont la raison est 25 -50-75-100-125 150-175... pour x; nous n'avons pris entre 1 et 64 que les nombres qui sont des carrés, pour éviter do calculer VN ; mais on conçoit que la marche est la môme pour les autres nombres.
Construire un triangle semblable à un autre, avec la condition que
les surfaces soient dans un rapport
OA et OA' (fig- 211) sont les lignes des plans. On ouvre l’angle de manière que la distance transversale des numéros n soit AA' côté du triangle donné, et alors CC' distance entre les numéros n' donne le côté homologue cherché : en effet , OA et OC sont les côtés des carres dont les surfaces sont représentées par n et n' :
ainsi ÔÂ: ÔC*: d’ailleurs OA : OC : : AA' : CC' donc n :
„'::XÂ*:cr
Le mémo problème se résoudra évidemment de la même manière pour les polygones et les cercles. Pour les premiers , on ' cherchera le côté homologue et lo diamètre pour les autres.
Deux figures semblables étant données, trouver leur rapport.
On ouvre arbitrairement le compas et 1 on fait la dislanco entre deux nombres correspondants quelconques A, A (fg. 209) des lignes des plans , égale h l’un des côtés donnés de 1 une des figures , puis on cherche par tâtonnement les deux nombres correspondants C, C' dont la transversalejoit égale au côté homologue de la seconde figure : on a alors AA': CC' :: AO : CO :: m:
«, rapport cherché.
Ouvrir le compas de manière que les lignes des plans soient rectangulaires entre elles.
On note deux points B et C (fg- 214), portant môme chiffre m ; on prend sur l’une des branches la distance du centre au point A qui porte un chiffre double 2m, puis on ouvre les brauches du compas jusqu'à ce que cotte longueur OA ou 2m soit égale au
COMPAS UE PROPORTION
troisième côté du triangle dontOB et OC sont les deux premiers : alors, le triangle est rectangle, cor on a OA*: ÔB* ;2 m : m d’où OA*=2üb! d’ailleurs OA = BC et OBmOC donc enfin BC =
bôVôc!
Construire un polygone semblable et égal en surface à deux polygones donnés semblables.
On ouvre le compas à angle droit; on porte, sur les lignes des plans, les longueurs OA et OB (fig. 215) , représentant les deux côtés homologues a et a' des figures données, et l’h^pothénuse ,qui joint A et B est le côté homologue cherché x : en eflcl, S1 et S1' désignant les surfaces connues et S colle qui doit être égale à leur somme, on doit avoir o* : x 12 : S' : S et a5 : a'2 : : S' : S".
De la seconde, on peut tirer a : a-f-a: ’. S' : S' + S" : : S' S , car on demande que S = S' -f-S '. Si l’on compare la première et la dernière proportion, on en tire x2=a2-ha ,J; mais le triangle rectangle OAB fournit aussi ABn=a5 a'2, donc AB = ®.
Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes a et b.
On cherche sur les parties égales le rapport de a ot b : soient n et n' les nombres de divisions que contiennent les lignes données, on a o : 6 ; ; n ; n' . On ouvre le compas do manière qi^e la distance entre les deux chiffres n des lignes des plans soit une quantité AA'=o (fig. 211), auquel cas la ligne CC' qui unit les deux
chiffres »' est la moyenne-cherchée, car on a n : n' : : AO : CO et n : n' :: AA' : CC' puisque AA' : CC' : : AO : CO. On peut donc écrire AA' : CC :: a : b ; multipliant le second rapport par a , il vient AA' : CC1’ :: a*: ab ot, comme AA' n’est autre chose que a, il en résulte que CC' = — = ab ou a : CC' : : Cë' : b. Donc en-
fin, CC' est la moyenne proportionnelle cherchée. Cette solution peut encore servir à trouver approximativement le côté d'un carré équivalant en surface à un cercle donné.
