MC~MF+MS 0U MC MF ' MS

ou encore, en désignant par r, f ets les dislances OC, OF et OS que l’on peut mettre à la place de MC, MF et MS

Celte formule symétrique par rapport à /"et *, indique que l’objet et son image peuvent occuper réciproquement la place l'un

KÉILEX10N.

de l’autre : toutes les couples de points tels que F et S, sont dites foyers conjugués.

Pour connaître la position du foyer principal dont nous désignerons la distanceau miroir par F, faisons dans la formule ci-des-

sus s — le , il en résultera ou F = expression conforme à

ce que nous a donné la démonstration synthétique. On peut, si

l’on veut, substituer dans la formule (1)F à - , ce qui la change

en celle-ci - = qui établit une relation entre la distance

focale principale et celles de deux foyers conjugués quelconques.

La formule (t) fait voir que f diminue quand s augmente, et réciproquement. De ce que r, * et f sont de même signe, on en tire la conséquence que le centre et les foyers conjugués sont du même côté du miroir.

Nous avons vu qu'à s = jo correspond f= si s=r on a aussi f=r

c’est-à-dire que le point lumineux étant au centre, le foyer s’y trouve également.

Quand * > r. . . .

. - < donc

c'est-à-dire que le

point lumineux

étant situé entre le foyer

principal et le miroir, les rayons réfléchis divergent et ne se rencontrent que par leurs prolongements, au delà du miroir pour y former un foyer virtuel.

Enfin, si >=o, on a y— - — - , ce qui exige, pour ne pas impliquer d’absurdité , que /'soit aussi égal à zéro : car de (!) l'on

tire f — — qui fait voir que f cl s sont nuis simultanément.

Si le point lumineux est situé en S', hors de l’axe du miroir,

la relation indiquée par l'équation (1) existe toujours par rapport à la droite S'il' {fg. 230) qui passe par le centre, et par suite les foyers conjugués ne sont pas situés du même côté do l’axe, excepté

quand s étant plus petit que^ , le foyer devient virtuel.

295. Au lieu de ne considérer qu’un point, supposons un objet AB ( fig . 231), nous construirons facilement les foyers de tousses points : mais pour ne nous occuper que des extrémités A et B, traçons les deux rayons qui, passant par le centre, vont rencontrer le miroir en M et M' : l’image sera évidemment comprise dans l’angle MCM'. Pour avoir la réflexion d’un second rayon partant de A, nous pouvons prendre celui AN, qui étant parallèle à l’axe, vient passer par le foyer principal F, et sa rencontre en A' avec AM', sera le foyer de A. On obtient de même B'. L image est réelle, renversée et toujours plus petite que l’objet. Quand celui-ci est à l’infini, son image se réduit à un point en F. AB rapprochant, A'B' augmente et devient précisément égal à AB, lorsqu’ils arrivent tous deux simultanément au centre. L’image peut diminuer par deux causes : ou , comme nous venons de le dire, quand l’objet s'éloigne ; ou, quand restant h la même place, c’est le centre qui se rapproche du miroir : car, dans l’un et l’autre cas, l’angle ACB diminue et, par suite, son opposé par le sommet dans lequel est comprise l'image. C’est d'ailleurs ce qu'indique parfaitement l'expression de A'B' au paragraphe suivant, § 296.

Les figures 232 et 233 indiquent comment se forment les images d’un point ou d’un objet situé entre le miroir et le foyer principal. On voit que, dans la seconde, on a encore mené par les extrémités A et B, les rayons qui passent par le centre , et les rayons parallèles. Ici, l’image est toujours droite, virtuelle et agrandie. Elle est toujours agrandie : car elle est comprise dans le même angle A'CB' que l’objet AB, et, en outre, elle est plus éloignée du sommet C. On pourrait ajouter cependant que l’impression, pour un observateur, dépendra du point d’où il verra l’image. En effet, si l’œil est en C, l’image et l’objet soustendant le même angle visuel, paraîtront de même grandeur : si l’œil est en H, HB paraîtra plus grand : ce sera le contraire, si l’œil est placé vers R au delà du centre.

Pour éprouver la sensation produite par une image virtuelle , il faut nécessairement que l’œil se trouve dans la direction de l'un des faisceaux lumineux réfléchis; tandis que l’imago réelle peut être vue, ou de la même manière, ou en la recevant sur un

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corps translucide, suivant que l’œil est du même côté que le mi' roir, par rapport à l’image ou du côté opposé.