Désignons par x ce côté, il faudra que fou ait x2=-tr2, c’està-dire »r ! x : : x l r. Prenons, sur les lignes des plans, les nombres que nous aurons trouvés pour et r sur celles des parties égales et dont le rapport nous est connu d'avance, c'est 314 : 100 ou 157: 50. Faisons AA'= *r et nous aurons, comine précédemment, \\f : CC'*:: ?r : r. Multiplions le second rapport par *r, il
COMPAS DE PROPORTION
viendra AA'*: GG' :: (*r)s : »r2 ; d’ailleurs AA / = *r, donc CG' = jr2 ou *r : ce* : :CC' :r.
279. Ligne» des polygone» (construction). Ges lignes donnent les côtés de neuf polygones inscrits dans le môme cercle. On a pris pour le côté le plus grand des neuf, celui du carré, la longueur totale des parties égales. Cette construction, qui est celle usitée, empêche d'avoir, sur la ligne des polygones, le côté du triangle inscrit, puisqu’il est plus grand que celui du carré. Il n'en serait pas ainsi si l'on avait pris la ligne des parties égales pour diamètre du cercle. Nous allons voir comment, dans l’un et l’autre cas, on passe de la quantité connue, le côté du carré ou le diamètre du cercle, aux côtés de tous les autres polygones.
Pour trouver le rayon du cercle ou le côté de l’hexagone qui lui est égal , le triangle ABC (fig. 216), dans lequel C = 100', A = 59. B=50 et AB côté du carré=200 (parties égales), nous donne
sinX ;«iD. A ; ; AB ; BC ou sin. 100» ; sin. 50* ;; 200 ; R
Mais, pour trouver le sin. 50*, on remarque que r2 =2 sin.1 50.
d’où sin. 50* e* 9UC t*e plus s'n- 100' = r ; r étant le rayon
des tables. Si l’on suppose que r=l, la proportion se transforme en 1 :L ::200:H <l’oii K=—= 141, 4. Telle est Vi l/î
donc la longueur du rayôn ou du côté do l’hexagone comparativement au côté du carré.=200.
Pour avoir le côté AB (fig. 217) d’un polygone quelconque, on unit le point D milieu de AB au centre C : l’angle
ACD sera - , si l'on désigne par l’angle sous-tendu par le côté
cherché. Dans le triangle rectangle ACD, on a sin. ADC : sin. ACD : : AB : AD, ce qui revient à 1 : sin.; $ :: 141,4 : AD ; de là AD = 141,4sin.;? ou AB = 282,8 sin. { y.
Il est clair actuellement qu’en attribuant à <p telle valeur que l’on voudra, on obtiendra, par l’addition du logarithme de la constante 282,8 et de celui de sinus la longueur du côté correspondant à <p. C’est ainsi qu'en faisant <p = 133*, 33 ou le tiers do
400", on trouve pour le côté du triangle inscrit 244,9
De la môme manière pour le pentagone 160.2
l'heptagone 122,66
COMPAS DE PROPORTION. 245
De la même manière pour l'octogone r . 108,0
l’ennéagone 96,8
le décagone 87,V
riiendécagone 79,6
lo dodécagone 73,2
La marche est identique , si l'on considère 1e diamètre comme égal à 200 : il faut seulement substituer 100 à 141,4 pour l’expression du rayon dans la formule qui donne le côté en fonction du rayon et de sin ) On trouve, dans ce cas, au moyen
de AB =s 200 sin. ^ <p, le diamètre étant 200 ,
le côté du triangle 173,2
du carré. .‘ lit, 42
du pentagone 117,46
de l’hexagone 100
do l’heptagone 86,77
de l'octogone 76,54
de l’ennéagone. 68,40
du décagone 61,79
du l’hendécagone 56,34
du dodécagone 51,74
(Usage des lignes des polygones).
Décrire un polygone régulier de M côtés dans un cercle d'un rayon donné.
On ouvrira le compas do manière que la distance entre les numéros 6 ( fig . 218) soit égale à ce rayon, et alors celle des numéros M sera le côté du polygone cherché : les distantes des points 6 et M au centre O représentent les côtés de l’hexagone et d’un polygone inscrit dans le môme cercle : il s’ensuit, puisque 06 : OM :: 6. 6 : MM, que 6.6 etOM seront les côtés homologues dans un autre cercle, mais le côté ffe l’hexagone n’est pas autre chose que le rayon, donc MM est bien le côté cherché.
Construire un polygone de M côtés sur une ligne donnée,
On voit que ce problème est l’inverse du précédent, etqu’ainsi, ayant ouvert le compas jusqu’à ce que la transversale MM soit égale à la ligne donnée, la distance des numéros 6 est le rayon du cercle circonscrit au polygone que l’on se propose de construire. Il ne reste donc plus qu’à décrire ce cercle et porter sur la circonférence M cordes égales à MM.
Sur une ligne donnée, construire un triangle isocèle, avec cette
COMPAS DE PROPORTION
condition que lanqlc au sommet soit dans un rapport connu n avec les angles égaux adjacents à la base. <
En désignant par x l’angle au sommet évidemment fonction de
n, on aura x -+- 2na;=:‘200 et x = Si, parmi toutes les valeurs que l’on peut attribuer Un, nous lui donnons successivement celles de J, 1, *, j, {, 2 ~ et J, nous trouvons pour x l'angle sous-tendu par le côté de l'un des polygones réguliers inscrits, que déjà nous avons mentionnés ; et, dans ces différents cas, le compas de proportion résout le problème aussi facilement que tous ceux que nous avons cités jusqu'à présent. Eu faisant n = \, il vient x = ^ = 100 angle sous-tendu par lo côté du carré.
n=>}; x=\^ = 80' pentagone »« == S ; *J° =66,66 faeiagone
n = { ; x =■ "i0 = 57 ,1 heptagone n = J;x = iÿ!*=50 octogone
n= l ; x — ^ = U, 44 enuéagons n = 2;ar = 1$, = W décagone n*= J ; x= ^ = 36,36 hendécagone « = | ; x = = 33,33 dodécagone.
Pour toutes ces valeurs de n, on construit le triangle au moyen des lignes des polygones, en prenant la base donnée pour transversale entre les numéros qui indiquent le nombre de côtés correspondant à «. La distance entre les numéros 6 fournit le rayon du cercle circonscrit et son centre est le sommet du triangle isocèle que l’on voulait construire. On comprend qu’en décrivant des deux extrémités de la base, avec le rayon trouvé, deux arcs de cercle, ils su couperont au centre du cercle ou sommet du triangle.
280. Lignts des solides (construction). Ces lignes sont de même longueur que celles des parties égales et donnent les côtés homologues de G-i solides dont les volumes sont entre oux comme la suite des nombres entiers do 1 à 64rf1our trouver les divisions correspondant à chacun d’eux, agissons comme nous avons fait poulies lignes des plans. Désignons par A le solide dont le côté sera la ligne totale ou 200 et dont le volume sera exprimé par 64. Représentons par B un solide semblable et par x la distance de la division correspondante au centre, nous aurons
a : b ; : 200 : ~x ou ** = ? (ioej» = tt —
et
x — l/ii — \ VÛ — ; üO j/g.
COMPAS DE PROPORTION. 217
11 suffira donc d'attribuer à B toutes les valeurs de 1 à 63 pour obtenir celles correspondantes do x.
Si B est un cube comme 27, on a
log. 80 = 1.69807 log. 3 = 0.47712
log. x = 2.17609 et x = 180.
En général, l’extraction de la racine cubique n’étant pas aussi simple, on prend le tiers du logarithme de B : ainsi, supposons B = 48, nous aurons
log. 50 = 4 .G9897 1 log. 48 = 0.86041
log. x = 2.25938 et x = 181 ,7.
(Usage) Construire une pyramide semblable et dans un rapport ^ à une pyramide donnée.
On ouvrira le compas de manière que la distance transversale des numéros A, A' ou n (fig. 211) soit égale à l'un des côtés de la pyramide donnée, et la distance entre C et C' ou n ' sera le côté
homologue dans la pyramide cherchée : on effet, OÀ* : OC : : n :
mais OA : OC: t AA' : CC', donc AA' : CG': : n ’ »' et les pyramides seront bien dans le rapport de n h n', puisqu’elles sont entre elles comme les cubes des côtés homologues.