206. Si nous voulons connaître la relation qui existe entre les dimensions de l’objet et celles de son image, en raison do la distance du premier au miroir, remarquons que nous tirons des triangles semblables ABC,A'B'C (fig. 231) , la proportion

A»!»1 : ab : : CF1 : es : : r r.

Pour éliminer f, substituons sa valeur déduite de l'équa-

tion (1), nous aurons

{« — r)(3j — r);; r J ït — r d’où A'B'= AB ^ — -

l)’où il résulte que le rapport entre les dimensions de l’objet et de son image est précisément le même que celui des dislauces focales conjuguées.

Cette circonstance se vérifie encore en écrivant

fl'l'.r- f.i-r d’où /•(, -r)=.(r-f)

et encore ?/# = *•(/•+*) et -=» — + -

et l’on est ainsi revenu au point de départ.

Tant que s >r, le coefficient de AB est plus petit que l’unité et par suite A'B' <AB.

Si *= x> , A'B' =0 : quand * = r, on trouve A'B' = AB. Lorsque *<r, le dénominateur 2s — r est plus petit que r et l’imago

est amplifiée. Si s , le dénominateur devient nul, et A'B est

d’une grandeur infinie. En supposant * < ^ , on a 2s— r négatif

et plus petit que r ; par conséquent A'B' négatif et plus grand quo AB. Enfin » — o produit A'B'= — AB, c’est-ù-diro que l’image vient se réunir à l’objet sous la même dimension, comme il arrive quand l’objet est au centre du miroir, avec cette différence seulement qu'elle est réelle dans ce dernier cas et virtuelle dans l'autre. Ajoutons que renversée au centre, elle est droite à la surface du miroir. Tous ces résullats sont conformes à ce que nous avons

trouvé, n° 295, en modifiant la figure suivant les différentes hypothèses que nous venons de faire.

297. Détermination pratique du foyer principal. On présente le miroir concave au soleil ; on reçoit l'image sur un carton blanc que l’on varie de position jusqu'à ce quelle soit la plus petite, la plus nette et la plus brillante possible : on mesure et l’on a ainsi la distance focale principale. Si l'on veut connaître le rayon de courbure , on se rappelle qu’il est double de cette distance.

298. Miroirs convexes. Une marche analogue à celle que nous venons de suivre va nous expliquer les effets produits par un miroir convexe placé devant un objet lumineux. Soit S [fig. 234) le point lumineux et MM' le miroir : MN étant la normale, il est évident que les rayons réfléchis divergent, et que ce ne sont que leurs prolongements qui se rencontrent au delà du miroir. Nous pouvons donc conclure déjà que le foyer est virtuel. Si S s'éloigne pour se placer en S', le foyer s’éloigne aussi du miroir et se trouve en F'. Quand S est à l’infini , le foyer est le plus loin qu'il puisse se trouver du miroir : il est placé à très-peu près à égale distance du miroir et de son centre. Nous ne reproduirons pas ici la démonstration géométrique qui est tout à fait celle donnée pour le miroir concave. S'il s’agit de construire l’image de AB (fg. 235), il faut unir les points A et B au centre C. Sur AC cl BC se trouveront les points de réunion des rayons lancés par A et B ; puis, en construisant la réflexion d'un autre point quelconque , ou, en particulier , de celui qui , entre tous , est parallèle a l’axe, on aura les points et B1 . Le rayon parallèle est préféré, parce qu’on sait que le prolongement de sa réflexion passe par le foyer principal F. Il résulte de là, que l’image est virtuelle, droite et plus petite que l’objet : celte dernière circonstance est évidente, puisque l'objet et son image souslcndent le même angle AClî dont le sommet est au centre, et que c’est l'image qui est la plus voisine du sommet.

299. Pour obtenir la formule qui établit une relation entre les distances de l’objet et du foyer, considérons les triangles MCF SMC (fig. 234), ils donnent MCF=MFS— CMF et MCS=RMC — MSC, et comme CMH = CMF, il vient en ajoutant, 2,MCF = MF’S — MSC : abaissons la perpendiculaire M1’ qui forme les trois triangles rectangles desquels nous tirons les valeurs des tangentes des angles en C, F et S, Substituant les tangentes aux angles,