Connaissant deux côtés homologues de deux solides semblables, trouver le rapport de leurs volumes.
Si l’on porte le côté de l’un des solides entre deux numéros correspondants qui dépendent de l’ouverture du compas , tels que A, A' [fig. 211) et que l’on cherche quels numéros C,C' comprennent le côté homologue du second solide, le rapport des deux nombres n et n' inscrits en A et C sera celui des solides , car
OA' : CC' :: OA : OC ou ÂÂ* : CC’’ :: ÔT: Ôc’:; n : n'. Si le compas était plus ou moins ouvert , les transversales ne correspondraient plus aux mômes numéros, mais le rapport serait évidemment le môme, puisqu’on désignant par a,a',c,c', ccs nouveaux numéros, on n'en aurait pas moins aa':cc' :: Oa:Oc, ou
aa*: ce*;; Oa*: Oc/ct comme AA' = oa', il faut aussi que CC' = cc', car ce sont toujours les deux mêmes côtés homologues des
deux solides : d'où il suit que OA : OC ;: Oa : Oc et Oa : Oc n : n'. "
COMPAS DE PROPORTION
On pourrait encore résoudro le problème en portant les deux' côlés homologues sur la ligne des solides : le rapport des chiffres sur lesquels tomberaient tes extrémités serait celui des solides. En effet, ils sont proportionnels aux cubes des deux côtés homologues qui le sont aux chiffres auxquels ils aboutissent.
Construire un solide égal et semblable à deux solides semblables.
Ayant ouvert le compas d'une manière arbitraire , on cherche à quels numéros I) et D' (fig. 210) correspond un côté de l’un des solides donnés : soient C,C' les points qui auront pour transversale le côté homologue du second solide. On fait la somme des, chiffres inscrits en C et D, et si c’est en A quo correspond cette somme , AA' sera le côté du solide cherché : en effet, désignons par S le solide total et par S', S' les deux autres, par « et n' les chiffres qui sont en D et en C, celui en A sera »»-+-«’. D'après ce que nous avons vu, il existe entre ces solides les relations S':
S" ::n:n' et S; S': :« + ”':»• De la première, on tire S' = ~ S"
et de l’aptre, S— S' = S' ^ S' et en substituant dans le deuxième terme du second membre la valeur de S' en fonction
28 1-. Lignes des métaux. Ce n’est en quelque sorte que pour mémoire que nous les mentionnons ici, et pour rendre complète la nomenclature des lignes tracées sur le compas de proportion. Dans celles des solides , on cherchait à établir des relations entro les volumes des corps, indépendamment des poids. Ici, l’on cherche le rapport des dimensions de corps semblables formés de métaux différents pour qu’ils soient de même poids. On voit que les poids dépendent des pesanteurs spécifiques ou des densités des métaux. Le poids d’un corps étant égal au produit du volume par la densité, on a, en exprimant par P,V,D ces quantités, P:=V.D. Pour un autre corps, on a également P'=V'D', et si l’on veut quo P et P* soient égaux, il en résultera VD=V'D' ou v: V' D, et d'ailleurs, les volumes des corps semblables étant proportionnels aux cubes des côtés homologues, nous aurons, en les désignant par K et K', V : V' :: K3 : K '* : : D' : D
Supposons K égal aux 200 par lies égalas ou à 6 pouces : pour
de S ', il vient S = S' + . - S' = S' + S '.
COMPAS DE PROPORTION
trouver le côté homologue d’un corps semblable, mais de métal
différent, il faudra connaître la pesanteur spécifique des deux métaux, puis en ajoutant le tiers dé la différence des logarithmes de D et D' à celui du nombre constant 200, on aura le logarithme de K'. Le nombre correspondant exprimera la longueur de K' qu’il faudra porter sur la ligne des métaux et à partir du centre. On trouve, dans l’Annuaire du bureau des longitudes, une table des pesanteurs spécifiques qui fournira les données, si parfois on veut calculer les valeurs de K'.
Cette échelle, qui détermine les dimensions des corps semblables et de môme poids, pourrait encore servir à résoudre la réciproque, c'est-à-dire à trouver la différence do poids do deux solides do mémo volume et de densités différentes. En effet, sous même volume , les poids des corps sont proportionnels aux den-
sites, cc que nous exprimerons par— = ; mais nous venons
de voir plus haut que ccs densités étaient en raison inverse des
D • TTc
cubes des côtés homologues, donc g-, = et par conséquent P OC*
- = O C et OA sont connus, car nous savons quels métaux nous employons; donc la question est résolue.
282. Ligne du poids des boulets. Cette ligne est d’une médiocre utilité, car le nombre des calibres différents étant très-rcstrcint, il est facile de 6e rappeler qu’à tel diamètre répond tel poids. Le but de celte ligne n'est cependant pas autre chose que de trouver le poids d’unboulet, connaissant son diamètre ou réciproquement. La ligne des solides résoudrait 6eule également la question : c’est elle, au surplus, qui sert à diviser celle dont nous nous occupons en ce moment. La densité étant constante, le poids e9t proportionnel au volume. Si donc on trouve le rapport de volume de deux boulets, on aura celui de leurs poids, et pour cela, il suffit de connaître le poids d'un seul calibre pour en déduire tous les autres. On sait qu’un boulet de 4 (c’est-à-dire pesant quatre livres) a 3 pouces de diamètre ; on ouvre les lignes des solides do manière que la transversale des n.°* 4 soit de 3 pouces, et les transversales correspondant à tolites les autres couples déchiffrés seront les diamètres des boulets dont les chiffres indiqueront les poids. Ce sont ces transversales qui sont portées sur une ligne à partir d’un môme point , et à l’autre extrémité desquelles sont
COMPAS DK PROPORTION.
inscrits les chiffres qui correspondaient à ces transversales sur la ligne des solides.
Ligne du calibre des pièces. On sait que, pour éviter que le frottement n’affaiblisse la force imprimée au boulet, il faut que le diamètre de la pièce soit un peu plus grand que celui du projectile : la différence, qui est ce que l'on nomme le vent du boulet , varie de une à deux lignes.
La ligne du calibre des pièces ne diffère donc de la précédente, qu’en ce que les longueurs qui donnent les calibres, et qui correspondent aux chiffres indiquant le poids des boulets, sont plus grandes de deux lignes que les longueurs homologues sur la ligne du poids des boulets.
283. Ligne des cordes (construction). On sait qu’un triangle est construit avec plus do précision par ses trois côtés, qu’au moyen de deux côtés et un angle, et encore plus qu’à l’aide de deux angles et un côté : en d'autres termes, un angle est construit plus exactement par l’intersection d’arcs de cercles que par son amplitude. C’est par cette raison que la doublo ligne des cordes est préférable au rapporteur. On prend pour diamètre du cercle sur lequel on opère, la longueur entière des parties égales : dans celte hypothèse, on calcule les cordes correspondant à tous les grades de 1 à 200 ; puis on les porte à partir du centre du compas sur l’une et l’autre lignes. Ces cordes se calculent facilement par logarithmes en se rappelant que
fl existe des tables, et entre autres celles de M. Francœur, qui donnent ces longueurs pour l’ancienne division du cercle.
(Usage). Prendre sur une circonférence , un arc d'un nombre déterminé de grades..
On fait la distance des n°’ 66, 66, égale au rayon de celte circonférence, et la transversale correspondant aux chiffres qui expriment l'arc demandé, en sera la corde. C’est encore la similitude des triangles qui sert à le prouver : mais cette démonstration ayant déjà plusieurs fois été indiquée, nous nous abstenons de la reproduire. On résout aussi facilement la réciproque qui consiste à trouver le nombre de grades d'un arc donné dont on connaît le rayon.
PERSPECTIVE
